重庆市南开中学校2025-2026学年高三上学期第一次质量检测数学试题

重庆市南开中学高 2026 届高三第一次质量检测 数 学 试 题 注意事项: 1. 本试卷满分 150 分, 考试时间 120 分钟。 2. 答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 3. 回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其它答案标号。回答非选择题时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题:本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求. 1. 已知集合 ,则 A. B.(-1, - 2) C.(-2,0) D. 2. 已知 ,则 “ ” 是 “ 且 ” 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知双曲线 ,其渐近线方程为 ,则 的离心率为 A. B. C. 2 D. 4. 已知函数 ,则 的图象可能是 5. 已知函数 ,若直线 与 的图象分别交于 两点,则 的最小值为 A. B. 2 C. D, 1 6. 由1,2,3,4,5,6,7,8组成一个没有重复数字的八位数,任何相邻两个数字的奇偶性不同,且满足 3 和 4 相邻,则这样的八位数有( )个. A. 432 B. 257 C. 216 D. 504 7. 已知 是正实数,若函数 的图象与 的图象相切,则 的最小值是 A. B. C. D. 3 8. 若函数 满足 ,且 ,则 的极大值是 A. B. C. D. 二、多项选择题:本题共 3 小题,每小题 6 分,共 18 分. 在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求. 全部选对得 6 分, 部分选对得部分分, 有选错得 0 分. 9. 下列命题正确的是 A. 若事件 与事件 相互独立,则 B. 若事件 与事件 相互独立,则 C. 标准差描述了一组数据围绕平均数波动的大小, 标准差越大, 数据的离散程度越大 D. 在残差图中, 残差点分布的水平带状区域越宽, 说明模型拟合效果越好 10. 已知 ,则 A. B. C. D. 11. 已知函数 ,则下列说法正确的是 A. 当 时, 有唯一解 B. 都存在极值点 C. 当 时,若 在 上单调递减,则 D. 当 时,若 有两个不同实根 ,则 三、填空题: 本题共 3 小题, 每小题 5 分, 共 15 分. 12. 的展开式中 的系数是_____(结果用数字作答). 13. 已知函数 ,则关于 的不等式 的解集为_____. 14. 已知函数 在 上单调递增,则 的最小值是_____ 四、解答题:本题共 5 小题,共 77 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13 分) 已知函数 . (1) 当 时,求函数 的值域； (2)对 ,不等式 恒成立,求实数 的取值范围. 16.(15 分) 在圆锥 中,母线长为 2,四边形 为底面圆的内接四边形,若 面积的最大值为 . (1)求圆锥 的体积； (2)若四边形 为平行四边形, ,求平面 与平面 所成夹角的余弦值. 17.(15 分) 某校举行知识竞赛,甲乙两位同学组队答题,甲先依次答一二题,乙再依次答三四题,若两人合计答对题数大于或等于 3 ,则取得胜利,并获得纪念品(恰好答对前三题时应继续答完第四题)；若两人合计答错两题则中止答题. 已知,甲、乙答对每道题的概率分别为 . 假设甲、乙两人每次答题相互独立,且互不影响. (1) 当 时,设 为乙答题的道数,求 的分布列及期望; ( 2 )当 时,求甲乙获得纪念品的概率的最小值. 18.(17分) 椭圆 的上顶点为 ,左右焦点分别为 为坐标原点, 为 上动点, 已知 ,且当 垂直于长轴时, . (1)求椭圆 的方程； (2)若一条直线与椭圆 交于不同两点 ,且直线 斜率乘积为 ,直线 垂直 于点 。 (i) 求动点 的轨迹方程; (ii)已知 为线段 上靠近 的四等分点,求 面积的最大值. 19.(17分) 已知函数 . ( 1 )讨论函数 在定义域内的单调性； (2)若存在唯一一组实数 ,使得 在 上的值域为 . (i) 求证: ; (ii) 求实数 的取值范围。 学科网（北京）股份有限公司 $$重庆市高2026届高三第一次质量检测 数学试题参考答案与评分细则 题号 3 4 5 6 7 8 9 10 11 选项 A B B A D B B AC BD ABD 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分 1.A【解析】4=[-1,3]，B=(-2,0),A∩B=[-1,0),故A正确. 2.B【解析】1ogb>0a>1,b>1或0<a<1,0<b<1,故B正确. 3.C【解析1y=±名=±3一名=5=32=4，所以e=2,故C正确. 4.B【解析】显然(x)为奇函数，排除AC,义x0且x>0时，代x)>0,放B正确， 5.A【解析】求导易得f(x)在(0,1)的切线为y=x+1,g(x)在(1,0)处的切线为y=x-1,止好与 y=-x+垂直，所以IABI最小值为2，故A正确， 6.D【解析】总方法数为2A×A×7=504,故D正确. 7.B【解析】设切点P(,e-）,则f(x)在P点处切线为y=eo-(x-xn)+e- 所以/”s1 /n=0 →m+n=1 le-(1-x0）=ml1-o=m 所以+2=(m+m)+2)=3++2m≥3+22当1仪当2=2m2时取等，放B止确 m n 8.B【解析】令g(x)=xf代x),由题意得g'(x）=1+lnx,所以g(x）=xnx+C,又g()=ef(Ve)= nE+C,则C=0,所以g(x)=x)=hx,则(x)=,义)在(0，e)上单调递增， (e,+0）.卜单调递减，所以f代x)的极大值为。，故B正确。 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分 9.AC【解析】根据事件独立的定义可知A选项正确，而P(AUB)=P(A)+P(B)-P(B),所以B错 标准差衡量了··组数据与其平均数的偏离程度，标准差越大则数据越分散，离散程度越大， 所以C对，对于D选项，在线差图巾，残差点分布的水平带状区域越觉，说明模型拟合效果 越差，所以D错 10.BD【解析】令y=a,y在上单减，所以A销：对丁B选项，要比较loga与alog.b的大小关系， 等价十比较2与的大小关系，而)-在(0,1)上单调递搭，所以B对构造函数 a y-4-5可C错，ln号<0，而sinc-sim6>0,所以D对. 数学试题参考答案第1页{共6页) 11.ABD【解析】当a=b=0时，fx)=-x(e-1)有唯一零点x=0,A对，对于B,f'(x)=(a-1-x)e++1 当x一-0时，f'(x)一1，当x→+的时，f'(x)→-0，所以f'(x)行在变号袋点，B对. 当a=1肘，xe(1,+o),f'(x)=-e++1≤0H成立，即b≥-x-lnx,而y=-x-lnx 在(1，+0)上单调递减，y<-1→b≥-1，所以C 当a=1,b=0时，f(x)=1-xe,f代x)过原点的切线为y=x,过(1,0)的切线为y=(1-e)(x-1), 设直线y=m与肉切线交与P,Q两点，则1名-x≤1xp-0=1-m -1 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.14 【解析1=G()-)-G2,令7r-2.则r=1,所以f的系数是2=4 13.(-1,0) 【年折到1异显然取上m增，又)-)-=，所以 f(x)为奇函数.原不等式即为代x2+1)<-f(x-1),即f代x2+1)<f代1-x) 等价于x2+1<1-x台-1<x<0,所以原不等式的解集是x∈(-1,0) 4-2 【解析1h题意函数f代x)=(x-1-26)e-a+2ac在R上单调递增，所以f'(x)=(-2b)e -r+2ah=(c-u)(x-2b)≥0在R上恒成立，则lna=2b,所以ab=2ana令g(x)=nx, ()在0，上单调递减，（日，+x]上单调递增，则5(）=-2，所以a山的最小值为-元 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 0:1x)=log,3)s=(g3+1o%）·（g81-1g)=1+g）·（4-2g*, …3分 令1gx=1e[0,2],则y=(1+)(4-2)在[0,2]的最大值为号，最小值为0，所以函数f(x)的 值城是0，引 …6分 数学试题参考答案第2页{共6页) (2)f八3x）=(1+log(3x))·(4-2lo%(3x))=(2+log3x)·(2-2log3x),又f(3x)≥mlog x, 即(2+lg）(2-2bgx)≥mlog,印-logs-0gx+2≥2g3*恒成立.…8分 当x=1时，有me当xe(1,9]时，令g1e(0,2,-1+子-≥号义y=-4+子-1 f 在(0,2]上单调递减，y的最小伯是-2，则m≤-4，综上，m≤-4.…13分 16.(15分)》 解：(1)S.e=P,PC·inAPC=2 2sin-APC,h题APC最大值为号 …1分 则圆锥轴截面等髅三布形的顶布为饶介，否则sin∠APC的最大值为1，由正弦函数在0，）单调 递增可得，∠AC最大伯为写，此时AC过底面圆心. 3分 六40=L,P0=5,m-3m·02,P0= 3 T. 4分 (2)如图，已知四边形ABCD为矩形，过B点作PO的平行线为：轴建立如图所示的B-z空问直 加坐标系， 80,0.0,610.0.405.0),2号5，D15.0 6分 设平面PD与平面PBC的达向量分别为元=(x,y,名)， i=(x2y2,之），则有： m·PA=0 3 成·AD=0' -1+=0，令=1m=(0,2,1) x1=0 答题纸上作图1分 …9分 ·BP=0 2+ 3 n.BC=0" +5=0,令=-1，n=(0,2-1) 12分 x2=0 .c0s6=c0s<m,n>|= m·n 3 ,所以平面PHD与平而P8C所成夹角的余弦值为是 15分 17.(15分) 解：(1)X可能的取值为0,1,2. …1分 1 11 当X=0时，P=2×2=4, 2分 1111 当X=1刑》=C2×7×万×万曰4，…3 当X=2刑，p=1-p(X=0)-p(X=1)=2 …4分 数学试题参考答案第3页{共6页)】 所以X的分布列为： 0 2 5分 8)=1x行+2×分- 6分 (2)设甲乙获得纪念品的概率为P。,则P。=p2q2+C2p(1-p)g2+Cpg(1-q) .P0=-3p2g+2pg(p+9）,…9分 而h+=6,6啊=p+9≥2网四≥写， 12分 R=p≥g, 14分 当且仅当p=q=号时取得最小伯。 4+t4…4+4+44*4+++444+4444 15分 18.(17分) 解：1向感盛，2=4，号-号所以a=26=5,放C的方程号 3 =1…3分 (2)(i)当EH斜举不你在时，设(y),H(a,-) 的6-5-0-3号因为为3- x00 4 所以-3。三身则为=0矛盾 …4分 则可设(，少），H队x2y2),FH:y=x+m,与椭圆联立有(3+42)x2+8x+4m2-12=0 内△>0得4+3>+杨银6 4m2-12 3+42 …6分 则产：85-者+m-+m面.专 x12 二一4 所以+x出+(m-尽)(x+)+(m-5)2=0,韦达定理代入有 m-54n-23》=0,所以m=或m=5(合）… 9分 3+4k 所以直线H过定点Q0,,则G点在以00为直的圆上，其方程为+ (r 11分 (i)由(i)可得，V正好为图心，所以△PMG最大的高为， 13分 因为PMI= 3} +yn -12- 4 +- 4 =N-301 3 20+4+ %e[-3,5] 44**4+t+4+40++t+… 15分 当6=39时，1P1有最大值9，所以Sae宁×异×罗 1x3×9-57 …17分 16 数学试题参考答案第4页{共6页) 19.(17分) 解：(1)记r(x)=(x)+g(x+1)=nx+a+1,定义域为(0，+四) x+1 r(x)=￥+2-ux+1 x(x+1)2 …1分 ①当4=a2-4a≤0即0≤a≤4时，r'(x)≥0，所以r(x)在(0，+e)上单增…2分 ②当a<0时，因为-2，<0，所以(x)>0,rx在(0，+0)上单增…3分 2 ③当a>4时，x∈0,4-2-a=40,(x)>0,r(x)单增 2 x∈(-2-√a-4aa-2+。-4a ,'(x)<0,r(x)单减 4分 3 x-2+,4,+x()>0,r(x)单增 Inx+l=a (2)(i)山题 →x2(1nx1+1)=1(ln2+1) h2+1=a 所以n￥+1h名+1 x1 X2 记()=n+,(x)=-n ∴.x∈(0,1).s'(x)>0,s(x)单调递增 x∈(1，+0).'(x)<0,s(x)单湖递减 又付=0. 到有1<名1<1<花2…6万 方法：要证：+，>2，即证，2>2-为1，因为2-名>11>1，故只需证()<s(2-x)即s(x)<(2-名)》 带入变形卸是证(2-nx+2-x<n(2-)+,*e(日，】 记)=2-ng-如(2-)-2x+2e日，，)=-hx42-h2-)+2产2， r是222÷*2*州士0,9分 所以()<0，(x)合1，所以r()>'()=0,所以()台小单通增，(x)<4()=0得证 …10分 数学试题参考答案第5页{共6页) 先行金圆>现运考号号1减风4传1 1 变形有nx< Ax (x2-1)2 x2+1 (+1)2x(2+1>0, …9分 所以()在日，1单增，所以()<(1)=0，则>1，又+名≥2南，离=名取“=“，所以 1+x2>2得证 ……10分 n名+1=a (i)由 X2 →x1=e-1,由ln3+1=a>有x2(lnx2+1)>a 血为2+1-@ X132 易有h+)在（1，t云)单测通瑞，所以名>%（其中+1）=a),n与+1在名> 且>时有且仅有一解，记h(x)=e÷-l(lnx+1)-a(x>1),h'(x)=e1二(x-dnx-a) …12分 因为h名+1={>L,>。所以a>0 ①当0<a≤1时，x-a(hx+10≥-lh-1,i记()=x-nx-l1,k'()=1->0,所以()在 (1,+o)单增，(x)>k(1)=0,所以h(x)在(1，+)单增，(x)>h(1)=e-1-a≥0，所以h(x) 无零点，合…14分 ②当a>1时，(1）>0，记p(x)=x-alnx-a,p'(x)=-a 所以p(x)在(1，a)单调递减，在(a,+∞)单调递增 因为p(1)<0,(a)<0,x→+o,p(x)→+o,所以存在m>@ 使得x∈(1，m),p(x)<0,h(x)增，x∈(m,+∞)，p(x)>0,h(x)减， r,(ln+1)=a 因为{a(lna+1)>a,所以1<xo<a… 16分 l1(ln1+1)=1<a h()=e-(In xo+1)-a=e eg出(ln+1）-a=(m+1)-a=0 x→+x时h(x)→+∞所以存在唯一x2使得h(x2)=0且x2>0…17分 综上：a>1 数学试题参考答案第6页{共6页)