精品解析： 广东省湛江一中2024-2025学年上学期八年级期末数学模拟试卷

2024-2025学年广东省湛江一中八年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中不是轴对形图形的是（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．本题考查轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：A，B，D是轴对称图形，C不是轴对形图形， 故选： 2. 若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000 021用科学记数法表示为（　　） A. 21×10﹣4 B. 2.1×10﹣6 C. 2.1×10﹣5 D. 2.1×10﹣4 【答案】C 【解析】 【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：将数据0.000021用科学记数法表示为：2.1×10﹣5． 故选C． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 3. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数进行求解即可． 详解】解：∵点和点关于x轴对称， ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形变化—轴对称，熟知关于x轴对称的点横坐标相同，纵坐标互为相反数是解题的关键． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，幂的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握其法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法、合并同类项、幂的乘方、积的乘方，解答即可． 【详解】解：A．，故本选项符合题意； B．，故本选项不符合题意； C．，故本选项不符合题意； D．，故本选项不符合题意； 故选：A． 5. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查折叠的性质，与角平分线有关的计算，根据、为折痕，可知、分别为，的角平分线，由此即可求解． 【详解】解：∵、为折痕， ∴，， ∴， ∵， 故选：B． 6. 若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，则a2﹣b2的值是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 6 D. ﹣6 【答案】D 【解析】 【分析】由非负数的性质得出a-b=2，a+b=-3，求出a，b的值，再代入a2-b2进行计算即可． 【详解】∵（a-b-2）2+|a+b+3|=0， ∴a-b=2，a+b=-3， ∴a2-b2=（a+b）（a-b）=2×（-3）=-6； 故选D． 【点睛】本题主要考查了非负数的性质，由非负数的性质求a，b的值是解题的关键． 7. 等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（ ） A. 3cm或5cm B. 3cm或7cm C. 3cm D. 5cm 【答案】C 【解析】 【详解】当3为腰时，则底边长为9，但是3、3、9无法构成三角形，则3只有为底． 故选C. 8. 下列各式是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查最简分式的定义，最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分． 【详解】解：A、，分子与分母中含有相同因式，故不是最简分式； B、，分子与分母中不含相同因式，故是最简分式； C、，分子与分母中含有相同因式，故不是最简分式； D、的分子、分母中含有相同因式，故不是最简分式； 故选B． 9. 已知（x﹣3）（x2﹣mx+n）的乘积中不含x2项和x项，则m，n的值分别为（　　） A. m＝3，n＝9 B. m＝3，n＝6 C. m＝﹣3，n＝﹣9 D. m＝﹣3，n＝9 【答案】D 【解析】 【分析】先根据多项式的乘法法则计算，合并同类项后根据乘积项中不含x2和x项可得这两项的系数为0，进一步即可求出答案． 【详解】解：原式＝ ∵乘积项中不含x2和x项， ∴ 解得：m＝-3，n＝9． 故选D． 【点睛】本题主要考查了多项式的乘法，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是关键． 10. 如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第个；在边上任取一点，延长到点，使，得到第个……按此作法继续下去，则第个三角形的底角度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，得出，及的度数，从而找出规律是解答此题的关键． 先根据等腰三角形的性质求出，再根据三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，及的度数，找出规律即可得出第个三角形中以为顶点的底角度数，从而可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵，是的外角， ∴； 同理可得，， ∴第个三角形中以为顶点的底角度数是． ∴第个三角形中以为顶点的底角度数是， 故选：C． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11 因式分解：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了整式的因式分解，利用提公因式法分解． 【详解】 ． 故答案为：． 12. 如图，在中，，则______． 【答案】80°##80度 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，解题的关键证明三角形全等． 根据证，根据全等三角形的性质推出，求出即可． 【详解】解：在和中， ， ， ． 故答案为：． 13. 若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的除法逆用，原式利用同底数幂的除法运算法则变形，将已知等式代入计算即可求出值．熟练掌握幂的运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：∵，， ． 故答案为：3． 14. 如图，在中，，，，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为__________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】连接、、过作于，求出、值，求出、值，求出、值，代入求出即可． 【详解】解：连接、、过作于， 在中，，，， ，， ， 的垂直平分线， 同理， ， 同理， ， 故答案是：5． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线性质，等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形等知识点的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力． 15. 已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为____________． 【答案】且 【解析】 【分析】将原方程去分母得，整理得，再根据题意列得关于m的不等式，解不等式即可．本题考查解一元一次不等式，分式方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 【详解】解： 去分母得：， 整理得：， 原方程的解为负数， 且， 解得：且， 故答案为：且 三、计算题：本大题共1小题，共7分． 16. 计算： （1） （2）已知：，，求：的值． 【答案】（1）2； （2）10． 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂，负整数指数幂，完全平方公式变形求值． (1)先计算零指数幂，负整数指数幂，化简绝对值，再加减计算； (2)根据完全平方公式变形求值即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ∵，， ∴． 四、解答题：本题共7小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中 【答案】， 【解析】 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【详解】解：原式 ， 当时，原式 18. 如图，平分，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质；由得再由角平分线性质及公共边，即可证明，从而可得结论成立． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 19. 如图，已知∠AOB，点是边上一点，且∠ACD=∠AOB. （1）尺规作图：作∠AOB的平分线OE，交CD于点E.（保留作图痕迹，不写作法） （2）在(1)所作图形中,若∠AOB=30°,OC=4,求△OCE的面积. 【答案】(1)作图见解析；(2)S△OCE=4. 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图可得； （2）过点E作EF⊥OA于点F，根据角平分线的性质，平行的性质和直角三角形中30°所对的边是斜边的一半可以求得. 【详解】(1)作图 （2）过点E做EF⊥OA于点F ∵OE平分∠AAOB ∴∠1=∠2 ∵∠ACD=∠AOB=30° ∴CD∥OB ∴∠3=∠2 ∴∠1=∠3 ∴EC=OC=4 在RT△CEF中，∠ACD=30° ∴EF=EC=2 ∴ 【点睛】角平分线的性质，平行的性质和直角三角形中30°所对的边是斜边的一半等知识，适当作出辅助线可以帮助解答. 20. 某图书馆计划选购甲、乙两种图书，已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的1.5倍，用900元单独购买甲图书比用900元单独购买乙图书要少30本． (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元? (2)如果该图书馆计划购买甲乙两种图书共80本，且用于购买图书的总经费不超过900元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲图书? 【答案】（1）甲图书每本价格为15元，乙图书每本价格为10元；（2）该图书馆最多可以购买20本甲图书． 【解析】 【分析】（1）设乙图书每本价格为x元，从而可得甲图书每本价格为元，再根据“用900元单独购买甲图书比用900元单独购买乙图书要少30本”建立分式方程，然后解方程即可得； （2）设购买甲图书的数量为a本，从而可得购买乙图书的数量为本，再根据“用于购买图书的总经费不超过900元”建立关于a的不等式，然后解不等式求出a的取值范围，最后根据a的整数性即可得． 【详解】（1）设乙图书每本价格为x元，则甲图书每本价格为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， 则， 答：甲图书每本价格为15元，乙图书每本价格为10元； （2）设购买甲图书的数量为a本，则购买乙图书的数量为本， 由题意得：， 解得， 因为a为正整数， 所以该图书馆最多可以购买20本甲图书． 【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用，依据题意，正确建立分式方程和不等式是解题关键． 21. 我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”； （2）已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式． 【答案】（1）C不是D的“雅中式” （2） 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． （1）将两式作差并计算后进行判断即可； （2）根据题意列式计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴ ， ∴不是D的“雅中式”； 【小问2详解】 解：∵分式，，P是Q的“雅中式”， 且P关于Q的“雅中值”是2， ∴ ． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是________． （2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）；（2）①；②当点与点重合时，的值最小，最小值是 【解析】 【分析】（1）△ABC为等腰三角形，∠B为底角，则可求顶角∠A，MN是AB的垂直平分线，可知∠A+∠AMN=90゜，求出∠AMN即可， （2）①由垂直平分可知，可证C△NBC等于AC+BC即可， ②过点C作点C关于MN的对称点C′，连结BC′，交MN恰好M，当点与点重合时，三角形PBC的周长最短，求出即可． 详解】解：（1）AB=AC，∠B=70゜，∴∠C =∠B =70゜,∠A=180゜-2∠B=40゜, ∵MN⊥AB，∴∠NMA+∠A=90゜，∴∠NMA=50゜， （2）①如图∵垂直平分∴， ∵∴， ∴． ②如下图，过点C作点C关于MN对称点C′，连结BC′，交MN恰好M，由对称性AB与BC′交点在MN上，当点与点重合时，的值最小，最小值是，此时三角形PBC的周长=三角形BMC的周长=BC+BM+CM=BC+AM+CM=BC+AB=14cm． 【点睛】本题考查已知等腰三角形底角，求腰中垂线与另一斜边的夹角，以及三角形周长最短问题，掌握作点C关于MN的对称点，连结BC′与AC交于M，点P与点M重合时是解题的关键． 23. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． （1）求证：△BCD为等腰三角形； （2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如下图所示，求证：BD+AD＝AB+BE； （3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，写出正确的结论并证明． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB，理由见解析 【解析】 【分析】（1）如图所示，先根据三角形内角和的得∠ABC=70°，由角平分线及已知角可得，∠DBC=∠ACB=35°，可得结论； （2）证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH，证明△ABE≌△AHE，则BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°，所以EH＝HC，得AB+BE＝AH+HC＝AC=AD+CD=BD+AD 证法二：如图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF，证明△AEF≌△AEC，则∠F＝∠C=35°，得BF=BE，可得结论 （3）正确画图，做辅助线，构造等腰三角形，根据角大小证明：AF=AC=EF，则线段的和与差可得结论 【小问1详解】 如下图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°， ∴∠ABC＝180°﹣∠BAC﹣∠ACB＝70°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠DBC＝∠ABD＝35°， ∴∠DBC＝∠ACB＝35°， ∴△BCD为等腰三角形； 【小问2详解】 证法一：如下图所示，在AC上截取AH＝AB，连接EH， 由（1）得：△BCD为等腰三角形， ∴BD＝CD， ∴BD+AD＝CD+AD＝AC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAB＝∠EAH， ∴△ABE≌△AHE（SAS）， ∴BE＝EH，∠AHE＝∠ABE＝70°， ∴∠HEC＝∠AHE﹣∠ACB＝35°， ∴EH＝HC， ∴AB+BE＝AH+HC＝AC， ∴BD+AD＝AB+BE； 证法二：如下图所示，在AB的延长线上取AF＝AC，连接EF， 由（1）得：△BCD为等腰三角形，且BD＝CD， ∴BD+AD＝CD+AD＝AC， ∵AE平分∠BAC， ∴∠EAF＝∠EAC， ∴△AEF≌△AEC（SAS）， ∴∠F＝∠C， ∵∠C＝35° ∴∠F＝∠C＝35° 由（1）知∠ABC＝70° ∴∠BEF=35° ∴∠F=∠BEF ∴BF＝BE， ∴AB+BE＝AB+BF＝AF， ∴BD+AD＝AB+BE； 【小问3详解】 探究（2）中的结论不成立，正确结论：BD+AD＝BE-AB，理由是： 如上如图所示，在BE上截取BF＝AB，连接AF， ∴∠AFB＝∠BAF ∵∠ABC＝70°， ∴∠AFB＝∠BAF＝35°， ∵∠BAC＝75°， ∴∠HAB＝105°， ∵∠BAC＝75° ∴∠BAH＝105° ∵AE平分∠HAB， ∴∠EAB＝∠HAB＝52.5°， ∴∠EAF＝52.5°﹣35°＝17.5°＝∠AEF＝17.5°， ∴AF＝EF， ∵∠AFC＝∠C＝35°， ∴AF＝AC＝EF， ∴BE-AB＝BE-BF＝EF＝AC＝AD+CD＝AD+BD． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和和外角的性质，正确作出辅助线是解题关键 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年广东省湛江一中八年级（上）期末数学模拟试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图形中不是轴对形图形的是（    ） A B. C. D. 2. 若一粒米的质量约是0.000021kg，将数据0.000 021用科学记数法表示为（　　） A 21×10﹣4 B. 2.1×10﹣6 C. 2.1×10﹣5 D. 2.1×10﹣4 3. 在平面直角坐标系中，已知点和点关于x轴对称，则的值是（　　） A. B. 1 C. D. 5 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，为折痕，若，则为（　　） A. B. C. D. 6. 若（a﹣b﹣2）2+|a+b+3|=0，则a2﹣b2的值是（　　） A. ﹣1 B. 1 C. 6 D. ﹣6 7. 等腰三角形的周长为15cm，其中一边长为3cm．则该等腰三角形的底长为（ ） A. 3cm或5cm B. 3cm或7cm C. 3cm D. 5cm 8. 下列各式是最简分式的是（　　） A. B. C. D. 9. 已知（x﹣3）（x2﹣mx+n）的乘积中不含x2项和x项，则m，n的值分别为（　　） A. m＝3，n＝9 B. m＝3，n＝6 C. m＝﹣3，n＝﹣9 D. m＝﹣3，n＝9 10. 如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到点，使，连接，得到第个；在边上任取一点，延长到点，使，得到第个……按此作法继续下去，则第个三角形的底角度数是（ ） A. B. C D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 因式分解：__________． 12. 如图，在中，，则______． 13. 若，则________． 14. 如图，在中，，，，AB的垂直平分线交BC于点M，交AB于点E，AC的垂直平分线交BC于点N，交AC于点F，则MN的长为__________cm． 15. 已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为____________． 三、计算题：本大题共1小题，共7分． 16. 计算： （1） （2）已知：，，求：值． 四、解答题：本题共7小题，共68分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 先化简，再求值：，其中 18. 如图，平分，．求证：． 19. 如图，已知∠AOB，点是边上一点，且∠ACD=∠AOB. （1）尺规作图：作∠AOB的平分线OE，交CD于点E.（保留作图痕迹，不写作法） （2）在(1)所作图形中,若∠AOB=30°,OC=4,求△OCE面积. 20. 某图书馆计划选购甲、乙两种图书，已知甲图书每本价格是乙图书每本价格的1.5倍，用900元单独购买甲图书比用900元单独购买乙图书要少30本． (1)甲、乙两种图书每本价格分别为多少元? (2)如果该图书馆计划购买甲乙两种图书共80本，且用于购买图书的总经费不超过900元，那么该图书馆最多可以购买多少本甲图书? 21. 我们定义，如果两个分式A与B的差为常数，且这个常数为正数，那么称A是B的“雅中式”，这个常数称为A关于B的“雅中值”． 例如分式，，，则A是B的“雅中式”，A关于B的“雅中值”为2． （1）已知分式，，判断C是否为D的“雅中式”，若不是，请说明理由，若是，请求C关于D的“雅中值”； （2）已知分式，，P是Q的“雅中式”，且P关于Q的“雅中值”是2，请求出E所代表的代数式． 22. 如图，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AB于N，交AC于M． （1）若∠B=70°，则∠NMA的度数是________． （2）连接MB，若AB=8cm，△MBC的周长是14cm． ①求BC的长； ②在直线MN上是否存在点P，使由P，B，C构成的△PBC的周长值最小？若存在，标出点P的位置并求△PBC的周长最小值；若不存在，说明理由． 23. 如图所示，在△ABC中，∠BAC＝75°，∠ACB＝35°，∠ABC的平分线BD交边AC于点D． （1）求证：△BCD为等腰三角形； （2）若∠BAC的平分线AE交边BC于点E，如下图所示，求证：BD+AD＝AB+BE； （3）若∠BAC外角的平分线AE交CB延长线于点E，请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若不成立，写出正确的结论并证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$