安徽省中国科学技术大学附属中学2025-2026学年高一新生入学考试数学试题

2025年中国科学技术大学新生入学考试数学试题 一、填空题（每空5分，共40分） 1.函数f(x)=x“em,0<x<1的图象如下，a,b∈{1,2，…，9}，则a=_ 4a 2.设=V反，=，=e,4=,其中e是自然对数的底数，开是圆周率，则 ,2,3,x4从小到大排序为 3.若方程2six=x+c在区间(0,2π)内有唯一解，则实数c的取值范围为 4.设复数z满足|z=z+1一，i是虚数单位，则z2=x+yi的轨迹方程为 5.在平面直角坐标系中，椭圆x2+2xy+3y2=4的长轴方程为 6设n是正整数，化简和式之5= (表示成n的多项式) 7.设无顶盖的长方体盒子（共5个面）的表面积是1，则其容积的最大值为 8.数列月=B=1，F,=Fn-1十F-2（n=3,…,2025）共有一项可被9整除 二、解答题（每题15分，共60分，须写出必要的计算和证明过程） 9.给定△ABC,设a=BC,b=|AC,c=AB引，动点D,E,F分别在线段BC,AC,AB 上，求p=|DE+|DF+|EF的最小值（用a,b,c表示) 10.过空间四面体ABCD的顶点分别作垂线LA⊥BCD,lB⊥ACD,lc⊥ABD,ID⊥ABC, 求证：若AB⊥CD且AC⊥BD,则直线lA,IB,lc,ID相交于一点 11.设A= 4,B=24,其中a6都是实数。求证： 2025 2025 2025 a+≥Va+B 并给出上式取等号的充分必要条件 12.设随机变量X,Y相互独立并且分布列相同，X+Y的分布列是否可能为 P(X+Y=k)=min 14) 47 (k=2,3,…,12) 证明你的结论2025年中科大新生入学考试数学试题详解 1、函数f(x)=xem,0<x<1的图像如下，a,be{红，2，，9}，求a 0.010 0.008 0.006 0.004 0.002 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 解：x=L1m=g<002→b=7.-ea-7网，x-号e02003a-2 a dx 2、设西-5.5-对5=克=，共中e是自然对数的底数，是图同率，求，西西， 的从小到大的顺序 解：3今4<为；xhx/<4h4=8h2<6→<是→6<x 6π <8→h2>号2→2>>，棕上有<<< 3、若方程2simx=x+c在区间(0,2π)内有唯一解，求实数c的取值范围 解：09.09m-中x-骨号2出号-号6宁5-月 dx dx -号+6→65-g如图所*ce2,u5-号5- 2sin 33 z+c 2sinx +2 x=2行 4、设复数z满足=上+1-，i是虚数单位，求z2=x+y的轨迹方程 解：设2=m+i,由已知得m2+n2=(m+1)2+(n-1)2→m-n+1=0→z=n-1+ni→ x+7-2-1-2n+20m-→x-1-2m,y-2m0n-0→y-- 2 5、在平面直角坐标系中，求椭圆x2+2y+3y2=4的长轴方程 解：= +20+391+ x2+y2 5-1+2k+3项→0-3g0k2-26k+1-5=0,△20→-1+4g-2g2≥0 e1受-0兰g0儿-0号引1-5释长方0-0加 2 6、设n是正整数，化简和式∑k=（表示成n的多项式) 解：下图三角形式为每行最右数为1，从右边起第2项的数为它肩上两数之和再乘以2，第3 项为它商上两数之和再乘以3，，则2-c2-2c+c2-6C+6C+c C+C+Ca1C+0C+10ccCa ns n3 5n n2 621212 1 2 1 6 1 24 36 14 1 120 240 150 30 720 1800 1560 540 62 1 7、设无顶盖的长方体盒子（共5个面）的表面积是1，求其容积的最大值 解：设长宽高分别为a,b,c,①表面积为ab+2ac+2bc=1,V=abc,由均值不等式： 1-b+2ac+2c≥3406-3x4v3→r≤，1=5(a-6-1 1 3x418 取等) ②表面积ac+2ab+2bc=lV=ac,1=ac+2ab+2bc≥34a8z=3x4.ri与y≤5 8 ③表面积c+2ab+2ac=1V=ac,1=bc+2a6-2ac≥34ab-3x4r房y5 1.2 18 综上，所求容积的最大值为 18 8、数列耳=2=1，n=F+Fn-2(m=3,2025)共有一项可被9整除 解：斐波那契数列模9的值会出现周期性变化：耳=1(mod9),耳3=1(mod9),≡2(mod9), F4=3(mod9),F=5(mod9),F6=8(mod9),,=4(mod9),g=3(mod9),,=7(mod9), Fo≡1(mod9),1=8(mod9),F2≡0(mod9),F:≡8(mod9),F4≡8(mod9),Fs=7(mod9), 6≡6(mod9),,=4(mod9),8=1(mod9),g=5(mod9),F0=6(mod9),F1=2(mod9), F2≡8(mod9),F3=1(mod9),F4=0(mod9),F5≡1(mod9),F6=1(mod9),T-24,一个周期 内放9坐隆的有两个，截205项里，总共有[2器}2-168项可孩9整除。 9、给定△ABC,设a=BC,b=AC,c=AB到，动点D,E,F分别在线段BC,AC,AB上，求 p=D+DF+EF的最小值（用a,b,c表示） 解：①△ABC为锐角或直角三角形：作D关于AB,AC的对称点D,D,连接DD则 ∠DAD3 =2∠A,AD=AD=AD2→Pm=DDl=V2AD1-cos2A)=2AD:sinA.当AD⊥BC→ D-25a_bosinAp2bcsin'd_8 a+b+c-a+b+oYa-b+oYa+b-d) aa a abc 2abc ②△ABC为钝角三角形：若∠B为钝角，由①得Pm=2 AD.sin A,但因点A到BC的 垂足不在线段BC上，当D与B重合时AD==c→Pm=2Cs如A-经 b a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)a+b-c) 6 ;同理可得当∠C为钝角时： 2m-a+6+0X-a+6+9a-b+9a+b- ;同理可得当∠A为钝角时： (a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c) D 10、过空间四面体ABCD的顶点分别作垂线l⊥BCD,lB⊥ACD,le⊥ABD,lD⊥ABC 求证：若AB⊥CD且AC⊥BD,则直线，，le,l相交于一点 证明：设B=b,AC=c,D=d,其中A为原点.由已知得b(d-c)=0→bd=bc, c.(d-b)=0→cd=cb,联立得bd=cd→d.(b-c)=0→AD⊥BC 综上知四面体ABCD的三组对边均互相垂直，这样的四面体为垂心四面体， 在垂心四面体中，从各顶点向对面所作的垂线共点.下证： ·CD上取点E,AE⊥CD,因CD⊥AB→CD⊥面ABE→BE⊥CD,则过AB 向对面所作的垂线都在平面ABE内，设两条高线交于点H ·连接CH,因AH⊥BD,BD⊥AC→BD⊥面ACH→BD⊥CH① 又BH⊥AD,AD⊥BC→AD⊥面BCH→CH⊥AD②，由①②得CH⊥面ABD ·类似可得DH⊥面ABC 综上，垂心四面体从各顶点向对面所作的垂线相交于一点 2025 2025 11、设A=∑a,B=∑6，其中a,b,都是实数，求证： +2P+B, 2025 并给出上述取等号的充分必要条件 证：设可-612，-原，◆i-蓉-冒4-以周 2025 2025 2025 202 →园=√+B2,由向量模三角不等式得 等号成立当且仅当存在实数m,n和非负实数，入2,25有a;=m,b,=n. 12、设随机变量X,Y相互独立并且分布列相同.X+Y的分布列是否可能为 Px+Y-为-mint,14- ,k=2,3.…12？证明你的结论 47 解：假设P(X+7=).mi血在14- 47 2k=2,312.因X+Y=2,3,12→X,Y=1,2,,6. 令Pk=P(X=k),k=12,,6,由P(X+Y=)=P(X+Y=14-k),有乃1=P6,P2=P5,P3=P4 Px7-到-后-→n-层：，7-)号a+nn宁 3 PX+Y=9-有2nA+p→A 4 23 16v94 .检验P(X+Y=5)=2(PP4+P2P3)= 23 、69 2nP3+2PP=8x47+32x47 161 32×47 多，矛盾。因此，不存在给定形式的X+了分布列