陕西省咸阳市永寿县中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

数学参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D B B D C A 【解析】 1.z=-2i+2=-1-2i,复数z对应的点为(-1，-2)，故选C. 2.AnB={3,5},故选A 3.由a∥b得，6x+3×2=0,得x=-1,故选D. 4.两圆圆心距d=3,1+r2=2+1=3,因为d=r1+r2,所以两圆外切，故选B. 5.由题意可知y=f(x)关于x=1对称，所以f(-1)=f(3),又因为y=f(x)在[1，+∞)上单调 递增，所以f1)<f2)<f3)=f八-1)，故选B. 6)=2sn2x+平），周期T=受=m,故A错误；因为f-x)≠x),f代-)≠-f代x),所 以)是非奇非偶函数，故B错误；当-号+2km≤2x+牙≤受+2km,ke乙，即-冬r+km≤ ≤爱+m,keZ时，)为增函数，所以f)在（受，g）上递减，在(，）上递增，故C 错误对称轴方程2x+开-受+m,ke乙，即x=受+受，ke乙，所以x=爱是)的对称轴， 故D正确，故选D. 7.取AC的中点G,连接SG,BG.因为△ABC是正三角形，则BG⊥AC.因为S-ABC是正三棱锥， 所以SA=SC,则SG⊥AC,故AC⊥平面SGB,所以AC⊥SB.因为SB∥平面DEFH,SBC平面 SAB,平面SABn平面DEFH=HD,所以SB∥HD,同理SB∥FE.又D,E分别为AB,BC的中 点，则H,F也分别为AS,SC的中点，从而得FL分AC LDE,.所以四边形DEFH为平行四边 形.又AC⊥SB,SB∥HD,DE∥AC,所以DE⊥HD,所以四边形DEFH为矩形.故选C. 8由双曲线方程可得4(-1,0)，8(1,0)，设P(0,6),则有0·m=·=分 4-4,所以m=ee[合小，所以5如e4,8]故途A 6-1 数学参考答 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 ABD BC AD 【解析】 9设等差数列的公差为d,则%+d▣-2 解得a1=-4,d=2, 2a1+8d=8 所以o,=4+(a-1）d=2m-6,8=2a2=2-5=(n-2}-2 2 当n=2或n=3时，Sn有最小值，故A,B正确，C错误； 因为2224 225=2=4,所以数列{2}是等比数列，故D正确，故选ABD. 10.X的可能取值为1,2,3，故A错误；P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)= C2c C] 故B正确； + M=4,N=6,则B(X)=n×兴=3×号=2，故C正确；B(2x-1)=2B(X)-1=3,故D错 误.故选BC. 11.f'(x)=(2x2+x-3)·e=(x-1)(2x+3)e 当xe(-m,-2}(1,+)时，f'()>0x(-是，时，f"()<0, 所以x)在(-0，-引，(1，+0)上为增函数，在计÷2，上为减函数， 所以当x=- 2时，函数有极大值-2)=9e÷,当x=1时，函数有极小值f1)=-心 由)=(22-3)·6>0，即2-3x>0,得x<0或x>2, 所以当x∈(-0,0)U2,+∞时函数)的图象在x轴上方，画出函数图象，如图 由图象可知A正确，B错误；由图象可知实数a的取值范围是(-子，小，故C错误； 由y=3[)]”+2-1=0得)=-1或号因为-2)=9e音>号f1)=-。 数学参考答 <-1,所以y=)与y=-1,y=宁的图象有5个交点，所以函数y=3[]+2机-1 有5个零点，故D正确.故选AD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.1013.136514.(-∞，2] 【解析】 12.C%x2（-y)2=10x37 13.因为42+a3=22,a4+a5=2,a6+a,=2,…所以S1,=1+22+24+…+20=1365, 14.因为y=e-e*在(0，+)上单调递增，所以当x>0时e-e>0.由已知f(x)≥0在(0，+∞) 上恒成立，得e+ea-1≥a(e-e),即a≤+e” 。e在(0，+∞)上恒成立.令4=e -,测产+e=+2>0),所以y=+2,当且仅当：=1时等号成立，所以 a≤2，所以a的取值范围是(-∞，2]. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.（本小题满分13分) (1)解：f'(x)=3x2-6, 所以k=f'(2)=6. (3分) 因为切点为(2，-4)， 所以切线方程为y+4=6(x-2),即6x-y+16=0. (6分) (2)证明：令g(x)=fx)+3x+2=x-3x+2. (7分) 由g(x)=3x2-3=0,得x=1. 当x∈(0,1)时g(x)<0,所以g(x)在(0,1)上单调递减， 当x∈(1，+∞)时g'(x)>0,所以g(x)在(1，+∞)上单调递增， 所以当x=1时，g(x)有最小值g(1)=0, (11分) 所以g(x)≥0，即f八x)≥-3x-2. (13分) 16.（本小题满分15分)》 解：(1)记A,=“抽取的学生是男生”，A2=“抽取的学生是女生”，B=“抽取的学生近视”. 由题意可知P(A)=号，P(A)=号，P(BIA,)=0.4,P(B1A)=0.25, (2分) 所以P(B)=P(A,)·P(BA)+P(4)P(BA)=号x0.4+号x0.25=0,4 3 (6分) (2)零假设为H。:视力与性别相互独立，即视力与性别无关 (7分) 由题意可得下面的列联表： 性别 视力 近视 不近视 合计 男生 24 36 60 女生 10 30 40 合计 34 66 100 数学参考答 根据列联表中的数据，经计算得到 X-10×(24x30-36×102-10×360x360 34×66×60×40 34×66×60×40 ≈2.406<3.841， (13分) 所以根据小概率值α=0.05的独立性检验，没有充分证据推断H。不成立，因此可以认为H。 成立，即视力与性别无关 (15分) 17.（本小题满分15分) r2a+2c=4+25 解：(1)设椭圆的焦距为2c,由题意可得 (2分) e=- a 2 解得a=2,c=5, 所以b2=a2-c2=1, 所以椭圆C的方程为号+y=1。 (5分) (2)由题意可知直线1的斜率存在，设为k, 所以直线1的方程为y=(x-4) (6分) 设A(名)，B(2y2), 由/层1 ,得(1+4k)2-322x+642-4=0, y=k(x-4) 所以名+名32 1+4h2,名*2= 642-4 1+4k2, 由4>0得0≤<2 (10分) 由.成=+=1+)4-4%+%)+16=-号 得2=石，满足4>0， (13分) 6 所以名+2=号名=0， 所以81=-产+-=1+g.G+-4=.号2 5 (15分) 18.（本小题满分17分) (1)证明：因为PD⊥平面ABCD,ABC平面ABCD,所以PD⊥AB. 因为AD⊥AB,AD∩DP=D,所以AB⊥平面PAD. 因为DEC平面PAD,所以AB⊥DE. (3分) 因为E为PA中点，PD=AD,所以DE⊥PA. 又AB∩PA=A,所以DE⊥平面PAB. (5分) 数学参考答 (2)解：由(1)可知DE⊥PB,同理可证DF⊥PB. 因为DEODF=D,所以PB⊥平面DEGF,所以PB⊥EG. 易得△P8G△PMD,所以贤-器 易得PB=25,所以PG=2 3 (6分) 以D为原点，DA,DC,DP所在直线分别为x,y,z轴，建立空间直角坐标系， 则D00,0),c0,20),易知c(号号)，所以d=(0,20),=(号号}(8分) 设平面DCG的一个法向量为n=(xA:z), 2y=0 学+子+子=0令=1，则=-2， 则{2 2 所以平面DCG的一个法向量为n=(-2,0,1). (10分) 平面ABCD的一个法向量为，=(0,0,1). 设所求夹角为6则o0=16sa1-号 (12分) (3)解：因为E(1,0,1),F(0,1,1),所以E=(-1,1,0), 设H(x,y,z),丽=AE录(0≤入≤1)， 所以(x-1,y,2-1)=A(-1,1,0),所以H(1-A,A,1),所以D应=(1-A,A,1). (14分) 由(2)知平面DCC的一个法向量为n=(-2,0,1), 所以d=。1-2+山-瓷解得入=或A=是 Inl 5 (16分) 所以点H的坐标为（行是，小或（子，，小 (17分) 19.(本小题满分17分) 解：(1)由正弦定理及2 asin A-(2b-c)sinB=(2c-b)sinC, 得2a2-(2b-c)b=(2c-b)c, 整理得+c2- 2bc =2，即osA=2 因为0<A<m,所以A=于 数学参考答 (2)因为△ABC是锐角三角形，M为费马点，所以∠AMC=∠AMB=∠BMC=120°.(5分) ①在△ABC中，由正弦定理得AC 1mc,货合得4C (6分) 2 3 22 在△MBC中，由正弦定理得，BC =MC<1>, Tsin∠BMC sin 0 在△MAC中，LMAC=45°-日，由正弦定理得，AC MC sin ZAMC=sin ZMAC2>, (8分) <1><2>两式湘除得元=血（。2，化简得（1+v同)如9=0， sin 所以am9=15- 5+12 (10分) ②由SAABC=SAAMB+SAOMC+SACM,得 之lM1·MB1sn120°+2lhMB1·lMC1sn120°+21MC1·lnM1s5m120°=之cs60, 整理得IMAI·IMBI+IMBI·IMC1+IMCI·IMAI=bc. (12分) 因为n bABC=in ACB=sin∠B4死=，元=8点 a sin T 3 3 8 inA.85 ACB=-LaC·sm(∠ABc+》 所以e=8 =9+号2zc-引 (14分) 0<LABC<受 因为△ABC是锐角三角形，所以 0<LAcB=F-Lac<号 3 所以号<LABC<受，所以若<2LABC-晋<爱，所以号<c≤16， 所以IMA1·IMB1+MB1·MC1+MC1·MA1的取值范围是（号，16] (17分) 高三数学试卷 (本试卷满分150分，考试时间120分钟) 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的姓名、准考证号分别填写在试卷和答题卡规定的位置上。 2.答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再涂其它答案。非选择题的答案必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔写在答题卡上相应的区域内，写在本试卷上无效。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在复平面内，复数x=i(-2+i)对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知集合A={1,3,5,7},B={x|2<x<6},则A∩B= A.{3,5} B.{3,4,5} C.{2,3,5,6} D.∅ 3.已知向量,则x= A.4 B.-4 C.1 D.-1 4.圆 与圆 的位置关系是 A.相离 B.外切 C.相交 D.内切 5.已知函数是定义在R上的偶函数,且f(x)在区间[1,+∞)上单调递增,则f(-1).f(1),f(2)的大小关系是 A. f(-1)<f(1)<f(2) B. f(1)<f(2)<f(-1) C. f(1)<f(-1)<f(2) D. f(2)<f(1)<f(-1) 6.已知函数,则函数 A.周期为2π B.是奇函数 C.在区间 上单调递增 D.一条对称轴是 7.已知正三棱锥S-ABC,平面DEFH分别与AB,BC,SC,SA 交于D,E,F,H,其中 D,E分别是AB,BC的中点.如果直线SB∥平面DEFH,那么四边形DEFH是 A.梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 8.已知双曲线 的左、右顶点分别为A，B，点P在双曲线的右支上且异于点B.若直线AP 的斜率的取值范围是 则直线BP 的斜率的取值范围是 A.[4,8] B.(2,4]∪[8,+∞) C.(4,8) D.(0,4]∪[8,+∞) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知等差数列{}的前n项和为Sn，若 则下列结论正确的是 C. Sn取得最小值时n=3 D.数列是等比数列 10.一个口袋中有大小相同的2个白球和4个黑球，从中随机取出3个球，记取出的黑球个数为X，则下列结论正确的是 A. X的可能取值为0,1,2,3 C. E(X)=2 D. E(2X-1)=4 11.已知函数 则下列结论正确的是 A.函数有2个极值点 B.函数无最小值 C.若函数在 上是减函数，则实数a的取值范围是 D.函数 有5个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15 分。 的展开式中 的系数是 . 13.已知数列{}的前n项和为 则 (用数字作答). 14.已知函数 若f(x)≥0在(0,+∞)上恒成立,则实数a的取值范围是 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 已知函数 (1)求曲线在点处的切线方程; (2)当x∈(0,+∞)时,求证:. 16.(15分) 为应对中国近视率高发问题，普及科学用眼知识，国家确定每年的6月6 日为“全国爱眼日”.某校在爱眼日前用简单随机抽样的方法抽取部分学生进行视力调查，通过调查得到了如下数据：抽取的学生中男生与女生的比例是3∶2，其中男生中有40%的同学近视，女生中有25%的同学近视. (1)若在抽取的这些学生中随机抽取一名学生，这名学生近视的概率是多少? (2)若抽取的学生总共100人，请完成下面的2×2列联表. 性别 视力 合计 近视 不近视 男生 女生 合计 试根据小概率值α=0.05的独立性检验，分析该校学生的视力是否与性别有关. 附： 的值保留三位小数) α 0.1 0.05 0.01 0.005 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 17.(15分) 已知椭圆C 的左、右焦点分别为 M是椭圆 C上一点，且 的周长是 ，椭圆C 的离心率为 (1)求椭圆 C的方程； (2)已知O为坐标原点，过点P(4，0)的直线l与椭圆C相交于A，B两点，且 求|AB|. 18.(17分) 如图,四棱锥P-ABCD 的底面ABCD 是正方形,PD⊥平面ABCD,PD =AD =2.已知E,F分别为 PA,PC 的中点,平面DEF 与棱PB 交于点 G. (1)求证: (2)求平面 CDG与平面ABCD的夹角的余弦值； (3)判断线段 EF上是否存在一点H，使得点H到平面 CDG 的距离为 若存在，请求出点H的坐标；若不存在，请说明理由. 19.(17分) “平面内到三角形三个顶点距离之和最小的点”被称为费马点，是由法国数学家费马在十：世纪提出的，意大利数学家托里拆利给出了确定费马点的方法： (Ⅰ)当. 的三个内角均小于120°时,满足∠AOB=∠BOC =∠COA=120°的点O 为费马点； (Ⅱ)当 有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点. 请用上述知识解决下面的问题： 在锐角 中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且. (1)求A; (2)已知a=4,点M为△ABC的费马点. ①若 记∠MBC =θ,求tanθ; ②求的取值范围 学科网（北京）股份有限公司 $$