2.1-2.3 直线的方程 讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第二章 直线和圆的方程 （一）直线的方程 知识点1：直线的倾斜角与斜率的关系 直线的倾斜角： （1）倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。 （2）倾斜角的范围：当l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。综合（1）（2）得， 。 直线的斜率： （1）斜率公式：k=tan（≠90°） （2）斜率坐标公式：k= 。（x1≠x2） （3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。 知识点2：直线方程的五种形式 方程形式 常数的意义 适用范围 备注 点斜式 是直线上一定点， 是斜率 直线不垂直于轴 当不存在时， 直线方程为 斜截式 是斜率， 是直线在轴上的截距 直线不垂直于轴 当不存在时，直线为轴，即 两点式 是直线上的两个定点 直线不垂直于轴，轴 当时，直线方程为；当时，直线方程为 截距式 分别是轴，轴上的非零截距 直线不垂直于轴，轴且不过原点 当时，直线过原点，直线方程为 一般式 为的系数，为常数，不同时为零 平面直角坐标系内的直线都适用 当时，直线过原点； 当时，直线斜率为零；当时，直线斜率不存在 知识点3：直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线外)，其中是待定系数；经过定点的直线系方程为，其中是待定系数 (2)共点直线系方程：经过两直线的交点的直线系方程为(除)，其中是待定系数 (3)平行直线系方程：直线中，当斜率一定而变动时，表示平行直线系方程，与直线平行的直线系方程是是参变量 (4)垂直直线系方程：与直线垂直的直线系方程是是参变量 知识点4：两条直线的平行和垂直 斜截式 一般式 方程 ：y＝k1x＋b1 ：y＝k2x＋b2 ：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) ：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1＝－或 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2 且b1≠b2 或 重合 k1＝k2 且b1＝b2 A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0) 知识点5：两直线的交点坐标 直线与的位置关系 相交 重合 平行 直线与的公共点个数 一个 无数个 零个 方程组的解 一组解 无数组解 无解 知识点6：距离问题 （1）两点间的距离公式。 （2）线段的中点M的坐标。 M( , ) （3）点到直线的距离：到直线l：的距离。 d= （4）两条平行直线间的距离：平行直线与间的距离。 d= 知识点7：对称问题 （1）、点关于点对称 点关于点的对称点。利用 求出点B. （2）、点关于直线对称 点关于直线（）的对称点 可求出Q点。 考点一 直线的倾斜角与斜率 例1-1.（多选题）下列说法中正确的是（ ） A．若是直线的倾斜角，则 B．若是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率， 但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 例1-2.经过作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为________；________． 变式1-1.设点，直线过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线的倾斜角的取值范围是 ；直线的斜率的取值范围是 ； 变式1-2.过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（ ） A. B. C. D. 考点二 直线方程的5种形式 例2.根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(－2,0)，且与x轴垂直； (3)斜率为－4，在y轴上的截距为7； (4)经过点A(－1,8)，B(4，－2)． (5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点； (6)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. 变式2.求分别满足下列条件的直线的方程,并化成一般式： (1)斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6; (2)经过两点，; (3)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等. 考点三 直线的平行与垂直 例3.已知两直线.当为何值时，和 （1）相交； （2）平行； （3）重合； （4）垂直. 变式3.已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值. (1)l1⊥l2,且直线l1过点M(-4,-1). (2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数. 考点四 直线的定点问题 例4.已知直线：，． 证明：直线恒过定点； 设是坐标原点，，若，求的值． 变式4.已知直线方程为，. （1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 考点五 直线的距离问题 例5.若点P(3，a)到直线的距离为1，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或 变式5.两平行直线与之间的距离是（　　） A． B． C． 2 D．1 考点六 直线的对称问题 例6.求与点P(3，5)关于直线l：x－3y＋2＝0对称的点P′的坐标． 变式6.已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程． 1.若图中的直线、、的斜率分别为、、则（ ） A． B． C． D． 2.（多选题）直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是( ) A． B． C．1 D． 3.过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是（ ） A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．相交或重合 4.过点且平行于直线的直线方程为( ) A. B. C. D. 5.已知直线，直线，直线，且直线与直线，分别交于，，则（　　） A． B． C． D． 6.在直线x−y＋4=0上存在一点P，使它到点M(−2,−4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________． 7.根据所给条件求直线的方程,并化成一般式： (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 8.已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程. 9.已知三角形的三个顶点，，． （1）求线段的垂直平分线所在直线方程； （2）求过边上的高所在的直线方程； 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $将来的你，一定会感谢现在努力学习的自己！！！ 选修 第二章 直线和圆的方程 （一）直线的方程 知识点1：直线的倾斜角与斜率的关系 直线的倾斜角： （1）倾斜角：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角。 （2）倾斜角的范围：当l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°。综合（1）（2）得， 。 直线的斜率： （1）斜率公式：k=tan（≠90°） （2）斜率坐标公式：k= 。（x1≠x2） （3）斜率与倾斜角的关系：一条直线必有一个确定的倾斜角，但不一定有斜率。 倾斜角 斜率 倾斜角与斜率的变化关系或关于直线的说明 零角 等于0 直线平行于轴或与轴重合 锐角 大于0 直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 直角 不存在 直线垂直于轴 钝角 小于0 直线的斜率随着倾斜角的增大而增大 知识点2：直线方程的五种形式 方程形式 常数的意义 适用范围 备注 点斜式 是直线上一定点， 是斜率 直线不垂直于轴 当不存在时，直线方程为 斜截式 是斜率， 是直线在轴上的截距 直线不垂直于轴 当不存在时，直线为轴，即 两点式 是直线上的两个定点 直线不垂直于轴，轴 当时，直线方程为；当时，直线方程为 截距式 分别是轴，轴上的非零截距 直线不垂直于轴，轴且不过原点 当时，直线过原点，直线方程为 一般式 为的系数，为常数，不同时为零 平面直角坐标系内的直线都适用 当时，直线过原点； 当时，直线斜率为零；当时，直线斜率不存在 知识点3：直线系方程 (1)定点直线系方程：经过定点的直线系方程为(除直线外)，其中是待定系数；经过定点的直线系方程为，其中是待定系数 (2)共点直线系方程：经过两直线的交点的直线系方程为(除)，其中是待定系数 (3)平行直线系方程：直线中，当斜率一定而变动时，表示平行直线系方程，与直线平行的直线系方程是是参变量 (4)垂直直线系方程：与直线垂直的直线系方程是是参变量 知识点4：两条直线的平行和垂直 斜截式 一般式 方程 ：y＝k1x＋b1 ：y＝k2x＋b2 ：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0) ：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0) 相交 k1≠k2 A1B2－A2B1≠0 垂直 k1＝－或 k1k2＝－1 A1A2＋B1B2＝0 平行 k1＝k2 且b1≠b2 或 重合 k1＝k2 且b1＝b2 A1＝λA2，B1＝λB2，C1＝λC2(λ≠0) 知识点5：两直线的交点坐标 直线与的位置关系 相交 重合 平行 直线与的公共点个数 一个 无数个 零个 方程组的解 一组解 无数组解 无解 知识点6：距离问题 （1）两点间的距离公式。 （2）线段的中点M的坐标。 M( , ) （3）点到直线的距离：到直线l：的距离。 d= （4）两条平行直线间的距离：平行直线与间的距离。 d= 知识点7：对称问题 （1）、点关于点对称 点关于点的对称点。利用 求出点B. （2）、点关于直线对称 点关于直线（）的对称点 可求出Q点。 考点一 直线的倾斜角与斜率 例1-1. （多选题）下列说法中正确的是（ ） A．若是直线的倾斜角，则 B．若是直线的斜率，则 C．任意一条直线都有斜率， 但不一定有倾斜角 D．任意一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率 对A，若是直线的倾斜角，则，故A错误；对B，根据，即正切函数的值域为实数，故B正确；对C，因为倾斜角为时没有斜率，故C错误；对D，由倾斜角的定义可得任意一条直线都有倾斜角，由直线的斜率定义可得，倾斜角为的直线，没有斜率，故D正确；故选：BD. 例1-2.经过作直线，若直线与连接，的线段总有公共点，则直线的斜率和倾斜角的取值范围分别为________；________． 【答案】 【解析】由斜率公式可得，,,故直线的斜率的取值范围为，由斜率与倾斜角的公式可得，直线的倾斜角为 ，直线的倾斜角为，故直线的倾斜角的取值范围为.故答案为：；. 变式1-1.设点，直线过点P(1,1)且与线段AB相交，则直线的倾斜角的取值范围是 ；直线的斜率的取值范围是 ； 变式1-2.过不重合的两点的直线倾斜角为45°，则的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B【解析】过 两点的直线 的斜率 ，∵直线 倾斜角为，解得 或 ，当 时， 重合，舍去，∴ ．故选：B． 考点二 直线方程的5种形式 例2.根据下列条件分别写出直线方程，并化成一般式： (1)斜率是，经过点A(8，－2)； (2)经过点B(－2,0)，且与x轴垂直； (3)斜率为－4，在y轴上的截距为7； (4)经过点A(－1,8)，B(4，－2)． (5)经过C(－1,5)，D(2，－1)两点； (6)在x，y轴上的截距分别是－3，－1. 【解析】 (1)由点斜式，得y＋2＝ (x－8)，化简，得x－3y－8－6＝0. (2)直线方程为x＝－2，即x＋2＝0.(3)由斜截式，得y＝－4x＋7，化成一般式为4x＋y－7＝0.(4)由两点式，得＝，化成一般式为2x＋y－6＝0.(5)由两点式方程得＝，整理得2x＋y－3＝0；(6)由截距式方程得＋＝1，整理得x＋3y＋3＝0. 变式2.求分别满足下列条件的直线l的方程,并化成一般式： (1)斜率是,且与两坐标轴围成的三角形的面积是6; (2)经过两点，; (3)经过点，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等. 【解析】 (1)设直线l的方程为y＝x＋b.令y＝0，得x＝－b，∴|b·(－b)|＝6，b＝±3. ∴直线l的方程为y＝x±3.(2)当m≠1时，直线l的方程是＝，即y＝ (x－1) 当m＝1时，直线l的方程是x＝1.(3)设l在x轴、y轴上的截距分别为a、b.当a≠0，b≠0时，l的方程为＋＝1；∵直线过P(4，－3)，∴－＝1.又∵|a|＝|b|，∴，解得，或.当a＝b＝0时，直线过原点且过(4，－3)，∴l的方程为y＝－x. 综上所述，直线l的方程为x＋y＝1或＋＝1或y＝－x. 考点三 直线的平行与垂直 例3.已知两直线.当为何值时，和 （1）相交；（2）平行；（3）重合；（4）垂直？ 【答案】（1）且（2）（3）（4）或 【解析】因为,所以,解得或,当时,两条直线重合, 因为,所以,解得或.所以，当相交时，且，当平行时，，当重合时，，当垂直时，或. 变式3.已知直线l1:ax-by+4=0,l2:(a-1)x+y+b=0,求分别满足下列条件的a,b的值. (1)l1⊥l2,且直线l1过点M(-4,-1). (2)直线l1∥l2,且l1,l2在y轴上的截距互为相反数. 【解析】 (1)∵l1过点M(-4,-1),∴-4a+b+4=0.∵l1⊥l2,∴a×(1-a)+b=0. ∴(2)由题意可得:两条直线不可能都经过原点,当b=0时,两条直线分别化为ax+4=0,(a-1)x+y=0,可知两条直线不平行.b≠0时两条直线分别化为:y=x+,y=(1-a)x-b, ∴=1-a,=b,解得 考点四 直线的定点问题 例4.已知直线：，． 证明：直线恒过定点； 设是坐标原点，，若，求的值． 【答案】（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）由直线：，变形为：， 结合直线方程的点斜式可知，直线恒过定点， （2），且，直线：的斜率． 变式4.已知直线方程为，. （1）求证：直线恒过定点，并求出定点的坐标； （2）若直线在轴，轴上的截距相等，求直线的方程. 【答案】（1）见解析，.（2）或.【解析】（1）直线方程为,即，该直线一定经过直线和直线的交点（5,3），故定点的坐标为.（2）对于直线方程为，当直线不经过原点时，令，可得，再令，可得，所以，解得，故直线的方程.当直线经过原点时，，解得，故直线的方程.故要求的直线的方程为或 考点五 直线的距离问题 例5.若点P(3，a)到直线的距离为1，则a的值为（　　） A． B． C．或 D．或 【答案】D【解析】由题意得，∴，，∴或. 变式5.两平行直线与之间的距离是（　　） A． B． C． 2 D．1 【答案】A 考点六 直线的对称问题 例6.求与点P(3，5)关于直线l：x－3y＋2＝0对称的点P′的坐标． 变式6.已知直线l：y＝－2x＋6和点A(1，－1)，过点A作直线l1与直线l相交于B点，且|AB|＝5，求直线l1的方程． 【解析】（1）设P′(x0，y0)，则kPP′＝，PP′中点为. ∴，解得，∴点P′的坐标为(5，－1)． （2）当直线l1的斜率不存在时，方程为x＝1，此时l1与l的交点B的坐标为(1，4)．|AB|＝，符合题意．当直线l1的斜率存在时，设为k，则，∴直线l1的方程为y＋1＝k(x－1)，则l1与l的交点B为，∴|AB|＝， 解得k＝－，∴直线l1的方程为3x＋4y＋1＝0.综上可得，l1的方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0. 1.若图中的直线、、的斜率分别为、、则（ ） A． B． C． D． 【答案】A【解析】由于直线的倾斜角为钝角，所以；由于直线的倾斜角为锐角，且的倾斜角小于的倾斜角，所以，所以.故选：A 2.（多选题）直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线斜率可能是( ) A． B． C．1 D． 【答案】ACD 【解析】当直线过点B时，设直线的倾斜角为，则 ，当直线过点A时，设直线的倾斜角为，则，故要使直线过点，且与以，为端点的线段有公共点，则直线的斜率的取值范围为：或，故选：ACD. 3、过点和点的直线与过点和点的直线的位置关系是（ ） A．平行 B．重合 C．平行或重合 D．相交或重合 【答案】C【解析】由题意知：， ， ，当时，与没有公共点 ，当时，与有公共点， 与重合， 与平行或重合，本题正确选项： 4、过点且平行于直线的直线方程为( ) A. B. C. D. 【答案】C【解析】由题设可得所求直线的斜率是，由点斜式方程可得，即，应选答案C。 5、已知直线，直线，直线，且直线与直线，分别交于，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】B【解析】根据题意可得，，故等于两平行线与之间的距离，即． 6、在直线x−y＋4=0上存在一点P，使它到点M(−2,−4)，N(4,6)的距离相等，则点P的坐标为________． 【答案】【解析】设P点的坐标是(a，a＋4)，由题意可知|PM|=|PN|，即 ，解得.故P点的坐标是. 7、根据所给条件求直线的方程． (1)直线过点(－4，0)，倾斜角的正弦值为； (2)直线过点(－3，4)，且在两坐标轴上的截距相等； (3)直线过点(5，10)，且到原点的距离为5. 解：(1)由题意知，直线的斜率存在，设倾斜角为α，则sinα＝(α∈[0，π))，从而cosα＝±，则k＝tanα＝±.故所求直线的方程为y＝±(x＋4)，即x±3y＋4＝0. (2)若截距不为0，设直线的方程为＋＝1，∵直线过点(－3，4)，∴＋＝1，解得a＝1. 此时直线方程为x＋y－1＝0.若截距为0，设直线方程为y＝kx，代入点(－3，4)， 有4＝－3k，解得k＝－，此时直线方程为4x＋3y＝0.综上，所求直线方程为x＋y－1＝0或4x＋3y＝0. (3)由题意知，当直线的斜率不存在时符合题意，此时直线方程为x－5＝0.当直线斜率存在时，设其方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得＝5， 解得k＝.此时直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0. 8、已知的顶点，边上的高所在的直线方程为，为的中点，且所在的直线方程为. (1)求顶点的坐标； (2)求过点且在轴、轴上的截距相等的直线的方程. 【解析】（1）由已知得： 直线的方程为：，即： 由，解得：，的坐标为 （2）设，则则，解得： 直线在轴、轴上的截距相等当直线经过原点时，设直线的方程为 把点代入，得：，解得：此时直线的方程为：当直线不经过原点时，设直线的方程为把点代入，得：，解得：此时直线的方程为直线的方程为：或 9、已知三角形的三个顶点，，． （1）求线段的垂直平分线所在直线方程； （2）求过边上的高所在的直线方程； 【答案】（1）；（2）.【解析】（1）∵中点为，， ∴的中垂线的斜率为，直线方程为，即； （2） 边上高所在直线的斜率为，边的高所在直线方程为即． 第 9 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $