精品解析： 浙江省丽水市莲都外国语学校2024-2025学年七年级下学期月考数学试卷（3月份）

2024-2025学年浙江省丽水市莲都外国语学校 七年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，可以通过把一个基础图形平移得到的是（　　） A. B. C. D. 2. 数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），则这个表示的是（　　） A. 同位角 B. 内错角 C. 对顶角 D. 同旁内角 3. 下列式子中，是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 4. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ） A. 平行或相交 B. 平行或垂直 C. 平行、垂直或相交 D. 相交或垂直 5. 下面的计算，不正确的是（　　　） A. B. C. D. 6. 如图，，，则（　　） A. B. C. D. 7. 用“加减法”将方程组 中的x消去后得到的方程是（ 　 　） A. B. C. D. 8. 已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ） A. 14 B. 11 C. 7 D. 4 9. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 10. 如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC =∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是( ) A. ①②③ B. ①③④ C. ①③④⑤ D. ①②③④ 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知二元一次方程，则用含的代数式表示为：________． 12. 计算：_______． 13. 如图，，若，则的度数为______． 14. 如图，的周长是，将向右平移，得到．求四边形的周长_______． 15. 若方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为______． 16. 如图，已知矩形纸片，点E和点F分别在边和上，且，H、G分别是边和上的点，现将纸片沿折叠，点A、B、C、D的对应点分别是N、M、P、，若，则的度数为______ 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程组： （1）； （2）． 18. 作图题 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点A移动到点D，点E、F分别是点B、C的对应点． （1）请画出平移后的三角形； （2）三角形的面积为______． 19. 李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量． 20. 已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 21. 若关于的方程组和方程组有相同的解． （1）求关于的方程组正确的解． （2）求的值． 22. 如图，与相交于点F，，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）若平分，，求的度数． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品． 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元． 素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的． 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？ 24. 光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有． （1）如图2，已知镜子与镜子的夹角，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； （2）如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） （3）如图4，直线上有两点A、C，分别引两条射线．，，射线分别绕A点，C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年浙江省丽水市莲都外国语学校 七年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列图案中，可以通过把一个基础图形平移得到的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了图形的旋转和平移，能理解图形的旋转及平移是解题的关键． 【详解】解：A.可以由圆旋转得到，故不符合题意； B.可以由菱形旋转得到，故不符合题意； C.可以由菱形平移得到，故符合题意； D.可以由等腰直角三角形旋转得到，故不符合题意； 故选：C． 2. 数学课上老师用双手形象的表示了“三线八角”图形，如图所示（两大拇指代表被截直线，食指代表截线），则这个表示的是（　　） A. 同位角 B. 内错角 C. 对顶角 D. 同旁内角 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查内错角，关键是掌握内错角的定义． 两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角，由此即可判断． 【详解】解：如图所示，两大拇指代表被截直线，食指代表截线，则这个表示的是内错角． 故选：B． 3. 下列式子中，是二元一次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是掌握二元一次方程，需满足三个条件：①首先是整式方程．②方程中共含有两个未知数．③所有未知项的次数都是一次．根据二元一次方程组的定义即可求解． 【详解】解：A．，是二元一次方程，故该选项符合题意； B．，只有1个未知数，是一元一次方程，故该选项不符合题意； C．，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意； D．，含未知数的项的最高次数是2，不是二元一次方程，故该选项不符合题意． 故选：A． 4. 在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是（ ） A. 平行或相交 B. 平行或垂直 C. 平行、垂直或相交 D. 相交或垂直 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了在同一平面内的两条直线的位置关系．根据“同一平面内，直线的位置关系通常有两种：平行或相交；垂直不属于直线的位置关系，它是特殊的相交”即可A 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行或相交， 故选：A 5. 下面的计算，不正确的是（　　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了同底数幂相乘和幂的乘方的应用能力，关键是能准确理解并运用以上知识． 运用同底数幂相乘和幂的乘方知识进行逐一辨别即可得到答案． 【详解】解：， 选项A符合题意； ∵， 选项B不符合题意； ∵， 选项C不符合题意； ∵， 选项D不符合题意； 故选：A． 6. 如图，，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质的应用，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 根据邻补角概念，得到，再利用两直线平行，同位角相等，得到，得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 7. 用“加减法”将方程组 中的x消去后得到的方程是（ 　 　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了加减消元法解二元一次方程组，根据加减消元法，直接用第二个方程减去第一个方程可得答案． 【详解】解： 由②①得：， 整理得：， 即． 故选：D． 8. 已知是关于x，y的二元一次方程的解，则代数式的值是（ ） A. 14 B. 11 C. 7 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，代数式求值，整体代入的思想是解题的关键．把和的值代入方程即可求出与的关系式，然后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意，把代入， 得 ∴ 故选：B． 9. 明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多薄酒几多醇？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今33位客人醉倒了，他们总共饮19瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，可列方程组为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，设有好酒瓶，薄酒瓶，根据“好酒一瓶，可以醉倒位客人；薄酒三瓶，可以醉倒位客人，如今位客人醉倒了，他们总共饮瓶酒”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设有好酒瓶，薄酒瓶，根据题意得： 故选：A． 10. 如图，在△ABC中，∠A=90°，BE，CD分别平分∠ABC和∠ACB，且相交于F，，于点G，则下列结论 ①∠CEG = 2∠DCA；②CA平分∠BCG；③∠ADC =∠GCD；④∠DFB=∠A；⑤∠DFE=135°，其中正确的结论是( ) A. ①②③ B. ①③④ C. ①③④⑤ D. ①②③④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的性质与角平分线的定义即可判断①；只需要证明∠ADC+∠ACD=90°，∠GCD+∠BCD=90°，即可判断③；根据角平分线的定义和三角形内角和定理先推出，即可判断④⑤；根据现有条件无法推出②． 【详解】解：∵CD平分∠ACB， ∴∠ACB=2∠DCA，∠ACD=∠BCD ∵， ∴∠CEG=∠ACB=2∠DCA，故①正确； ∵∠A=90°，CG⊥EG，， ∴∠ADC+∠ACD=90°，CG⊥BC，即∠BCG=90°， ∴∠GCD+∠BCD=90°， 又∵∠BCD=∠ACD， ∴∠ADC=∠GDC，故③正确； ∵∠A=90°， ∴∠ABC+∠ACB=90°， ∵BE，CD分别平分∠ABC，∠ACB， ∴， ∴， ∴∠DFB=180°-∠BFC=45°， ∴，故④正确； ∵∠BFC=135°， ∴∠DFE=∠BFC=135°，故⑤正确； 根据现有条件，无法推出CA平分∠BCG，故②错误； 故选C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，熟知平行线的性质，角平分线的定义是解题的关键． 二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 已知二元一次方程，则用含的代数式表示为：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程，解题的关键是把看作已知数求出． 把看作已知数求出即可． 【详解】解：已知二元一次方程， 则． 故答案为：． 12. 计算：_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据积的乘方的运算法则进行运算即可. 【详解】原式 故答案为 【点睛】考查积的乘方，掌握积的乘方的运算法则是解题的关键. 13. 如图，，若，则的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了垂线，角的计算，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 先利用平角定义和已知易得：，从而利用对顶角相等可得，然后根据垂直定义可得，从而可得，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：∵， ， ， ， ， ， ， 故答案为： 14. 如图，的周长是，将向右平移，得到．求四边形的周长_______． 【答案】##22厘米 【解析】 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，即可得到四边形的周长，熟知平移的性质是解题的关键． 【详解】解：由平移的性质可知，，，， 由于的周长是，即， 则四边形的周长 ， 故答案为：． 15. 若方程组的解是，则关于x，y的方程组的解为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解的意义，掌握方程组解的意义是解决本题的关键． 把和看作整体，根据二元一次方程组的解的意义可得，再解方程组即可． 【详解】解：方程组的解是， 对于方程组，可得， ． 故答案为：． 16. 如图，已知矩形纸片，点E和点F分别在边和上，且，H、G分别是边和上的点，现将纸片沿折叠，点A、B、C、D的对应点分别是N、M、P、，若，则的度数为______ 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与判定、折叠的特性，根据题意分析其它情况是解题的关键． 根据平行线的性质与判定和折叠的特性分析图形特征即可求解． 【详解】解：在矩形中，， ，  由折叠可知：， ， ， 如图1， ，且与在直线的异侧，延长交于点L，设交于点I， ，， ， ， ， ， ， 如图2，，且与在直线的同侧，延长交于点J， ， ， ， ， 综上所述： 或， 故答案为：或． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 解方程组： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用代入消元法进行计算即可解答； （2）利用加减消元法进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：， 把②代入①中，， 解得， 把代入②中得，， 方程组的解集为； 【小问2详解】 解：， 把①②得，， 解得， 把代入①中，， 解得， 方程组的解集为． 18. 作图题 在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点A移动到点D，点E、F分别是点B、C的对应点． （1）请画出平移后的三角形； （2）三角形的面积为______． 【答案】（1） 即为所求： （2） 【解析】 【分析】本题考查作图—平移变换，求网格中三角形的面积，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点D，E，F即可； （2）利用三角形面积公式求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：的面积， 故答案为： 19. 李老师有一辆电动汽车，为了充电方便，他安装了家庭充电桩．该充电桩峰时充电的电价为0.5元/度，谷时充电的电价为0.3元/度，某月李老师的电动汽车在家庭充电桩的充电量合计为180度，共花电费64元．求这个月李老师的电动汽车峰时和谷时的充电量． 【答案】李老师的电动汽车峰时充电量为50度，谷时充电量为130度 【解析】 【分析】设李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度，根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设李老师的电动汽车峰时充电量为x度，谷时充电量为y度， 根据题意，得， 解得，， 答：李老师的电动汽车峰时充电量为50度，谷时充电量为130度． 20. 已知，如图，直线，被直线所截，为与的交点，于点，，．试说明：． 【答案】 证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线．熟练掌握余角定义，对顶角性质，平行线的判定定理，是解题的关键． 根据垂线的定义，结合，得，进而得到，即可证明结论． 【详解】略 21. 若关于的方程组和方程组有相同的解． （1）求关于的方程组正确的解． （2）求的值． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组： （1）利用加减法求解比较简便； （2）把的值代入方程组得关于的方程组，求解即可． 【小问1详解】 解：， ①+②，得 把代入②，得 原方程组的解为 【小问2详解】 解：把代入方程组， 得， 把代入，得， 把代入，得． 22. 如图，与相交于点F，，． （1）试判断与的位置关系，并说明理由． （2）若平分，，求的度数． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定方法和性质，是解题的关键． （1）对顶角相等，结合，推出，得到，进而得到，推出，即可得证； （2）角平分线的定义，求出，平行线的性质，得到，即可求出的度数． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 背景 为了迎接2023杭州亚运会，某班级开展知识竞赛活动，去咖啡店购买A、B两种款式的咖啡作为奖品． 素材1 若买10杯A款咖啡，15杯B款咖啡需230元；若买25杯A型咖啡，25杯B型咖啡需450元． 素材2 为了满足市场的需求，咖啡店推出每杯2元的加料服务，顾客在选完款式后可以自主选择加料或者不加料．小华恰好用了208元购买A、B两款咖啡，其中A款不加料的杯数是总杯数的． 问题解决 任务1 问A款咖啡和B款咖啡的销售单价各是多少元？ 任务2 在不加料的情况下，购买A、B两种款式的咖啡（两种都要），刚好花200元，问有几种购买方案？ 任务3 求小华购买的这两款咖啡，其中B型加料的咖啡买了多少杯（直接写出答案）？ 【答案】任务1：A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元；任务2：四种；任务3：6杯 【解析】 【分析】任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元，列出二元一次方程组，解方程组即可求解； 任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯，列出二元一次方程，可得，根据m，n均为正整数，即可求解； 任务3：设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料为b杯，则B的加料为杯，根据A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，可得总花费为：，即可得，根据，可得，问题随之得解． 【详解】解：任务1：设A型咖啡的每杯价格为x元，B型咖啡每杯价格为y元， 由题可知：， 解得：， 即A型咖啡的每杯价格为8元，B型咖啡每杯价格为10元； 任务2：设A型咖啡为m杯，B型咖啡为n杯， 则， ∴， ∵m，n均为正整数， ∴解得：，，，， 即有共有四种方案； 任务3：买了6杯 设A型不加料为a杯，总的杯数为3a杯，设A型的加料和B型的不加料共为b杯，则B的加料为杯， ∵A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元， ∴总花费为：， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∵a，b是整数， ∴，， ∴（杯）． 【点睛】本题主要考查了二元次一方程组的应用，以及根据题意解二元一次方程等知识，问题的难点是任务三，根据A型的加料和B型的不加料的价格均为每杯10元，列出总花费为：，是解答本题的关键． 24. 光线照射到镜面会产生反射现象，由光学知识，入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等，例如：在图1中，有． （1）如图2，已知镜子与镜子的夹角，请判断入射光线与反射光线的位置关系，并说明理由； （2）如图3，有一口井，已知入射光线与水平线的夹角为，问如何放置平面镜，可使反射光线正好垂直照射到井底？（即求与水平线的夹角） （3）如图4，直线上有两点A、C，分别引两条射线．，，射线分别绕A点，C点以3度/秒和1度/秒的速度同时逆时针转动，设时间为t秒，在射线转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得与平行？若存在，求出所有满足条件的时间t． 【答案】（1） 解：，理由如下： ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （2）当平面镜与水平线的夹角为或时，可使反射光线正好垂直照射到井底； （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）计算的值即可求解； （2）先计算，进一步得的值，根据入射光线与镜面的夹角与反射光线与镜面的夹角相等即可求解 ； （3）分类讨论即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∴当平面镜与水平线的夹角为或时，可使反射光线正好垂直照射到井底； 【小问3详解】 解：时，如图： 若，则 解得：； 时，如图： ，不满足题意； 时，如图： 不满足题意； 时，如图： 若，则 解得：； 综上所述：当或时，使得与平行 【点睛】本题以物理知识为背景，考查了平行线的判定与性质．熟记相关定理内容，掌握分类讨论思想是解题关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $