精品解析：广东省韶关市浈江区行之实验学校2024-2025学年下学期七年级期中考试 数学试题

2024—2025学年第二学期韶关市行之实验学校七年级期中考试 数学试题 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列图案是一些汽车的车标，可以看作由“基本图案”平移得到的是（ ） A. B. C. D. 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 在下列各数，、、、、、、、、、中，无理数的个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 将点先向右平移7个单位，再向下平移5个单位，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 8. 以方程组的解为坐标的点在平面坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 9. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ） A B. C. D. 10. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 27的立方根为_____． 12. 如图，直线，相交于点，．若，则等于__________度． 13. 已知，那么点位于第___象限． 14. 一组按照规律排列的式子：，，，，，，第个式子是_________（为正整数）． 15. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．左图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成如图的数学问题：已知，，，则的度数是_______________； 三、解答题（一）(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16. 计算 （1）； （2） 17. 如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°．试说明：AB∥CD． 18. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）求m的值； （2）求的值． 四、解答题（二）(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19. 如图，在平面直角坐标系中已知，，． （1）求点到轴的距离； （2）求的面积； （3）点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标． 20. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 21 直线，相交于点，，平分． （1）如图①，若，求和； （2）如图②，若； v①求的度数． ②直接写出与互补角． 五、解答题（三）(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 综合与实践． 【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题． 【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【假设】（1）①根据题意完成下列表格 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 （用含x，y式子表示）  ②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________；  【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解． 23. 【探究性问题】 对于平面内的： 和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角．例如，，，则为的6系补周角． 【初步探究】 （1）若，则的4系补周角的度数为_________°． 【解决问题】 （2）在平面内， 点E是平面内一点，连接，． ①如图（1），若，是的3系补周角，求的度数． ②如图（2），和均为钝角，点F 在点E 的右侧，且满足， （其中n 为常数，且），点 P 是的平分线与的平分线的交点，且是的k 系补周角，请写出此时k 的值（用含n 的式子表示），并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年第二学期韶关市行之实验学校七年级期中考试 数学试题 （本卷满分120分，考试时间120分钟） 一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分) 1. 下列图案是一些汽车车标，可以看作由“基本图案”平移得到的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平移的定义：把一个图形整体沿一直线方向移动，得到一个新的图形，这个新的图形与原图形的形状和大小完全相同，对各选项分别进行判断． 【详解】解：A．只有一个图案，不是平移所得，不符合题意； B．只有一个图案，不是平移所得，不符合题意； C．只有一个图案，不是平移所得，不符合题意； D．有两个图案，且两个图案的形状和大小相同，是平移所得，符合题意； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了图形的平移，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，掌握图形平移的性质是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，点所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，点所在的象限是第四象限． 故选：D． 3. 在下列各数，、、、、、、、、、中，无理数的个数是( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】无限不循环的小数是无理数，根据无理数的定义逐一判断即可． 【详解】解：∵， ∴、、、、、、、、、中，无理数有，，，，，共5个， 故选D 【点睛】本题考查的是算术平方根与立方根的含义，无理数的识别，熟记无理数的定义是解本题的关键． 4. 如图，直线a，b被直线c所截，下列条件不能判定直线a与b平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，由此即可判断． 【详解】解：A、，能判定直线a与b平行，故A不符合题意； B、，能判定直线a与b平行，故B不符合题意； C、，能判定直线a与b平行，故C不符合题意； D、，不能判定直线a与b平行，故D符合题意． 故选：D． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件以及二次根式的性质，逐一判断选项，即可． 【详解】解：A. ，故该选项错误， B. ，故该选项错误， C. ，故该选项正确， D. 没有意义，无法计算，故该选项错误． 故选C． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，以及有意义的条件，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 6. 将点先向右平移7个单位，再向下平移5个单位，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】让点的横坐标加7，纵坐标减5即可得到平移后点的坐标． 【详解】解：点先向右平移7个单位，再向下平移5个单位，得到的点坐标是，即， 故选A． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化平移，解题的关键是掌握点的平移，左右平移只改变点的横坐标，左减右加；上下平移只改变点的纵坐标，上加下减． 7. 如图，已知a∥b，小华把三角板的直角顶点放在直线b上．若∠1=40°，则∠2的度数为（ ） A. 100° B. 110° C. 120° D. 130° 【答案】D 【解析】 【详解】解：如图， ∵∠1+∠3=90°， ∴∠3=90°﹣40°=50°， ∵a∥b， ∴∠2+∠3=180°． ∴∠2=180°﹣50°=130°． 故选D． 8. 以方程组的解为坐标的点在平面坐标系中的（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法及判断坐标点坐在象限，先求解方程组，再判断点在平面直角坐标系中的位置即可． 【详解】解： 由②代入①得：， 解得：， 把代入②式得：， ∴原方程组的解为：， ∵，， ∴点在第一象限， 故选：A． 9. 我国古代数学名著《九章算术》中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问人数，物价各几何？”意思是现有几个人共买一件物品，每人出8钱．多出3钱；每人出7钱，差4钱．问人数，物价各是多少？若设共有人，物价是钱，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设共有x人，根据物价不变列方程；设物价是钱，根据人数不变即可列出一元一次方程；由此即可确定正确答案 【详解】解：设共有x人，则有8x-3=7x+4 设物价是钱，则根据可得： 故选D． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，正确审题、发现隐藏的等量关系成为解答本题的关键． 10. 如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用平行线的性质及三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形外角的性质等知识，掌握这两个知识点是关键． 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分) 11. 27的立方根为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】找到立方等于27的数即可． 【详解】解：∵33=27， ∴27的立方根是3， 故答案为：3． 12. 如图，直线，相交于点，．若，则等于__________度． 【答案】80 【解析】 【分析】先根据补角的定义求出∠BEC的度数，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵∠AEC=100°， ∴∠BEC=180°-100°=80°． ∵DFAB， ∴=∠BEC=80°． 故答案为：80． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，同位角相等． 13. 已知，那么点位于第___象限． 【答案】二 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征．第一象限：，第二象限：，第三象限：，第四象限：，x轴上的点纵坐标为0，y轴上的点横坐标为0．先根据绝对值的非负性求出a和b的值，然后根据平面直角坐标系中点的坐标特征判断即可． 【详解】解：， ∴， ∴， ∴在第二象限． 故答案为：二． 14. 一组按照规律排列的式子：，，，，，，第个式子是_________（为正整数）． 【答案】 【解析】 【分析】根据分子的底数都是，而指数是从1开始的奇数，分母连续偶数解答． 【详解】第一个式子是：， 第二个式子是：， 第三个式子是：， 第四个式子是：， 第个式子是：， 故答案： 【点睛】本题考查的是单项式，解题的关键是根据分子和分母分别寻找规律：分子的底数都是，而指数是从1开始的奇数，分母连续偶数． 15. 为增强学生体质，感受中国的传统文化，学校将国家级非物质文化遗产——“抖空竹”引入阳光特色大课间．左图是某同学“抖空竹”时的一个瞬间，小聪把它抽象成如图的数学问题：已知，，，则的度数是_______________； 【答案】30°##30度 【解析】 【分析】延长DC交AE于点F，直接利用平行线的性质得出∠EAB＝∠EFC＝80°，进而利用三角形的外角得出答案． 【详解】解：如图，延长DC交AE于点F， ∵，∠EAB＝80°，∠ECD＝110°， ∴∠EAB＝∠EFC＝80°， ∴∠E＝110°−80°＝30°． 故答案为：30°． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质和三角形外角的性质，正确的作出辅助线是解题关键． 三、解答题（一）(本大题共3小题，每小题7分，共21分) 16. 计算 （1）； （2） 【答案】（1）9 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算和解二元一次方程组，熟练掌握运算方法是解答本题的关键． （1）原式分别化简绝对值，计算乘方和算术平方根，然后再进行加减运算即可； （2）将消去，求出，把代入①，求出，从而可求出方程组的解． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 得， 解得， 把代入①，得， 解得， 所以，方程组的解为． 17. 如图，已知∠ACD＝70°，∠ACB＝60°，∠ABC＝50°．试说明：AB∥CD． 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】根据同旁内角互补，两直线平行即可判定． 【详解】证明： ∥ ． 18. 如图，一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示，设点B所表示的数为m． （1）求m的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查数轴上两点间距离问题，求代数式的值． （1）根据数轴上两点间距离等于两坐标之差的绝对值求解即可得到答案； （2）根据（1）中的值代入求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：∵一只蚂蚁从点A沿数轴向右爬2个单位长度到达点B，点A表示， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 四、解答题（二）(本大题共3小题，每小题9分，共27分) 19. 如图，在平面直角坐标系中已知，，． （1）求点到轴的距离； （2）求的面积； （3）点在轴上，当的面积为6时，请求出点的坐标． 【答案】（1）3 （2）18 （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，两点之间距离的计算，几何图形面积的计算，掌握平面直角坐标系的知识是关键． （1）根据点到坐标轴的距离的计算求解即可； （2）根据两点之间距离的计算得到，点到直线的距离为，根据三角形面积的计算公式求解即可； （3）设点的坐标为，根据三角形面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 解：点的坐标为， 点到轴的距离； 【小问2详解】 解：点，点， ， 又点到直线的距离， （平方单位）； 【小问3详解】 解：设点的坐标为， ， ， 解得：，或， 点的坐标为或． 20. 为拓展学生视野，某中学组织八年级师生开展研学活动，原计划租用45座客车若干辆，但有15人没有座位；若租用同样数量的60座客车，则多出三辆车，且其余客车恰好坐满．现有甲、乙两种客车，它们的载客量和租金如下表所示： 甲型客车 乙型客车 载客量（人/辆） 45 60 租金（元/辆） 200 300 （1）参加此次研学活动的师生人数是多少？原计划租用多少辆45座客车？ （2）若租用同一种客车，要使每位师生都有座位，应该怎样租用才合算？ 【答案】（1）参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆 （2）租14辆45座客车较合算 【解析】 【分析】（1）设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）由（1）结论求出所需费用比较即可． 【小问1详解】 解：设参加此次研学活动的师生有x人，原计划租用45座客车y辆 依题意得 解得：， 答：参加此次研学活动的师生有600人，原计划租用45座客车13辆； 【小问2详解】 ∵要使每位师生都有座位， ∴租45座客车14辆，则租60座客车10辆， ，， ∵ ∴租14辆45座客车较合算． 【点睛】题目主要考查二元一次方程组的应用及有理数乘法的应用，理解题意是解题关键． 21. 直线，相交于点，，平分． （1）如图①，若，求和； （2）如图②，若； v①求的度数． ②直接写出与互补角． 【答案】（1）， （2）①；②，， 【解析】 【分析】本题考查邻补角，角平分线的定义，余角和补角及角的运算，求得是解题的关键． （1）根据角平分线的定义可求得的度数，再利用角的和差即可求得的度数及的度数； （2）①利用角平分线的定义及角的和差即可求得的度数；②根据补角的定义即可求得答案． 【小问1详解】 解：，平分， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：①平分，， ，， ， ， ； ②，，，， ， 与互补的角为：，，． 五、解答题（三）(本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分) 22. 综合与实践． 【主题】学习古籍中的二元一次方程组问题． 【材料】《张丘建算经》是一部数学问题集，其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，俗称“百鸡问题”：“今有鸡母一值钱三，鸡翁一值钱五，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？” 【翻译】为帮助同学们更好理解“百鸡问题”，实践小组成员在查阅相关书籍后，将该问题翻译如下：每一只母鸡值三文钱，每一只公鸡值五文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ 【假设】（1）①根据题意完成下列表格 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 （用含x，y式子表示）  ②根据买鸡100文，列出一个含有x，y的方程：_________；  【拓展】（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？ （3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解． 【答案】（1）①见解析②（2）母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只（3）公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用和二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）①由购买鸡的只数找出购买小鸡的只数；②找准等量关系，正确列出二元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（3）结合x、y均为整数求出二元一次方程的解． （1）①根据共买鸡100只，即可求出小鸡购买的只数，结合鸡的价格即可求出购买鸡的总花费； ②根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程； （2）根据（1）中②的结论结合母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，即可得出关于x、y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （3）根据总价=单价×数量结合用一百文钱买一百只鸡，即可得出关于x、y的二元一次方程，结合x、y均为整数，即可求出结论． 【详解】解：（1）①根据题意得买了只小鸡，则填表如下： 母鸡 公鸡 小鸡 数量/只 x y 花费/文 ②根据题意得： 故答案为：； （2）设母鸡有x只，公鸡有y只，则小鸡有只， 根据题意得：， 解得：， ∴． 答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只； （3）根据题意得：， 化简得：， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，，舍去． 所以，①公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；②公鸡有4只，母鸡有18只，小鸡有78只；③公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；④公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只（①③④中任选两个即可）， 故答案为：公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只；或公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只． 23. 【探究性问题】 对于平面内的： 和，若存在一个常数，使得，则称为的k系补周角．例如，，，则为的6系补周角． 【初步探究】 （1）若，则的4系补周角的度数为_________°． 【解决问题】 （2）在平面内， 点E是平面内一点，连接，． ①如图（1），若，是的3系补周角，求的度数． ②如图（2），和均为钝角，点F 在点E 的右侧，且满足， （其中n 为常数，且），点 P 是的平分线与的平分线的交点，且是的k 系补周角，请写出此时k 的值（用含n 的式子表示），并说明理由． 【答案】（1）60；（2）①② 【解析】 【分析】本题主要考查平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义．解题的关键是熟练掌握平行线的性质与判定，角平分线的定义，新定义． （1）设的4系补周角的度数为，根据新定义列出方程求解即可； （2）①过E作，得，再由已知，是的3系补周角，列出的方程，求得的度数； ②根据k系补周角定义确定P点的位置，再结合，求解k与n的关系即可求解． 【详解】解：（1）设的4系补周角的度数为，根据新定义得： ， 解得， 即：的4系补周角的度数为， 故答案为：60； （2）①过E作，如图1， ∴， ∵， ∴， ∴， ， 即， ∵是的3系补周角， ∴， ∴， ∴； ②连接，如图， 则， ∵， ， ∴， ∵的平分线与的平分线相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是的k系补周角， 此时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$