2.3 2.3.1　两条直线的交点坐标-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

2．3　直线的交点坐标与距离公式 2．3．1　两条直线的交点坐标 学习目标　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标，以培养数学运算能力．(重点)　2.会根据直线方程判定两条直线的位置关系，以提升逻辑推理、数学运算能力．(重点) 在平面几何中，我们对直线作了定性研究．引入平面直角坐标系后，我们用二元一次方程表示直线，直线的方程就是相应直线上每一个点的坐标所满足的一个关系式．这样，我们可以通过方程把握直线上的点，进而用代数方法对直线进行定量研究，例如求两条直线的交点坐标，平面内与点、直线相关的距离问题等． 问题1　已知 l1：2x＋y＋3＝0，l2：x－2y－1＝0，请求解此方程组，并思考方程组的解相当于什么． 提示：解方程组得 所以它们可以抽象成直线l1与l2相交，交点坐标为(－1，－1). 【自主评测】 1．教材挖掘：请认真阅读教材P70，分析思考： 若直线l1：a1x＋b1y＋2＝0和直线l2：a2x＋b2y＋2＝0的交点是P(3，4)，则点P在l1，l2上吗？由此能求出过A(a1，b1)，B(a2，b2)两点的直线的方程吗？ 提示：点P在l1，l2上，由已知得3a1＋4b1＋2＝0且3a2＋4b2＋2＝0，所以A，B都在直线3x＋4y＋2＝0上，所以过点A，B两点的直线的方程是3x＋4y＋2＝0. 2．判断是非：判断下面结论是否正确，正确的打“√”，错误的打“×”． (1)由两条直线的方程组成的方程组有解，则两直线相交．(　　 ) (2)若两条直线的斜率不相等，则两直线一定相交．(　　 ) (3)两直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0；l2：A2x＋B2y＋C2＝0相交的充要条件是A1B2－A2B1≠0.(　　 ) (4)方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，表示经过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0和l2：A2x＋B2y＋C2＝0的交点的所有直线．(　　 ) 提示：(1)×　(2)×　(3)√　(4)× 　求相交直线的交点坐标 问题2　关于x，y的二元一次方程组的解如何求？ 提示：加减消元法或代入消元法． 问题3　已知两条直线l1：3x＋4y－2＝0，l2：2x＋y＋2＝0，画出两条直线的图象，分析交点坐标M与直线l1，l2的方程有什么关系？ 提示：直线l1，l2的图象如图所示．点M既在直线l1上，也在直线l2上，满足直线l1的方程3x＋4y－2＝0，也满足直线l2的方程2x＋y＋2＝0， 即交点坐标是方程组的解． 已知两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0, l2：A2x＋B2y＋C2＝0，设这两条直线的交点为P，则点P的坐标是方程组的解． 温馨提示 (1)解方程组时需注意消元法的使用，可用加减消元或代入消元． (2)图象可以大致判断交点位置，解方程组更为准确. 例1　(链接教材：人A版教材P71例2)求经过两直线l1：3x＋4y－2＝0和l2：2x＋y＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l的方程． 解：由方程组解得即l1与l2的交点坐标为(－2，2). ∵直线l也过坐标原点，∴其斜率k＝＝－1.故直线l的方程为y＝－x，即x＋y＝0. 类题通法 　 (1)求两直线的交点坐标可直接建立方程组求解，并可利用解的个数判断直线的位置关系． (2)当多条直线相交于同一点时，先选两直线求交点，此点必须满足其他直线. 【迁移运用】 1.(1)当0<k<时，直线l1：kx－y－k＋1＝0与直线l2：ky－x－2k＝0的交点在(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选B.由得 当0<k<时，∵<0，>0，∴交点在第二象限． (2)(一题多解)若直线2x＋3y－k＝0与直线x－ky＋12＝0的交点在y轴上，则k的值为(　　 ) A．－24 B．6 C．±6 D．24 解析：选C.法一　联立方程得 消去y得x＝ (k≠－). 由题意知＝0，解得k＝±6. 法二　显然k≠0，在2x＋3y－k＝0中， 令x＝0，得y＝， 在x－ky＋12＝0中，令x＝0，得y＝， 由题意可得＝，解得k＝±6. 　利用直线的交点判断两直线的位置关系 问题4　设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，① l2：A2x＋B2y＋C2＝0.② 由①×B2－②×B1，得(A1B2－A2B1)x＝－(C1B2－C2B1).③ 当A1B2－A2B1≠0时，方程③的解为x＝－，l1与l2相交，还有其他情况吗？ 提示：当A1B2－A2B1＝0且C1B2－C2B1≠0时，方程③无解，l1∥l2； 当A1B2－A2B1＝C1B2－C2B1＝0时，方程③有无数个解，l1与l2重合． 已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)： 方程组的解 一组 无数组 无解 直线l1与l2的公共点的个数 一个 无数个 零个 直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行 例2　(链接教材：人A版教材P72练习T1)判断下列直线是否相交，若相交，求出交点的坐标． (1)l1：3x－y＋4＝0，l2：x＋3y＋2＝0； (2)l1：3x－5y＋10＝0，l2：9x－15y＋30＝0. 解：(1)解方程组得 所以这两条直线相交，交点坐标是. (2)由9x－15y＋30＝0能化为方程3x－5y＋10＝0可知， 方程组有无数组解，所以这两条直线重合． 类题通法 1．判断两直线位置关系的方法，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况． 有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0. 2．虽然利用方程组解的个数可以判断两直线的位置关系，但是由于运算量较大，一般较少使用. 【迁移运用】 2.已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________． 解析：由得 由得 所以－<a<2. 答案： 　直线系过定点问题 问题5　在直线的点斜式方程y－y0＝k(x－x0)中，如果k为变量，则该直线恒过定点吗？ 提示：恒过点(x0，y0). 问题6　 方程A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0代表直线吗？它有什么特征？ 提示：化成(A1＋λA2)x＋(B1＋λB2)y＋(C1＋λC2)＝0，即为直线方程；表示恒过A1x＋B1y＋C1＝0与A2x＋B2y＋C2＝0的交点． 1．平行于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Ax＋By＋λ＝0(λ≠C). 2．垂直于直线Ax＋By＋C＝0的直线系方程为Bx－Ay＋λ＝0． 3．过两条已知直线A1x＋B1y＋C1＝0，A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系方程为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0(不包括直线A2x＋B2y＋C2＝0). 温馨提示 一般情况下，若直线方程中含有一个参数，则该直线过定点. 角度一　定点的求解 例3　求证：不论m为何实数，直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5都过某一定点． 证明：法一　取m＝1时，直线方程为y＝－4； 取m＝时，直线方程为x＝9. 两直线的交点为P(9，－4)，将点P的坐标代入原方程，左边＝(m－1)×9＋(2m－1)×(－4)＝m－5＝右边． 故不论m取何实数，点P(9，－4)总在直线(m－1)x＋(2m－1)y＝m－5上，即直线恒过点P(9，－4). 法二　原方程可化为(x＋2y－1)m＋(－x－y＋5)＝0. 若对任意m都成立， 则解得 所以不论m为何实数，所给直线都过定点P(9，－4). 类题通法 解含参数的直线恒过定点问题的策略一 (1)任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解． (2)若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的直线必过定点(x0，y0). 【迁移运用】 3.若a＋b＋c＝0，且a，b不同时为0，求证：直线ax＋by＋c＝0必过一个定点． 证明：因为a＋b＋c＝0，且a，b不同时为0， 不妨设b≠0，则a＝－(b＋c). 代入直线方程ax＋by＋c＝0，得－(b＋c)x＋by＋c＝0，即(x－y)＋(x－1)＝0， 此方程可视为过直线x－y＝0与x－1＝0的交点的直线系方程(不包括直线x－1＝0). 解方程组得 即两条直线的交点的坐标为(1，1). 故直线ax＋by＋c＝0必过定点(1，1). 角度二　过定点的直线系问题 例4　(链接教材：人A版教材P72练习T3)求经过两直线l1：x－2y＋4＝0和l2：x＋y－2＝0的交点P，且与直线l3：3x－4y＋5＝0垂直的直线l的方程． 解：法一　由方程组得即P(0，2). 设l：4x＋3y＋c＝0，将(0，2)代入得c＝－6，∴l：4x＋3y－6＝0. 法二　设l：x－2y＋4＋λ(x＋y－2)＝0， 即(1＋λ)x＋(λ－2)y＋4－2λ＝0　*， ∵l3的斜率为，∴－＝－，得λ＝11，代入*中，整理得4x＋3y－6＝0. 类题通法 解含参数的直线恒过定点问题的策略二 含有一个参数的二元一次方程若能整理为A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组解得． 若整理成y－y0＝k(x－x0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x0，y0). 【迁移运用】 4.求证：不论m取什么实数，直线(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0都经过一定点，并求出这个定点坐标． 解：将已知方程(2m－1)x＋(m＋3)y－(m－11)＝0，整理为(2x＋y－1)m＋(－x＋3y＋11)＝0. 由于m取值的任意性，所以有解得 所以不论m取什么实数，所给直线均经过定点(2，－3). 1．两条直线l1：2x－y－1＝0与l2：x＋3y－11＝0的交点坐标为(　　 ) A．(3，2) B．(2，3) C．(－2，－3) D．(－3，－2) 解析：选B.解方程组得 2．直线3x＋4y－2＝0与直线2x＋y＋2＝0的位置关系(　　 ) A．相交但不垂直 B．平行 C．重合 D．垂直 解析：选A.由得此方程组有唯一解，又因为3×2＋4×1≠0，所以两直线不垂直． 3．不论m为何实数，直线l：(m－1)x＋(2m－3)y＋m＝0恒过定点(　　 ) A．(－3，－1) B．(－2，－1) C．(－3，1) D．(－2，1) 解析：选C.直线l的方程可化为m(x＋2y＋1)－x－3y＝0， 令解得 ∴直线l恒过定点(－3，1). 4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________． 解析：法一　由方程组得 ∴交点坐标为(0，4)， 即y－4＝－2x，∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 法二　设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4)＝0， 即(3＋λ)x＋(λ－1)y＋4－4λ＝0， ∴k＝＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x＋y－4＝0. 答案：2x＋y－4＝0 直线系方程 (链接教材P67“习题2.2T11结论”栏目) 具有某种共同属性的一类直线的集合称为直线系，表示直线系的方程叫做直线系方程，其特点是除含坐标变量x，y以外，还含有特定系数(也称参变量). 名师点拨 (1)已知直线的纵截距b，常设该直线的方程为y＝kx＋b(不适用于斜率不存在的直线)； (2)已知直线的横截距a，常设该直线的方程为x＝ky＋a(不适用于斜率为0的直线)； (3)与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋m＝0(其中m为参数且m≠C)； (4)与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋m＝0(其中m为参数)； (5)设点P0(x0，y0)在直线Ax＋By＋C＝0上，则这条直线的方程还可以写成A(x－x0)＋B(y－y0)＝0. 因此有如下结论：①过点P(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程为A(x－x0)＋B(y－y0)＝0； ②过点P(x0，y0)，且与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程为B(x－x0)－A(y－y0)＝0. 其中点P(x0，y0)不在直线Ax＋By＋C＝0上． 对于选择题、填空题，利用上述结论非常简便． 学科网（北京）股份有限公司 $