9.2：整式加减中的新定义问题 讲义 2025-2026学年沪教版七年级数学上册

2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 整式加减中的新定义问题 题型1：整式加减中的定义新运算 1．定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 【思路点拨】 本题考查了整式的加减，合并同类项，去括号，根据定义的新运算，求出的值；再对进行运算，转化成关于的形式，即可求出结果，掌握知识点的应用是解题的关键． 【解题过程】 解：∵ ， ∴， ∴． 则： ， 故选：． 2．定义一种新运算“”的计算规则是：（其中a，b都是有理数）．例如. 下列等式成立的个数是（    ） ①；②；③ A．3 B．2 C．1 D．0 【思路点拨】 本题主要考查了新定义运算，整式加减运算，解题的关键是理解题意，分别求出各个式子的值，然后进行比较即可． 【解题过程】 解：①∵，， 又∵， ∴，故①正确； ②∵， ∴，故②正确； ③ ∵，， 又∵， ∴，故③错误； 综上分析可知，等式成立的个数是2个，故B正确． 故选：B． 3.定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了有理数的新定义运算，整式加减无关型问题，代数式求值，理解新定义运算是解题的关键．先化简，然后根据的值与x的取值无关，可以得到k的值，然后即可求得所求式子的值． 【详解】解：由题意可得， ； 的值与x的取值无关， ， 解得：． ． 故答案为：． 4.定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，例如：． (1)求的值； (2)化简并求值：，其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求a的值． 【答案】(1) (2)1 (3) 【知识点】整式的加减中的化简求值、有理数四则混合运算、已知式子的值，求代数式的值、整式加减中的无关型问题 【分析】本题主要考查了新定义运算、有理数运算、整式加减运算等知识，正确理解新定义运算是解题关键． （1）根据新定义运算求解即可； （2）根据题意可知，结合新定义运算将化简，然后将代入求值即可； （3）首先根据新定义运算计算与的差，结合知与的差中不含项可知，求解即可获得答案． 【详解】（1）解：根据题意，可知 ； （2）∵a，b互为相反数，x是最大的负整数 ∴， ∴ ； （3）根据题意，可知与的差为 ， ∵与的差中不含项， ∴，得解． 5.定义一种新运算“”：，比如：． （1）_____________；_____________； （2）当时，是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出一组的具体值加以说明； （3）若，比较与的大小． 【解析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减，解题的关键是： （1）直接根据新定义，代入计算即可； （2），假设分别代入计算即可发现结论；； （3）化简和，再计算，根据结果分类讨论即可． （1）解：； ； （2），假设 则：； ； 故不成立； （3） ； ； 当时，； 当时，； 当时，． 题型2：整式加减中的定义新概念 6.定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 【答案】(1)3 (2)8 【分析】（1）根据相关数的定义得到，从而得到a的值； （2）根据相关数的定义得到，从而，根据B的值与m无关得到，求出n的值，从而得到B的值． 本题考查了合并同类项，新定义问题，掌握与m无关就合并同类项后让m前面的系数等于0是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 故答案为：3； （2）解：∵， ∴ ∴ ∵B的值与m无关， ∴， ∴， ∴． 答：B的值为8． 7.定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 【答案】 否 【分析】本题以新定义为载体，主要考查了整式的加减，正确理解新定义、熟练掌握整式加减运算的法则是解题的关键； （1）根据平衡数的定义列式计算即可； （2）根据平衡数的定义计算的值是否等于2即可作出判断． 【详解】解：（1）根据题意，3关于1的平衡数是， 关于1的平衡数是， 故答案为：，； （2）因为 ， 所以a与b不是关于1的平衡数； 故答案为：否． 8.对于有理数，，，，若，则称和关于的“明德值”为．例如，，则2和3关于1的“明德值”为3． (1)和3关于1的“明德值”为________； (2)若和2关于1的“明德值”为3，求的值； (3)若和关于1的“明德值”为1，和关于2的“明德值”为1，和关于3的“明德值”为1，，和关于50的“明德值”为1，求的值．（用含的式子表示） 【答案】(1) (2)或 (3)当时，的值为，当时，的值为 【分析】（1）根据“明德值”的定义，进行求解即可； （2）根据“明德值”的定义，列出方程，进行求解即可； （3）分或；；；，，四种情况进行求解即可． 【详解】（1）解：和3关于1的“明德值”为： ． （2）和2关于1的“明德值”为3， ， 整理得：， 或， 解得：或； （3）， ，都不为负数， 分为4种情况， ①当或时，，，， 此时． ②当时，若，则，此种情形不存在． 若，则，， 此时． ③当时，，，， ，，，， ，即；，即； 同理可得：，，， ，，，，， ④当，时， ，，，， 此时\，，，，， ，，，； 综上所述：当时，的值为， 当时，的值为． 【点睛】本题考查化简绝对值，绝对值方程，整式的加减运算，有理数的加减运算，理解并掌握“明德值”的定义，是解题的关键． 9.对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以___________，___________，______________． 所以______________________， 所以是“好六数” (3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除． 【答案】(1)不是； (2)，，7；，6； (3)见解析 【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的运算，正确理解新定义是解题的关键． （1）根据新定义“好六数”，仿照示例，即可判断352不是“好六数”； （2）按照“好六数”的定义，根据证明过程，填写完整步骤即可； （3）仿照第（2）题的过程，得到，即可证明能被3整除． 【详解】（1）解：，， 不是“好六数”， 故答案为：不是； （2）解：因为， 所以，，， 所以， 所以是“好六数”， 故答案为：，，7；，6； （3）解：， 的百位上数字为，十位上数字为，个位上数字为4， 是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数， ，， ， 是“好六数”， ， 即， ， 且为正整数， 为正整数， 能被3整除 10．定义：若，则称与互为“和偶数”．例如，，则称与3互为“和偶数”． (1)4与__________互为“和偶数”， 与互为“和偶数”．（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否互为“和偶数”，并说明理由． (3)若，且与互为“和偶数”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)a与b互为“和偶数”；理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查新定义，整式的加减，绝对值的意义，解题的关键是理解并掌握“和偶数”的定义及整式加减运算顺序和法则． （1）根据“和偶数”定义可得答案； （2）列出算式，去括号、合并同类项得出其结果，判断结果是否等于2即可； （3）由c与d互为“和偶数”知，据此可得，然后分类讨论，进一步求解可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴4与互为“和偶数”， ∵， ∴与互为“和偶数”． （2）解：a与b互为“和偶数”， 理由：∵ ， ∴a与b互为“和偶数”； （3）解：∵c与d互为“和偶数”， ∴， 即， 当时，，不符合题意； 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴当时，c与d互为“和偶数”． 11.定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52． （1）填空：34、48的“翠屏数”分别是 　　、　　； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； （3）若一个两位数为，它的个位数字记为，十位数字记为，与它“翠屏数”之和与11的商记为，若，直接写出符合条件的的值． 【答案】（1）43，84； （2）见解答过程； （3）70，80，90，81，91，82，92，93． 【分析】（1）结合“翠屏数”的定义进行求解即可； （2）根据题意列出相应的式子进行求解即可； （3）分别表示出和，再结合条件进行分析即可． 【解答】解：（1）34的“翠屏数”是43； 48的”翠屏数”是84， 故答案为：43，84； （2）设一个两位数的个位数字为，十位数字为， 则这个两位数是：， 这个两位数的”翠屏数”是：， 这个数与它的“翠屏数”之和为： ， 个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； （3）由题意得：， 则与它“翠屏数”之和为：， ， ， ， 整理得：， ， 当时，或8或9，则或80或90； 当时，或9，则或91； 当时，或9，则或92； 当时，，则； 当时，不存在； 当时，符合条件的的值为：70，80，90，81，91，82，92，93． 【点评】本题主要考查整式的加减，有理数的除法，解答的关键是理解清楚“翠屏数”的含义． 题型3：综合探究题 12．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）【阅读中思考】 设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算，，的算式，在求出它们的值． （2）求的值为____________．（直接写出答案） 【应用拓展】 设，，都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 则的值为_____________．（直接写出答案） 【思路点拨】 本题主要考查了有理数的混合运算、数字规律等知识点，正确运用有理数的混合运算法则计算并发现规律成为解题的关键． （1）根据“倒数差”的定义列式计算即可； （2）先根据“倒数差”的定义列式计算，，，然后求和即可； （3）先根据“倒数差”的定义列式计算发现规律，然后运规律解答即可． 【解题过程】 解：（1）；；． （2）；；； 所以． 故答案为：． （3）∵数组确定为， ∴第1次变换后，，，即第1次变换后得到数组， 第2次变换后，，，即第1次变换后得到数组； 第3次变换后，，，即第1次变换后得到数组； 同理可得：，，…… ∴， ； ； ∴ ． 13．三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵； (2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、坚列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可） 【答案】(1)见解析 (2)正确，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查数的特点，抓住每行、每列、每条对角线上的三个数之和相等，读懂题意是解答本题的关键． （1）方格正中间的数必为这9个数按从小到大的顺序排列后正中间的数5，进而最大的数9，和最小的数1加上5，就组成一列，然后是8，5，2，接着是7，5，3，最后是6，5，4，保证每行、每列及对角线上各数之和都相等． （2）设九个数依次为，，…，，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为，正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍，设正中间的数为x，填写表格后即可证． （3）根据题意填写即可． 【详解】（1）解：如下图：（答案不唯一） 4 9 2 3 5 7 8 1 6 （2）解：正确，理由如下： 设九个数依次为，，…，，其各数之和为， 则第一横行、纵行和对角线上三数之和为， 正中间的数为， 即每一横（纵、对角线）之和是正中间数的3倍， 设正中间的数为x， 填表如下， 则，即； （3）解：如下图：（答案不唯一） 14．（1）“十小八”打算建一个种植基地，需要一个周长为米的三角形护栏，其第一条边长为米，第二条边长比第一条边长少米，求该护栏第三边的边长； （2）接下来，“十小八”准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每棵桃树苗单价为400元．由于“双十一”的到来，该商家为他提供了两种优惠． 若买桃树苗的数量小于等于5棵，则每棵苗直接打九折；若买桃树苗大于5颗时，先缴纳订金500元，则本次购买的每棵树苗打八折．且在付尾款时，500元订金还会将膨胀为800元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱．若“十小八”总共购买棵桃树苗，用含的代数式表示他买桃树苗花的钱（售价=标价折扣）； （3）在桃子成熟后，“十小八”计划卖200公斤桃子，已知前期种植每公斤桃子的成本为4元，利润为元．“十小八”卖了125公斤后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折销售，又卖出了70公斤．最后还剩5公斤桃子彻底腐烂无法销售，用含的代数式表示“十小八”卖桃子的总利润．（售价=成本+利润） 【答案】（1）该护栏第三边的边长为；（1）当时，；当时，；（3）“十小八”卖桃子的总利润为元 【分析】本题考查整式的加减的实际应用，关键是根据题意列出代数式； （1）将周长减去两条边长，即可求解；   （2）分两种情况，根据题意列出代数式，即可求解；   （3）将前两部分部分的利润相加，再减去无法销售的成本即可求解．   【详解】解：（1）该护栏第三边的边长为 ；   答：该护栏第三边的边长为；   （2）解：当时，他买桃树苗花的钱为； 当时，500元订金还会将膨胀为800元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱， 他买桃树苗花的钱为； 答：当时，他买桃树苗花的钱为元；当时，为元； （3）依题意， ．   答：“十小八”卖桃子的总利润为元． 15．数学活动−−探究日历中的数字规律 如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．    (1)初步分析：计算图1中的结果为______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以，（______）______ (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 【答案】(1)0，0； (2)，，0； (3)选A时，，理由见解析；选B时，，理由见解析； 【分析】本题考查作图应用与设计作图，有理数的混合运算，整式的加减等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题． （1）先计算括号，再计算减法可得结论； （2）把，代入计算即可； （3）选A时，如图3中，结论：．设，则，，，代入计算即可；选B时，如图4中，结论：．设，则，，，代入计算即可． 【详解】（1）解：． 将图2中的方框移动到图1中的其他位置， 通过计算可以发现的值均为0， 故答案为：0，0； （2）解：设，则，，． ． 的值均为0． 故答案为：，，0； （3）解：选择：A； 如图3中，结论：． 理由：设，则，，， ； 选择：B； 如图4中，结论：． 理由：设，则，，， ． 1.定义，如果（，，，为常数），（，，，为常数），满足，，，，则A和B互为“兄弟式”，下列结论正确的有（  ）个 ①代数式的“兄弟式”为； ②若两个关于x的代数式与互为“兄弟式”，则； ③的值与x的取值无关； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了整式的加减和多项式的相关知识，正确理解代数式互为“兄弟式”的定义是关键． 根据“兄弟式”的定义即可判断①，根据题意可得，求出，即可判断②；根据题意可得，即可判断③，根据得到，求出，即可判断④． 【详解】解：①∵， ∴代数式的“兄弟式”为；故①正确； ②∵两个关于的代数式与互为“兄弟式”， ，即， ， ∴，故②错误； ③∵， ， ∴， ∴的值与x的取值有关，故③错误； ④∵， ， 当时，， ， ， ∴，故④正确， 综上可知，①④正确． 故选：B． 2. 若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“百战百胜数”，若一个四位数． （其中，，，，且，，，均为整数）为“百战百胜数”，则 ，定义，若能被23整除，则满足条件的所有的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减的应用、解二元一次方程、数的整除，采用分类讨论的思想是解此题的关键．由题意可得，结合得出，，表示出，结合题意可得能被23整除，由，得出或或，再分情况计算即可得解． 【详解】解：由题意可得：， ， ，，，，且，，，均为整数， ， 为的倍数， ，， ，， ， ， 能被23整除， 能被23整除， ， 或或， 当时，由于，，，均为整数，故此时没有符合题意的，的值； 当时，由于，，，均为整数，故此时没有符合题意的，的值； 当时，解得或， 当时，此时，，对应的， 当时，此时，，对应的， 满足条件的所有的和为， 故答案为：；． 3.定义一种新运算“”：．例如：． (1)求的值； (2)若多项式，求多项式A，并求当时，多项式A的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减法则． （1）根据新定义列式进行计算即可求解； （2）根据新定义和整式的加减进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ． （2）解：由题意知， ， 当时，． 4.已知a、b是有理数， 定义一种新运算“”满足 (1)求的值； (2)求的值 【答案】(1) (2) 【知识点】有理数四则混合运算、整式的加减运算 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算，整式的加减混合运算．掌握新定义运算法则是解题关键． （1）根据新定义运算法则结合有理数的混合运算法则计算即可； （2）根据新定义运算法则结合整式的加减混合运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 5.定义：若，则称与是关于2的“平衡数”． (1)5与___________是关于2的“平衡数”，与___________是关于2的“平衡数”；（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否是关于2的“平衡数”，并说明理由． 【答案】(1)； (2) 与 是关于 2 的平衡数，见解析 【知识点】整式加减的应用、整式的加减运算 【分析】此题考查了新定义，整式的加减，解题的关键是能根据题目定义列式并计算． （1）根据关于2的平衡数的定义列式计算即可； （2）通过计算的计算结果即可进行判断． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由题意得，， ； 故答案为：； （2）解：与是关于2的“平衡数”，理由如下： ∵ ， ∴a与b是关于2的平衡数． 6.定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数，例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)3与__________是关于8的友好数，与__________是关于8的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于8的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于8的友好数，求代数式的值． 【答案】(1)5， (2)a与b是关于8的友好数； (3)1 【知识点】整式的加减运算 【分析】本题考查有理数运算，代数式表示，整式运算． （1）根据题意列式即可得到本题答案； （2）根据题意列式并计算得到，即可得到本题答案； （3）根据题意列式并计算得到，再整体代入即可得到本题答案． 【详解】（1）解：根据题意得： ，， 故答案为：5，； （2）解：∵，， ∴ ， ∴a与b是关于8的友好数； （3）解：∵，，且c与d是关于8的友好数， ∴，即：， ∴ ． 7.一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：1，，，… (1)猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_______整除． (2)若这个“对称数”是979，请通过计算验证上述猜想是否成立． (3)请你证明上述猜想是正确的． 【答案】(1)9 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了整式的加减，有理数的混合运算，分配律的应用； （1）根据题意，举出两个对称数并进行计算验证即可； （2）根据题意，先计算，再判断即可； （3）设三位数，则去括号合并化简即可说明猜想是正确的． 【详解】（1）解：∵，，． ∴猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除 ； （2）解：， 故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除； （3）解：设这个对称数为，则， 为整数， 能被9整除， “对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除． 8．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”． (1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则___________； (2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由； (3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和． ①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________； ②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________． 【答案】(1)0 (2)奇整式；理由见解析 (3)①；②35 【分析】（1）根据定义直接判断即可； （2）将代替x代入观察结果与原式的结果关系即可判断； （3）①将原式各项中偶次项和常数项组合在一起即为偶整式，其余项的和即为奇整式； ②将各数值依次代入偶整式和奇整式中，再相加即可求解． 【详解】（1）由定义可知，整式的值互为相反数， 故答案为：0； （2）奇整式 理由：将代入中可得； ∵与互为相反数， ∴该式为奇整式； （3）①， ∵，， ∴是偶整式，是奇整式． ②由于是偶整式，是奇整式， ∴当x分别取，，，0，1，2，3时， 的值分别为10,5,2,1,2，5,10；当x取互为相反数的值时的值也互为相反数，即和为0； ∴这七个整式的值之和是； 故答案为：35． 【点睛】本题考查了整式，涉及到了乘方的性质和运算等知识，解题关键是能正确理解偶整式和奇整式的定义，能对整式进行变形以及代入数值进行计算等． 9．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 初步尝试： （1）如果点表示数，将点向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； （2）如果点表示数3，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； 归纳一般： （3）一般地，如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，请你猜想终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____． 深入研究： （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是3；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动个单位，点向左移动个单位 甲胜 点向右移动个单位，点向右移动个单位 乙胜 点向左移动个单位，点向左移动个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____． ②当时，其中平局次，甲胜次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____（用含、、的式子表示）． 【答案】（1）4，7；（2）4，1；（3），；（4）①，，5；②，， 【分析】本题考查了数轴上两点间的距离，以及整式的加减，运用数形结合思想是解题的关键． （1）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点表示的数，两点之间的距离为右边的数减去左边的数； （2）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点表示的数，两点之间的距离为右边的数减去左边的数； （3）根据数轴上的点的移动特点“右加左减”即可点表示的数，再计算两点之间的距离； （4）①根据移动规则和两点间的距离公式即可求解； ②根据移动规则即可求解； 【详解】解：（1）点表示数，将点向右移动7个单位长度到达点， 点表示的数是，、两点间的距离为， 故答案为：4，7； （2）点表示数3，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度， 终点表示的数是，、两点间的距离为， 故答案为：4，1； （3）如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，请你猜想终点表示的数是， 点，之间的距离为， 故答案为：，； （4）①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为，点最终位置表，此时、两点间的距离． 故答案为：，，； ②当时，其中平局次，甲胜次， 点最终位置表示的数为， 点最终位置表示的数为； 此时、两点间的距离． 故答案为：，，． 10．（23-24七年级上·河南郑州·期末）【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】用代数式表示数、图形的规律 【分析】本题考查几何图形中的数字规律，由前面的几个图形，得到满足要求的数字规律，即可归纳概括出第个图形的结论，由特殊到一般发现规律是解决问题的关键． （1）根据题中所给图形，数出其中的小三角形个数，得出数字规律即可得到答案； （2）根据题中所给图形，数出其中的线段条数，得出数字规律即可得到答案； （3）根据题中所给图形，数出其中的交点个数，得出数字规律即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示：    第1个图形小三角形个数为：； 第2个图形小三角形个数为：； 第3个图形小三角形个数为：； 第4个图形小三角形个数为：； ……， 按此规律，第个图形中小三角形个数为， 故答案为：； （2）解：如图所示：    第1个图形共有长度为的线段为：（条）； 第2个图形共有长度为的线段为：（条）； 第3个图形共有长度为的线段为：（条）； 第4个图形共有长度为的线段为：（条）； ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段为：条； 故答案为：； （3）解：如图所示：    第1个图形共有交点：（个）； 第2个图形共有交点：（个）； 第3个图形共有交点：（个）； 第4个图形共有交点：（个）； ……， 按此规律，第个图形共有交点：． 11.宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴趣小组在研究“黑洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再相减，再得到一个新数…一直重复操作， 例如． 第1组：数字1，2，0，则； 第2组：数字1，9，8，则； 第3组：数字7，9，2，则； 第4组：数字6，9，3，则_________________． (1)根据规律，补充第4组横线的内容； (2)小组成员发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是________________； (3)小组成员发现：在上述“重排求整”操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下： 设一组三个数字为，，，不妨设，且，，不全相等，最大数可表示为__________________，最小数可表示为___________________，则最大数最小数（____________），所以最大数和最小数的差能被99除． 【答案】(1) (2)495 (3)，， 【分析】此题考查了数字规律问题，列代数式，有理数的减法，整式的加减的应用，解题的关键是正确分析题意． （1）根据题意列式求解即可； （2）根据题意继续写出第5组和第6组数字，进而找到规律求解即可； （3）根据题意得到最大数可表示为，最小数可表示为，然后作差求解即可． 【详解】（1）根据题意得， 第4组：数字6，9，3，则； （2）第5组：数字5，9，4，则； 第6组：数字5，9，4，则； ∴最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是495； （3）设一组三个数字为，，，不妨设，且，，不全相等， 最大数可表示为，最小数可表示为， ∴ ∴所以最大数和最小数的差能被99除． 12.将连续的奇数1，3，5，7，…，排成如下的数表：十字框框出5个数（如图所示），问： (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)若设中间的数为a，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； (4)十字框框住的5个数之和能等于2024吗？能等于2025吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数． 【答案】(1)十字框框住的5个数的和是17的5倍 (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数的和仍然是中间的数的5倍 (3) (4)这5个数分别为393、403、405、407、417 【分析】本题主要考查列代数式、数字的规律及一元一次方程的应用，根据数列的构成特点得出5个数之间的关系，列出方程依据条件取舍是解题的关键． （1）求出这5个数的和即可得； （2）根据表中的数，易发现另外的四个数中，上下的数相差是12，左右的数相差是2．根据这一关系进行表示各个数，再求和； （3）若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为，据此可得； （4）根据五个数的和为2024或2025列方程求解后，依据数列为奇数列即可判断． 【详解】（1）解：， 十字框框住的5个数的和是17的5倍； （2）解：如图所示： ， 若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数的和仍然是中间的数的5倍； （3）解：若设中间的数为，则上面的为，下面的为，左面的为，右面的为， ； （4）解：5个数之和不能等于2024， 当时，得， 不是奇数， 个数之和不能等于2024； 5个数之和能等于2025， 当时，得， 是奇数， 个数之和能等于2025，这5个数分别为393、403、405、407、417． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年七年级数学上学期同步培优讲义【精英班课程】 重难点02 整式加减中的新定义与综合探究问题 题型1：整式加减中的定义新运算 1．定义一种新运算，规定：，若，请计算值为（    ） A． B． C． D． 2．定义一种新运算“”的计算规则是：（其中a，b都是有理数）．例如. 下列等式成立的个数是（    ） ①；②；③ A．3 B．2 C．1 D．0 3.定义一种新运算：．如：．若的值与的取值无关，则的值为 ． 4.定义一种新运算：对任意有理数a，b都有，例如：． (1)求的值； (2)化简并求值：，其中a，b互为相反数，x是最大的负整数． (3)已知与的差中不含项，求a的值． 5.定义一种新运算“”：，比如：． （1）_____________；_____________； （2）当时，是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，请给出一组的具体值加以说明； （3）若，比较与的大小． 题型2：整式加减中的定义新概念 6.定义：若，则称 与是关于的相关数． (1)若与是关于的相关数，则______． (2)若与是关于 的相关数，，的值与无关，求的值． 7.定义：若，则称a与b是关于1的平衡数． （1）3与 是关于1的平衡数，与 是关于1的平衡数．（用含x的代数式表示） （2）若，，判断a与b是否是关于1的平衡数 （填是与否） 8.对于有理数，，，，若，则称和关于的“明德值”为．例如，，则2和3关于1的“明德值”为3． (1)和3关于1的“明德值”为________； (2)若和2关于1的“明德值”为3，求的值； (3)若和关于1的“明德值”为1，和关于2的“明德值”为1，和关于3的“明德值”为1，，和关于50的“明德值”为1，求的值．（用含的式子表示） 9.对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”． (1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”） (2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整： 因为， 所以___________，___________，______________． 所以______________________， 所以是“好六数” (3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除． 10．定义：若，则称与互为“和偶数”．例如，，则称与3互为“和偶数”． (1)4与__________互为“和偶数”， 与互为“和偶数”．（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否互为“和偶数”，并说明理由． (3)若，且与互为“和偶数”，请直接写出的取值范围． 11.定义：对于任意一个两位数，交换个位数字与十位数字的位置得到一个新数，我们把这样的两个数叫互为“翠屏数”；如25的“翠屏数”是52． （1）填空：34、48的“翠屏数”分别是 　　、　　； （2）对于任意一个两位数，设它的个位数字为，十位数字为，试说明这个数与它的“翠屏数”之和一定能被11整除； （3）若一个两位数为，它的个位数字记为，十位数字记为，与它“翠屏数”之和与11的商记为，若，直接写出符合条件的的值． 题型3：综合探究题 12．（24-25七年级上·辽宁大连·阶段练习）【阅读中思考】 设是不为0和1的有理数，我们把1与的倒数的差，即称为的倒数差，如：2的倒数差是，的倒数差是． 【探索中理解】 若，是的倒数差，是的倒数差，是的倒数差，…，以此类推． （1）先写出计算，，的算式，在求出它们的值． （2）求的值为____________．（直接写出答案） 【应用拓展】 设，，都是不为0和1的有理数，将一个数组中的数分别按照材料中“倒数差”的定义作变换，第1次变换后得到数组，第2次变换后得数组，…，第次变换后得到数组． （3）若数组确定为． 则的值为_____________．（直接写出答案） 13．三阶幻方是最基础的幻方，又叫九宫格，要求由连续的九个整数组成一个三行三列的数阵，其对角线、横行、纵行的和都相等． (1)如图1，请用1-9这九个整数填写幻方数阵； (2)如图2，一数学兴趣小组的同学发现，对于三阶幻方，任何一个角上的数（如数a）都等于与这个数不在同一横行、坚列及对角线上的两个数（如数b、c）之和的一半，即，你认为他们的发现正确吗？说你的道理； (3)如图3，一数学兴趣小组的同学研究了一个变形幻方，要求填入1-8这8个整数，使每一横行（3个数）、每一纵行（3个数）以及里面4个数的和都相等，请你填写出这8个数．（填写1种情况即可） 14．（1）“十小八”打算建一个种植基地，需要一个周长为米的三角形护栏，其第一条边长为米，第二条边长比第一条边长少米，求该护栏第三边的边长； （2）接下来，“十小八”准备买桃树苗进行种植，某商家的报价是每棵桃树苗单价为400元．由于“双十一”的到来，该商家为他提供了两种优惠． 若买桃树苗的数量小于等于5棵，则每棵苗直接打九折；若买桃树苗大于5颗时，先缴纳订金500元，则本次购买的每棵树苗打八折．且在付尾款时，500元订金还会将膨胀为800元优惠券用于抵扣买桃树苗的钱．若“十小八”总共购买棵桃树苗，用含的代数式表示他买桃树苗花的钱（售价=标价折扣）； （3）在桃子成熟后，“十小八”计划卖200公斤桃子，已知前期种植每公斤桃子的成本为4元，利润为元．“十小八”卖了125公斤后发现桃子开始腐烂，他决定在现在售价的基础上打九折销售，又卖出了70公斤．最后还剩5公斤桃子彻底腐烂无法销售，用含的代数式表示“十小八”卖桃子的总利润．（售价=成本+利润） 15．数学活动−−探究日历中的数字规律 如图1见2023年11月份的日历，小乐在其中画出一个的方框（粗线框），框住九个数，计算其中位置如图2所示的四个数“”的值，探索其运算结果的规律．    (1)初步分析：计算图1中的结果为______；将图2中的方框移动到图1中的其他位置，通过计算可以发现的值均为______； (2)数学思考：小乐认为（1）中猜想正确，其说理的过程如下，请你将其补充完整． 解：设，则，，______． 所以，（______）______ (3)拓广探究：同学们利用小乐的方法，借助图1中的日历．继续进行如下探究． 请从下列A，B两题中任选一题作答．我选择______题． A．在日历中用“Z型框”框住位置如图3所示的四个数．探究“”的值的规律．写出你的结论．并说明理由． B．在日历中用“Y型框”框住位置如图4所示的四个数．探究“”的值的规律，写出你的结论．并说明理由． 1.定义，如果（，，，为常数），（，，，为常数），满足，，，，则A和B互为“兄弟式”，下列结论正确的有（  ）个 ①代数式的“兄弟式”为； ②若两个关于x的代数式与互为“兄弟式”，则； ③的值与x的取值无关； ④若，则． A．1 B．2 C．3 D．4 2. 若一个四位数的首尾两位数字顺次组成的两位数与中间两位数字顺次组成的两位数之和为100，则称这个四位数为“百战百胜数”，若一个四位数． （其中，，，，且，，，均为整数）为“百战百胜数”，则 ，定义，若能被23整除，则满足条件的所有的和为 ． 3.定义一种新运算“”：．例如：． (1)求的值； (2)若多项式，求多项式A，并求当时，多项式A的值． 4.已知a、b是有理数， 定义一种新运算“”满足 (1)求的值； (2)求的值 5.定义：若，则称与是关于2的“平衡数”． (1)5与___________是关于2的“平衡数”，与___________是关于2的“平衡数”；（用含的代数式表示） (2)若，判断与是否是关于2的“平衡数”，并说明理由． 6.定义：若两个数的和为a，则称这两个数是关于a的友好数，例如：，就称2与5是关于7的友好数． (1)3与__________是关于8的友好数，与__________是关于8的友好数（填一个含x的代数式）； (2)若，，判断a与b是否是关于8的友好数，并说明理由； (3)若，，且c与d是关于8的友好数，求代数式的值． 7.一个三位正整数，它的百位数字与个位数字相等，我们把这样的三位正整数叫作“对称数”，如101，232，555等都是“对称数”． 观察：1，，，… (1)猜想：将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被_______整除． (2)若这个“对称数”是979，请通过计算验证上述猜想是否成立． (3)请你证明上述猜想是正确的． 8．关于x的整式，当x取任意一组相反数m与时，若整式的值相等，则该整式叫做“偶整式”；若整式的值互为相反数，则该整式叫做“奇整式”．例如：是“偶整式”，是“奇整式”． (1)若整式A是关于x的“奇整式”，当x取1与时，对应的整式值分别为，，则___________； (2)判断式子是“偶整式”还是“奇整式”，并说明理由； (3)对于整式，可以看作一个“偶整式”与“奇整式”的和． ①这个“偶整式”是___________，“奇整式”是___________； ②当x分别取，，，0，1，2，3时，这七个整式的值之和是___________． 9．数轴是一个非常重要的数学工具，它使数和数轴上的点建立起对应关系，揭示了数与点之间的内在联系，它是“数形结合”的基础． 初步尝试： （1）如果点表示数，将点向右移动7个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； （2）如果点表示数3，将点先向左移动4个单位长度，再向右移动5个单位长度，那么终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____； 归纳一般： （3）一般地，如果点表示的数为，将点向右移动个单位长度，再向左移动个单位长度，请你猜想终点表示的数是_____，、两点间的距离是_____． 深入研究： （4）甲、乙两人借助数轴和“剪刀、石头、布”设计了一款“移动游戏”．两人分别在数轴上挑选一个点作为游戏的起点：甲选择的游戏起点表示的数是，乙选择的游戏起点表示的数是3；然后两人进行“剪刀、石头、布”，移动规则如下： “剪刀、石头、布”的结果 、两点移动方式 平局 点向右移动个单位，点向左移动个单位 甲胜 点向右移动个单位，点向右移动个单位 乙胜 点向左移动个单位，点向左移动个单位 设甲、乙两人共进行了次“剪刀、石头、布”（为正整数）． ①当时，其中平局一次，甲胜一次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____． ②当时，其中平局次，甲胜次，点最终位置表示的数为_____，点最终位置表示的数为_____，此时、两点间的距离为_____（用含、、的式子表示）． 10．（23-24七年级上·河南郑州·期末）【观察思考】 第1个图形是1个三条长度都为的线段构成的小三角形；第2个图形是4个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第3个图形是9个边长都为的小三角形拼成的大三角形；第4个图形是16个边长都为的小三角形拼成的大三角形；    【规律发现】 请用含的式子填空： (1)请直接写出第个图形有___________个小三角形； (2)第1个图形共有长度为的线段（条）， 第2个图形共有长度为的线段（条） 第3个图形共有长度为的线段（条）， 第4个图形共有长度为的线段（条）， ……， 按此规律，第个图形中共有长度为的线段___________条； (3)请类比（2）的探究方法，求第个图形中共有交点的个数． 11.宇宙中存在一种神秘的黑洞天体，数学中也有一种神秘的“黑洞”数字，数学兴趣小组在研究“黑洞”数字时，在0到9之间，任取一组不全相等的三个数字，从大到小排列得到最大数，再从小到大排列得到最小数，然后用最大数减去最小数，得到一个新数，再按照上述方式重新排列，再相减，再得到一个新数…一直重复操作， 例如． 第1组：数字1，2，0，则； 第2组：数字1，9，8，则； 第3组：数字7，9，2，则； 第4组：数字6，9，3，则_________________． (1)根据规律，补充第4组横线的内容； (2)小组成员发现：任取这样一组不全相等的三个数字，经过有限次上述“重排求差”操作后，最终会得到一个确定的“黑洞”数字，这个数是________________； (3)小组成员发现：在上述“重排求整”操作中，最大数和最小数的差能被99整除，推过程如下： 设一组三个数字为，，，不妨设，且，，不全相等，最大数可表示为__________________，最小数可表示为___________________，则最大数最小数（____________），所以最大数和最小数的差能被99除． 12.将连续的奇数1，3，5，7，…，排成如下的数表：十字框框出5个数（如图所示），问： (1)十字框框出5个数的和与框子正中间的数17有什么关系？ (2)若将十字框上下左右平移，可框住另外5个数，这5个数还有这种规律吗？ (3)若设中间的数为a，用代数式表示十字框框住的5个数字之和； (4)十字框框住的5个数之和能等于2024吗？能等于2025吗？若能，请分别写出十字框框住的5个数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$