第四章图形的相似同步练习 2025-2026学年 北师大版数学九年级上册

第四章图形的相似 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．如图，在直角坐标系中，的三个顶点分别为，现以原点O为位似中心，在第一象限内作与的位似比为2的位似图形，则顶点的坐标是（　　）    A． B． C． D． 2．如图，在中，E、F分别是边上两个三等分点，B、D分别交于P、Q、R，则（   ） A． B． C． D． 3．泰勒斯是古希腊时期的思想家、科学家、哲学家，他曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度，金字塔的影长，推算出金字塔的高度，这种测量原理，就是我们所学的（    ） A．图形的相似 B．图形的平移 C．图形的旋转 D．图形的翻折 4．我们在学习书法的初期需要经历临摹阶段，黄金格是一种临摹时的习字格．如图，正方形是黄金习字格的边框，正方形内四条线段为黄金分割线，其端点都在边框上，且均为各边框的黄金分割点．若，则两条黄金分割线之间的距离的长为（    ） A． B． C． D． 5．如图，以点O为位似中心，作的位似图形得到，若位似比为，则下列结论不正确的是（  ） A． B． C．是的中位线 D． 6．如图，在平面直角坐标系中，与是以原点为位似中心的位似图形（点的对应点分别为点），已知的顶点，若点的坐标为，的面积为，则的面积为（   ） A．8 B．4 C．2 D．16 7．如图，已知，若的长度为5，则的长度为（   ） A．10 B．12.5 C．7.5 D．15 8．已知线段，点P是线段的黄金分割点，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 9．已知一个直角三角形两直角边长之和为，则这个直角三角形的最大面积为（    ） A． B． C． D． 10．如图，和是以点为位似中心的位似图形，已知点，点，点，点，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 11．如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，则关于三角形①②有四个说法，其中正确的是（　　） A．一定不相似 B．一定全等 C．一定相似，且相似比为 D．一定相似，且相似比为 12．如图，，与相交于点E，若，，，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 13．如图，小明利用标杆测量旗杆的高度，小明的眼睛与地面的距离，标杆，，，则旗杆的高度是 ． 14．如果两个相似三角形的最大边上的中线长分别是和，它们周长的差是，那么这两个三角形的周长分别为 ． 15．已知在中，、分别是边、的中点， 与相交于点，那么等于 ． 16．如图，已知两个四边形相似，则可以确定 ， ． 17．如图，在中，点在线段上，添加一个条件，使得，则添加的条件是 ．（只填一个） 三、解答题 18．如图，四边形四边形． (1)求的度数； (2)若，，求的长． 19．如图，在中，，点P从点A沿向点C以的速度运动，同时点Q从点C沿向点B以的速度运动（点Q运动到点B停止，同时点P也停止）．在运动过程中，求面积的最大值． 20．已知三边满足，且． (1)求的值； (2)判断的形状． 21．如图，D，E分别是，上的点，，相似比是． (1)若，求的长． (2)若，求的度数． 22．江老师有一天为了测量一棵高不可攀的银杏树高度,他利用了反射定律,利用一面镜子和皮尺,设计如图所示的测量方案:把镜子放在离银杏树的点处,然后观测者沿着直线后退到点,这时恰好在镜子里看到树梢顶点,再用皮尺量得,观测者目高,则树高约是多少? 23．如图，红红同学用自制的直角三角形纸板测量树的高度，他调整自己的位置，设法使斜边保持水平，并且边与点B在同一直线上，已知纸板的两条直角边，，测得边DF离地面的高度，，求树高．    24．如图，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，是格点三角形（顶点在方格顶点处）． (1)在图1中画出一个格点，使得与相似，周长之比为2：1； (2)在图2中画出一个格点，使得与相似，面积之比为2：1． 《第四章图形的相似》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B A A D A C D B B 题号 11 12 答案 C B 1．C 【分析】直接根据位似图形的性质即可得． 【详解】解：∵的位似比为2的位似图形是，且， ，即， 故选：C． 【点睛】本题考查了坐标与位似图形，熟练掌握位似图形的性质是解题关键． 2．B 【分析】此题重点考查平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明，，由相似三角形的对应边成比例分别求得等于的几分之几，进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵E、F分别是边上两个三等分点， ∴， ， ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ， ，， ∴； 故选：B． 3．A 【分析】本题主要考查将实际问题数学化，根据实际情况画出图形即可求解．根据在同一时刻的太阳光下物体的影长和物体的实际高度成比例即可判断． 【详解】解：根据题意画出如下图形：可以得到，则， 即为金字塔的高度，即为标杆的高度，通过测量影长即可求出金字塔的高度， ∴这种测量原理，就是我们所学的图形相似．    故选：A． 4．A 【分析】本题考查了黄金分割．熟练掌握黄金分割是解题的关键． 由题意知，，，可求，则，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，，， ∴， 解得，， ∴， ∴， 故选：A． 5．D 【分析】本题考查的是位似图形的性质，熟记位似图形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵与是位似图形，位似比为， ∴，，，， ∴点分别是的中点， ∴是的中位线，故选项A、B、C结论正确，不符合题意，选项D结论错误，符合题意， 故选：D． 6．A 【分析】本题主要考查位数图形的性质，掌握位数图形的性质，求出相似比是解题的关键． 先由得，，进而得，再利用位似的性质得，，然后根据三角形相似的性质解决问题． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∵与是以原点为位似中心的位似图形， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 7．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．根据相似三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的长度为5， ∴， ∴． 故选：C 8．D 【分析】根据黄金比值为计算即可． 【详解】解：点是线段的黄金分割点，， ， 故选：D． 【点睛】本题考查的是黄金分割的概念，熟记黄金比值为是解题的关键． 9．B 【分析】本题考查了二次函数的最大值，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种是由函数图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，本题采用配方法求解比较简单． 设一条直角边长为cm，则另一条直角边长为cm．根据直角三角形面积公式，列出关于的二次函数，利用二次函数的最大值求解． 【详解】解：设一条直角边长为cm，则另一条直角边长为cm． 直角三角形的面积为： 将面积表达式化为顶点式： 由于二次项系数，函数开口向下，当时，面积取得最大值． 此时另一条直角边为，即两直角边相等时面积最大． 故选：B 10．B 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，设点D的坐标为，然后根据位似变换的性质列式计算即可得解． 【详解】解：设点D的坐标为， ∵和是以点A为位似中心的位似图形， ∴，， 解得， ∴点D的坐标为． 故选：B． 11．C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理， 根据勾股定理分别求出这两个三角形的三边，再结合三边成比例的两个三角形相似得出答案. 【详解】解：根据勾股定理， 三角形①的三边长为； 三角形②的三边长为， ∴， ∴这两个三角形相似，且相似比为. 故选：C. 12．B 【分析】本题考查平行线分线段成比例定理的推论，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段的比相等”，由可得，由此求出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵，，， ∴ 解得， . ∴＝＝， 故选B． 13． 【分析】本题考查了矩形的判定及性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握用相似三角形的相似比求物体高度是解题关键．先求出，，再根据，得到，即可得到旗杆的高度． 【详解】解：如图，过点作于，交于， 由题意得，，， ∴四边形是矩形四边形是矩形，四边形是矩形是矩形， ∴，， ，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．， 【分析】本题考查了相似三角形对应中线的比等于相似比，相似三角形周长的比等于相似比的性质，熟记性质是解题的关键．根据相似三角形对应中线的比等于相似比，求出两个三角形的相似比，再根据相似三角形周长的比等于相似比列式计算即可． 【详解】解：由题意，得两三角形的周长比为， 设两三角形的周长分别为，， 由题意，得，解得， ，， 即这两个三角形的周长分别为， 故答案为：． 15． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，先判定为的中位线，进而得出，，证明，然后根据相似三角形的性质可得结论．解题的关键是掌握相似三角形的性质：相似三角形的面积比等于相似比的平方．也考查了三角形的中位线． 【详解】解：如图， 、分别是边、的中点， 为的中位线， ，， ， ， ， 故选：C． 16． /度 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，熟知相似图形对应边成比例，对应角相等是解题的关键．根据相似图形对应边成比例，对应角相等进行求解即可． 【详解】解：∵两个四边形相似， ∴， ∴， 故答案为：，． 17．（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使两个三角形相似，涉及两个三角形相似的判定定理，根据图形，结合两个三角形相似的判定定理添加条件即可得到答案，熟记两个三角形相似的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：①两角对应相等的两个三角形相似： ， 当时，； 当时，； ②两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似： ， 当时，； 综上所述，添加或或，使得， 故答案为：（答案不唯一）． 18．(1) (2) 【分析】该题主要考查了相似多边形的性质和四边形内角和，解题的关键是掌握相似多边形的性质． （1）根据四边形内角和算出的度数，再根据相似多边形的性质即可求解； （2）根据相似多边形的性质得出，即可求解； 【详解】（1）解：在四边形，， ∵四边形四边形， ∴． （2）解：∵四边形四边形， ∴， ∵，， ∴， ∴． 19．最大值为 【分析】本题主要考查了二次函数的最值以及勾股定理，利用分割图形求面积是解题的关键. 首先在中，利用勾股定理可以得出的长，设运动时间为则 然后利用分割图形求面积法可得出利用配方法即可求出四边形的面积最小值，进而求得的面积最大值. 【详解】设运动时间为，则： ， 当时，有最大值，最大值为． 20．(1)； (2)直角三角形． 【分析】（）设，，，可得，即得，进而得到，，再由，可得，据此即可求解； （）利用勾股定理逆定理即可判断求解； 本题考查了比例的有关计算，勾股定理的逆定理，掌握比例的有关计算是解题的关键． 【详解】（1）解：设，，， ∴， 即， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，，； （2）解：∵，， ∴， ∴为直角三角形． 21．(1) (2) 【分析】本题考查的是相似三角形的性质，熟知相似三角形的对应角相等，对应边的比相等是解题的关键． （1）根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论； （2）先根据勾股定理求出的度数，再由相似三角形的对应角相等即可得出结论． 【详解】（1）解：∵，相似比是，， ∴，即， 解得， 故为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴． 22． 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质．根据题意证出,再代入条件中具体数值继而得到本题答案． 【详解】解:由题意知,,, ∴, ∴, ∵,,, ∴,解得:, 答:树高约是． 故答案为:． 23． 【分析】由题可得，则由即可求解,本题主要考查相似三角形的实际应用，掌握相似三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 24．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据相似三角形的性质，把的边长扩大2倍即可． （2）根据相似三角形的性质，把的边长扩大倍即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作． （2）如图，即为所求作． 【点睛】本题考查作图﹣相似变换，相似三角形的判定与性质，三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 学科网（北京）股份有限公司 $$