精品解析： 广东省清远市清城区松岗中学2024-2025学年八年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年广东省清远市清城区松岗中学八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若a＜b，则下列式子不成立的是（ ） A. a－3＜b－ 3 B. -3a＜-3b C. a+2＜b+2 D. ＜ 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A. B. C. D. 3. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（　　　） A. 若a＝b，则 B. 对顶角相等 C. 若a＞b，则 D. 两直线平行，同位角相等 5. 在中，的对边分别为．下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，点为内一点，连接、、，，求证：，用反证法证明时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 7. 如图，三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( ) A. 80° B. 75° C. 65° D. 45° 8. 关于的不等式组有解，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是    A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 10. 如图，在中，，，D为BC的中点，，垂足为过点B作交DE的延长线于点F，连接CF，现有如下结论： 平分；；；；．其中正确的结论有　　 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 不等式的解集为______． 12. 某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小，为了促销，商场决定打折销售，若要保证利润率不低于，则最多可以打______折出售此商品． 13. 若点在第三象限，则m的取值范围是______． 14. 如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是______． 15. 如图，，点、、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，从左起第个等边三角形的边长记为，第个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解不等式： （1），并在数轴上表示解集． （2）解不等式组，并求出这个不等式组的整数解． 17. 如图，在中， （1）用尺规作图法在上找一点D，使得点D到边的距离相等（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 18. 学校为举行社团活动，准备向某商家购买甲，乙两种文化衫，已知甲种文化衫每件定价40元，乙种文化衫每件定价30元，学校决定向该商家购买甲，乙两种文化衫共100件（其中甲种文化衫不超过50件），恰逢商家搞促销，现有两种优惠方案，方案一：甲种文化衫按标价八折出售，乙种文化衫按标价四折出售；方案二：购买一件甲种文化衫送一件乙种文化衫．根据以上信息，请通过计算说明，学校按照哪种方案购买更划算． 19. 如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）求证：垂直平分； （2）若，求的长． 20. 如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E． 求证：（1）AC平分∠EAF； （2）∠FAD＝∠E． 21. 某公司决定从厂家购买甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙两型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台． （1）求该公司至少购买甲型显示器多少台； （2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，有哪些购买方案？ 22. 如图，已知直线经过点，与x轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式及m的值； （2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式组的解集； （3）现有一点P在直线上，过点P作轴交直线于点Q，若点C到线段的距离为1，求点P的坐标． 23. 如图，是等边三角形，，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过Р作于E，连接交于D． （1）证明：在运动过程中，点D是线段的中点； （2）当时，求的长； （3）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年广东省清远市清城区松岗中学八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若a＜b，则下列式子不成立的是（ ） A. a－3＜b－ 3 B. -3a＜-3b C. a+2＜b+2 D. ＜ 【答案】B 【解析】 【分析】根据不等式的性质解答． 【详解】A、不等式a＜b的两边同时减去3，不等式仍成立，即a-3＜b-3，故本选项不符合题意． B、不等式a＜b的两边同时乘以-3，不等号方向改变，即-3a>-3b，故本选项符合题意． C、不等式a＜b的两边同时加2，不等式仍成立．即：a+2＜b+2，故本选项不符合题意． D、不等式a＜b的两边同时除以3，不等号方向不改变．即＜，故本选项不符合题意． 故选B． 【点睛】本题考查了不等式的性质．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示解集，根据不等式组的解集在数轴上表示的方法解答即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：在数轴上表示正确的是， 故选：． 3. 在中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据等边对等角得到，再利用三角形内角和定理求出答案． 【详解】解：在中，， ∴， ∵，， ∴， 故选：A． 【点睛】此题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，以及三角形内角和定理，熟练掌握各性质及定理是解题的关键． 4. 下列命题的逆命题是真命题的是（　　　） A. 若a＝b，则 B. 对顶角相等 C. 若a＞b，则 D. 两直线平行，同位角相等 【答案】D 【解析】 【分析】写出原命题的逆命题后判断正误即可． 【详解】解：A、若a＝b，则的逆命题是：若，则a＝b．逆命题是假命题，不符合题意； B、对顶角相等的逆命题是：相等的角是对顶角．逆命题是假命题，不符合题意； C、若a＞b，则的逆命题是：若，则a＞b．逆命题是假命题，不符合题意； D、两直线平行，同位角相等的逆命题是：同位角相等，两直线平行．逆命题是真命题，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解如何写出一个命题的逆命题，难度不大． 5. 在中，的对边分别为．下列所给数据中，不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，根据三角形内角和为180度求出三个内角中最大的内角的度数即可判断A、B；三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形，据此可判断C、D． 【详解】解：A：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故A不符合题意； B、∵， ∴可设， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴不是直角三角形，故B符合题意； C、∵， ∴， ∴是直角三角形，故C不符合题意； D、∵， ∴可设， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意； 故选：B． 6. 如图，在中，，点为内一点，连接、、，，求证：，用反证法证明时，第一步应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】假设结论PB≠PC不成立，即PB=PC成立. 【详解】解：假设PB=PC， 在△APB和△APC中， AB=AC，PB=PC，AP=AP， ∴△APB≌△APC， ∴∠APB=∠APC， 与已知∠APB≠∠APC相矛盾， 假设结论不成立， ∴PB≠PC成立. ∴用反证法证明时，第一步应假设B成立． 故选B． 【点睛】本题主要考查了反证法，解题的关键在于能够熟练掌握反证法的步骤． 7. 如图，三角形ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，DE垂直平分AC，则∠BCD的度数为( ) A. 80° B. 75° C. 65° D. 45° 【答案】D 【解析】 【详解】首先利用线段垂直平分线的性质推出∠DAC=∠DCA，根据等腰三角形的性质可求出∠ABC=∠ACB，易求∠BCD的度数． 解：已知AB=AC，∠A=30° 可得∠ABC=∠ACB=75° 根据线段垂直平分线的性质可推出AD=CD 所以∠A=∠ACD=30° 所以∠BCD=∠ACB-∠ACD=45°． 故选D． 本题运用两个知识点：线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，难度一般． 8. 关于的不等式组有解，那么的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式组有解求出m的取值范围即可． 【详解】解：由得：， 由得：， ∵不等式组有解， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 9. 如图，已知的周长是20，和分别平分和，于点D，且，则的面积是    A. 20 B. 25 C. 30 D. 35 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点O到的距离都相等即，从而可得到的面积等于周长的一半乘以3，代入求出即可． 【详解】解：如图，连接，过O作于E，于F， 、分别平分和， ， 的周长是20，于D，且， ， ， ． 故选：C． 10. 如图，在中，，，D为BC的中点，，垂足为过点B作交DE的延长线于点F，连接CF，现有如下结论： 平分；；；；．其中正确的结论有　　 A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】由，推出AD是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误． 易证是等腰直角三角形，故BF． 由≌，推出，由，推出，即． 在中，，易证． 由于≌，推出，推出，于，即可推出． 【详解】解：错误， ， 是的中线，如果是角平分线，则，显然与已知矛盾，故错误． 正确 ，， ， ， 是等腰直角三角形，故BF． 正确，，， ≌， ， ， ， ． 正确在中，， ，是等腰直角三角形， ． 正确≌， ， ， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、平行线的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式是关键．移项即可得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12. 某商品的进价是120元，标价为180元，但销量较小，为了促销，商场决定打折销售，若要保证利润率不低于，则最多可以打______折出售此商品． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解． 设可以打x折出售此商品，根据利润率不低于，列出一元一次不等式，求解即可． 【详解】解：设可以打x折出售此商品， ； 故答案为：． 13. 若点在第三象限，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据第三象限内的点的纵坐标小于零，横坐标小于零，可得不等式组，根据解不等式组，可得答案．本题考查了各象限内点的坐标的符号特征以及解不等式，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限 【详解】解：由点在第三象限，得 ， 解得， 故答案为： 14. 如图，直线与直线交于点，则不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】观察图象，因为直线与直线交于点，故在点A的右边，的图象在上，的图象在下据此解题即可． 【详解】解：观察函数图象知，不等式的的解集在点A的右边即， 故答案为：． 【点睛】本题考查一次函数与一元一次不等式图象的性质，是常见考点，掌握利用图象交点坐标，采用数形结合的方法解题是关键． 15. 如图，，点、、、…在射线上，点、、…在射线上，、、…均为等边三角形，从左起第个等边三角形的边长记为，第个等边三角形的边长记为，以此类推，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等腰三角形的性质以及平行线的性质得出，以及，得出，，…进而得出答案． 【详解】解：如图， 是等边三角形， ，， ， ， ， 又， ， ， ， ， 、是等边三角形， ，， ， ，， ，， ，， ，， 以此类推：， 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了等边三角形的性质以及等腰三角形的性质，根据已知得出，，…进而发现规律是解题关键． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 解不等式： （1），并在数轴上表示解集． （2）解不等式组，并求出这个不等式组的整数解． 【答案】（1）， 数轴表示如下： （2），不等式组的整数解为，0，1， 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的整数解、在数轴上表示不等式的解集、解一元一次不等式及解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）根据解一元一次不等式的步骤，对所给不等式进行求解，并将解集在数轴上表示出来即可． （2）根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解，并求出整数解即可． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ． 【小问2详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得，， 所以不等式组的解集为：， 则不等式组的整数解为，0，1，． 17. 如图，在中， （1）用尺规作图法在上找一点D，使得点D到边的距离相等（保留作图痕迹，不用写作法）； （2）在（1）的条件下，若，，求的长． 【答案】（1） 点D即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图，角平分线的性质，含的直角三角形，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 作平分交BC于点D，点D即为所求； 证明，再证明可得结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点D作于点 平分， ， ， ， ． 18. 学校为举行社团活动，准备向某商家购买甲，乙两种文化衫，已知甲种文化衫每件定价40元，乙种文化衫每件定价30元，学校决定向该商家购买甲，乙两种文化衫共100件（其中甲种文化衫不超过50件），恰逢商家搞促销，现有两种优惠方案，方案一：甲种文化衫按标价八折出售，乙种文化衫按标价四折出售；方案二：购买一件甲种文化衫送一件乙种文化衫．根据以上信息，请通过计算说明，学校按照哪种方案购买更划算． 【答案】当时，选择方案一购买更划算：当时，选择两种方案购买所需费用一样；当时，选择方案二购买更划算 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的应用，解题的关键是设购买甲种文化衫x件，则购买乙种文化衫件，表示出两种方案需要的费用，然后列不等式，解不等式即可． 【详解】解：设购买甲种文化衫x件，则购买乙种文化衫件，依题意得： 方案一所需费用为：元， 方案二所需费用为：元， 当时，解得：， 当时，解得：， 当时，解得：， 答：综上所述，当时，选择方案一购买更划算：当时，选择两种方案购买所需费用一样；当时，选择方案二购买更划算． 19. 如图，是的角平分线，分别是和的高． （1）求证：垂直平分； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：∵是的角平分线，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 而， ∴垂直平分． （2）6 【解析】 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定，掌握以上知识的综合运用是关键． （1）先利用角平分线的性质得，利用“”证明得到，然后根据线段垂直平分线的判定方法即可得到结论． （2）先利用三角形的面积和可求得的长，根据（1）中的全等可得，可得的长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在四边形ABCD中，BD所在的直线垂直平分线段AC，过点A作BC的平行线AF交CD于F，延长AB、DC交于点E． 求证：（1）AC平分∠EAF； （2）∠FAD＝∠E． 【答案】 （1）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC， ∴BA=BC， ∴∠BAC=∠BCA， ∵BC∥AF， ∴∠CAF=∠BCA， ∴∠CAF=∠BAC，即AC平分∠EAF； （2）证明：∵BD所在的直线垂直平分线段AC， ∴DA=DC， ∴∠DAC=∠DCA， ∵∠DCA是△ACE的一个外角， ∴∠DCA=∠E+∠EAC， ∴∠E+∠EAC=∠FAD+∠CAF， ∵∠CAF=∠EAC， ∴∠FAD=∠E． 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质得到BA=BC，根据等腰三角形的性质得到∠BAC=∠BCA，根据平行线的性质得到∠CAF=∠BCA，等量代换证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到DA=DC，根据等腰三角形的性质得到∠DAC=∠DCA，再根据三角形的外角性质证明即可． 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． 21. 某公司决定从厂家购买甲、乙两种不同型号的显示器共50台，购进显示器的总金额不超过77000元，已知甲、乙两型号的显示器价格分别为1000元/台、2000元/台． （1）求该公司至少购买甲型显示器多少台； （2）若要求甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数，有哪些购买方案？ 【答案】（1）该公司至少购进甲型显示器23台 （2）购买方案有三种：①甲型显示器23台，乙型显示器27台；②甲型显示器24台，乙型显示器26台；③甲型显示器25台，乙型显示器25台． 【解析】 【分析】本题考查了列一元一次不等式解实际问题的运用，一元一次不等式的解法的运用，方案设计的运用，解答时根据条件的不相等关系建立不等式是关键． （1）设该公司购进甲型显示器台，则购进乙型显示器台，根据两种显示器的总价不超过77000元建立不等式，求出其解即可； （2）由甲型显示器的台数不超过乙型显示器的台数可以建立不等式与（1）的结论构成不等式组，求出其解即可． 【小问1详解】 解：设该公司购买甲型显示器x台，则购买乙型显示器台， 由题意得：， 解得，， 答：该公司至少购进甲型显示器23台． 【小问2详解】 解：依题意得，，解得，， ， 为整数， ，24或25，则，26或25， 购买方案有三种：①甲型显示器23台，乙型显示器27台；②甲型显示器24台，乙型显示器26台；③甲型显示器25台，乙型显示器25台． 22. 如图，已知直线经过点，与x轴交于点，与直线交于点． （1）求直线的解析式及m的值； （2）根据函数图象，直接写出关于x的不等式组的解集； （3）现有一点P在直线上，过点P作轴交直线于点Q，若点C到线段的距离为1，求点P的坐标． 【答案】（1），； （2） （3）点P坐标为或． 【解析】 【分析】（1）将点，代入解析式即可求出直线的函数表达式，将点代入解析式即可求出的值； （2）依据（1）结合图象即可得到答案； （3）由点到线段的距离为1，点横坐标为3，得到点，横坐标为或，代入解析式即可求出点的坐标和点的坐标． 【小问1详解】 解：将代入得， 解得， ∴． 将代入得； 【小问2详解】 解：∵点B坐标为，点C坐标为， 由图象得时，， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵点C到线段的距离为1，点C横坐标为3， ∴点P横坐标为或， 将代入得， ∴点P坐标为， 将代入得， ∴点P坐标为， 综上所述，点P坐标为或． 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式，根据一次函数的交点求不等式的解集，求一次函数图象上点的坐标，一次函数的性质，正确掌握各知识点是解题的关键． 23. 如图，是等边三角形，，P是边上一动点，由A向C运动（与A、C不重合），Q是延长线上一动点，与点P同时以相同的速度由B向延长线方向运动（Q不与B重合），过Р作于E，连接交于D． （1）证明：在运动过程中，点D是线段的中点； （2）当时，求的长； （3）在运动过程中线段的长是否发生变化？如果不变，求出线段的长；如果变化请说明理由． 【答案】（1） 证明：过P作交于F， ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴是等边三角形， ∵P、Q同时出发，速度相同，即， ∴， 在和中， ， ∴， ∴DQ＝DP； 即点D是线段的中点； （2） （3）的长不变， 【解析】 【分析】（1）过P作交于F，先说明，再证明，即可证明结论； （2）先证明，，得出，，即可得出； （3）根据等边三角形的性质，得出，根据得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 根据解析（1）可知，， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：的长不变，； 由（2）知， ∵是等边三角形，， ∴， ∴ ， ∴的长不变． 【点睛】本题主要考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是作出辅助线，构造全等三角形，证明． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $