精品解析：陕西省西安市陕西师范大学附属中学2025-2026学年九年级上学期开学考数学试题

九年级上学期数学学科收心作业 （满分110分，时间100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，熟练掌握中心对称图形的定义是解答本题的关键． 根据中心对称图形的定义解答即可． 【详解】解：A、该图形不是中心对称图形，故A选项不符合题意； B、该图形是中心对称图形，故B选项符合题意； C、该图形不是中心对称图形，故C选项不符合题意； D、该图形不是中心对称图形，故D选项不符合题意； 故选：B． 2. 用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查的是反证法，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立． 【详解】解：用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设． 故选：A． 3. 如果，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：选项A：由，两边减得，故不成立，错误； 选项B：由，两边同乘，不等号方向不变，得，故不成立，错误； 选项C：由，两边同乘3得，再两边同减1得，故不成立，错误； 选项D：由，两边同乘，不等号方向改变，得，成立． 故选：D ． 4. 将方程配方变形后所得方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】把常数项移到等号的右边得，， 二次项系数化为，得， 配方，方程左右两边同时加上一次项系数一半的平方得，， 所以，即， 故选：． 5. 如图，在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定，根据矩形的判定定理及正方形的判定定理即可解答． 【详解】解：在中，， ∴四边形是矩形， A、当时，四边形是正方形，正确，故A不符合题意； B、当时，无法确定矩形就是正方形，故B符合题意； C、当时，矩形是正方形，正确，故C不符合题意； D、当时，则，，所以是正方形，正确，故D不符合题意； 故选：B． 6. 关于x的方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了方程的根和解一元二次方程，理解方程的根代入方程能使方程左右两边相等以及利用直接开平方法解一元二次方程是解题关键． 本题直接将方程的根代入方程后解一元二次方程即可求解． 【详解】解：将代入方程得：， ∴   故选： C． 7. 如图，在中，，相交于点，，为的中点，为的中点．若，则的长为（　　） A. 9 B. 9.5 C. 10 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，直角三角形斜边上的中线，连接，根据平行四边形的对边相等，对角线互相平分可得，，推得，根据等腰三角形底边上的中线和底边上的高重合，可得，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 【详解】解：连接，如图： ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在中，F为的中点， ∴． 故选：A． 8. 某县大力治理生态环境，发展生态旅游，吸引了全国各地的游客．2023年暑假，该县接待游客35万人次，2025年增长至86万人次．设这两年暑假，该县接待旅游人次的年平均增长率为，则可列方程（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，熟练掌握年平均增长率的计算方法是解题的关键．根据年平均增长率的概念，先求出2024年的游客人次，再求出2025年的游客人次，使其等于86万人次，从而列出方程． 【详解】解：由题意可得． 故选：C． 9. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】首先对原分式方程变形，其次解出分式方程的解，再根据分式方程解是非负数，最简公分母不为0，列不等式，求出公共的解集即可．本题考查分式方程的解、解一元一次不等式，掌握用含的式子表示方程的解，根据方程的解为非负数，，列不等式组是解题关键． 【详解】解：原分式方程可化为：， 去分母，得， 解得， 分式方程解是非负数， ，且， 的取值范围是：且， 故选：B 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查坐标与旋转，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质，得到、、、⋯、都是等腰直角三角形，分别求出，，，进而得，，，，抽象概括出相应的数字规律，进而得出结论即可． 【详解】解：将绕点O顺时针旋转得到，交x轴于点， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 同理可得：、、⋯、都是等腰直角三角形，，…， ∴，，，…， ∵， ∴点在第一象限，坐标为即， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 因式分解：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法和完全平方公式是解题的关键． 先提取公因式，再根据完全平方公式进行分解即可． 【详解】解： ． 12. 正十五边形其中一个内角的度数为________． 【答案】##156度 【解析】 【分析】由正多边形的外角和为且每个外角相等，先求出外角，再求出内角即可． 【详解】解：正十五边形的一个外角为：， ∴正十五边形中一个内角的度数为； 故答案为：． 【点睛】本题考查了正多边形的性质、外角和定理，掌握此性质与定理是关键． 13. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长为___________ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质等知识，先求出，，，再根据旋转得到，，，接着证明和是等边三角形，得到，，，最后证明，利用勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，，， ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴，，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵的中点是点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数（k为常数，且）和一次函数（m、n均为常数，且）的图象交于点，则关于x的一元一次不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式，从函数图象的角度看，通过比较两函数图象的高低，即比较两个函数值的大小得到对应的自变量的范围，从而确定不等式的解集．结合函数图象，写出直线在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：∵正比例函数（k为常数，且）和一次函数（m、n均为常数，且）的图象交于点， 根据函数图象可得，时，即的解集是 故答案为：． 15. 如图，已知，，，以，为边作平行四边形，连接，则的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接交于O，作于E，连接，由等腰三角形的性质得出，，由直角三角形的性质得出，由平行四边形的性质得出，，得出是的中位线，得出，由勾股定理得：，即可得出结果． 【详解】解：连接交于O，作于E，连接，如图所示： ∵，，， ∴，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的性质、勾股定理、三角形中位线定理、直角三角形的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质，证出是的中位线是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，点为边上一动点，连接，以为一边在左侧作等边，连接，当最短时，的长为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，在上方作等边三角形，交于，连接，过作交于，先证明，得到，当与重合时，最短，再根据直角三角形和勾股定理求出，， ，最后根据求解即可． 【详解】解：在上方作等边三角形，交于，连接，过作交于， 在矩形中，， ∴，，， ∵等边和， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴当与重合时，最短， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵中，，，， ∴ ∴（负值舍弃）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当与重合时，最短，此时； 故答案为：． 三、解答题（共7小题，计52分） 17. 解方程及不等式组 （1）解方程：； （2）解方程：； （3）解不等式组：． 【答案】（1）无解 （2）， （3） 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，解一元二次方程，解一元一次不等式组． （1）先两边都乘以，再解整式方程得出x的值，继而检验可得答案； （2）利用配方法解方程即可； （3）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到，确定不等式组的解集． 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ， 当时，， ∴是原方程的增根，原方程无解； 【小问2详解】 解：， ， ， ， ， ∴，； 【小问3详解】 解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴原不等式组的解为：． 18. 如图，求作菱形，使得点分别在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定和性质，先作的角平分线交于点，作线段的垂直平分线交于点，交于点，连接，，则，即四边形为菱形． 【详解】解：如图，四边形即为所求； 19. 先化简，再从中取一个数代入求值． 【答案】，当时，原式． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把括号里通分，再把除法转化为乘法，并把分子分母分解因式约分化简，最后把合适的所给字母的值代入计算． 【详解】解： ， 由题意：、、， 故a取1，当时， 原式． 20. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形． 【答案】 证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD，AB=CD， ∵CE=DC， ∴AB=EC，AB∥EC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴FA=FE，FB=FC， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴∠ABC=∠D， 又∵∠AFC=2∠D， ∴∠AFC=2∠ABC， ∵∠AFC=∠ABC+∠BAF， ∴∠ABC=∠BAF， ∴FA=FB， ∴FA=FE=FB=FC， ∴AE=BC， ∴四边形ABEC是矩形． 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AB∥CD，AB=CD，然后根据CE=DC，得到AB=EC，AB∥EC，利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得四边形ABEC是平行四边形；通过角的关系得出FA=FE=FB=FC，AE=BC，得证． 【详解】略 【点睛】此题考查的知识点是平行四边形的判定与性质及矩形的判定，熟练掌握和运用平行四边形的判定性质及矩形的判定是解题的关键． 21. 某影院放映《南京照相馆》，周末场观影人数是工作日场人数的倍．周末场人均票价比工作日场人均票价少10元，周末场和工作日场的票房收入均为6000元．求工作日场的观影人数是多少人？ 【答案】工作日场的观影人数是150人 【解析】 【分析】本题考查分式方程的实际应用，设工作日场的观影人数是x人，则周末场的观影人数是人，根据“周末场人均票价比工作日场人均票价少10元”列方程求解即可． 【详解】解：设工作日场的观影人数是x人，则周末场的观影人数是人， 根据题意列分式方程得：， 解得， 经检验是原方程的解，且符合题意， 即工作日场的观影人数是150人， 答：工作日场的观影人数是150人． 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），四边形ABCD是正方形． （1）填空：b＝　 　； （2）求点D的坐标； （3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 【答案】（1）3；（2）（7，4）；（3）存在，（﹣2，）或（，） 【解析】 【分析】（1）把（4,0）代入y＝﹣x+b即可求得b的值; （2）过点D作DE⊥x轴于点E，证明，即可求得AE和DE的长，则D的坐标即可求得; （3）分当OM=MB=BN=NO时；当OB=BN=NM=MO=3时两种情况进行讨论. 【详解】解：（1）把（4，0）代入y＝﹣x+b，得：﹣3+b＝0，解得：b＝3， 故答案是：3； （2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E， ∵正方形ABCD中，∠BAD＝90°， ∴∠1+∠2＝90°， 又∵Rt△OAB中，∠1+∠3＝90°， ∴∠1＝∠3， 在△OAB和△EDA中， ∴△OAB≌△EDA， ∴AE＝OB＝3，DE＝OA＝4， ∴OE＝4+3＝7， ∴点D的坐标为（7，4）； （3）存在． ①如图2，当OM＝MB＝BN＝NM时，四边形OMBN为菱形． 则MN在OB的中垂线上，则M的纵坐标是， 把y＝代入y＝﹣x+3中，得x＝2，即M的坐标是（2，）， 则点N的坐标为（﹣2，）． ②如图3，当OB＝BN＝NM＝MO＝3时，四边形BOMN为菱形． ∵ON⊥BM， ∴ON的解析式是y＝x． 根据题意得： 解得： 则点N的坐标为（， 综上所述，满足条件的点N的坐标为（﹣2，）或（． 【点睛】此题主要考查待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理，主要掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用. 23. （1）如图1，正方形的边长为4，对角线、相交于点是边上点（点不与、重合），将射线绕点逆时针旋转，所得射线与交于点，则四边形的面积为___________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点，将矩形绕着点旋转，与边相交于点．与边相交于点，连接，猜想之间的数量关系．并进行证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在直角中，，，，的顶点在边的中点处，，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，则的长度为___________cm． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）如图①中，证明即可解决问题． （2）延长交于，连接，，证明，得到，，再根据，得到，最后根据，得到； （3）根据在线段上和线段外分情况讨论，延长至，使，连接，，证明，得到，，结合得到，再证明，得到，即，最后根据中，，代入列方程求解即可． 【详解】解：（1）如图， ∵正方形的边长为4，对角线、相交于点， ∴，，， 由旋转得， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）如图1，延长交于，连接，， ∵矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴； （3）当在线段上时，如图，延长至，使，连接，， ∵在边的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵中，， ∴， 解得， ∴； 当在线段外时，如图，延长至，使，连接，， ∵在边的中点处， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵中，， ∴， 解得， ∴； 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，矩形的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型． 附加题 24. 如果关于的方程的两个实数根分别为那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了根的判别式，非负数的性质，以及配方法的应用，由方程有两个实数根，得到根的判别式的值大于等于0，列出关于的不等式，利用非负数的性质得到的值，确定出方程，求出方程的解，代入所求式子中计算即可求出值． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴ ， ∴， 代入方程得：， 解得：， 则． 故答案为：． 25. 如图，Rt中，，点、分别在边和上，，，则的最小值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，将问题进行转化是解题的关键；设，得出，，勾股定理表示出，转化为平面内一点到和点的距离的和，则当在线段上时，取得最小值，最小值为的长，即可求解． 【详解】解：设， ∵，， ∴，， ∴,， ∴， 即表示的点到和点的距离的和， 如图 ∴当在线段上时，取得最小值，最小值为的长为； 故答案为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级上学期数学学科收心作业 （满分110分，时间100分钟） 一、选择题（共10小题，每小题3分，计30分，每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 下列人工智能图标中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 用反证法证明命题“在中，若，则”，首先应假设（ ） A. B. C. D. 3. 如果，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 4. 将方程配方变形后所得方程正确的是（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，在中，．再添加一个条件，仍不能判定四边形是正方形的是（　　） A. B. C. D. 6. 关于x的方程的一个根是0，则a的值为（ ） A. 1 B. C. 1或 D. 7. 如图，在中，，相交于点，，为的中点，为的中点．若，则的长为（　　） A. 9 B. 9.5 C. 10 D. 6 8. 某县大力治理生态环境，发展生态旅游，吸引了全国各地的游客．2023年暑假，该县接待游客35万人次，2025年增长至86万人次．设这两年暑假，该县接待旅游人次的年平均增长率为，则可列方程（　　） A. B. C. D. 9. 已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ） A. B. 且 C. D. 且 10. 如图，在平面直角坐标系中，点A在y轴正半轴上，．将绕点O顺时针旋转得到，过点作交x轴于点；将绕点O顺时针旋转得到，过点作交y轴于点；…；按此规律循环下去，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 11. 因式分解：_____． 12. 正十五边形其中一个内角的度数为________． 13. 如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，取的中点，连接，则的长为___________ 14. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数（k为常数，且）和一次函数（m、n均为常数，且）的图象交于点，则关于x的一元一次不等式的解集是______． 15. 如图，已知，，，以，为边作平行四边形，连接，则的长为___________． 16. 如图，在矩形中，，点为边上一动点，连接，以为一边在左侧作等边，连接，当最短时，的长为___________． 三、解答题（共7小题，计52分） 17. 解方程及不等式组 （1）解方程：； （2）解方程：； （3）解不等式组：． 18. 如图，求作菱形，使得点分别在边上．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 先化简，再从中取一个数代入求值． 20. 如图，将平行四边形ABCD的边DC延长到点E，使CE＝DC，连结AE，交BC于点F，∠AFC＝2∠D，连结AC、BE．求证：四边形ABEC是矩形． 21. 某影院放映《南京照相馆》，周末场观影人数是工作日场人数的倍．周末场人均票价比工作日场人均票价少10元，周末场和工作日场的票房收入均为6000元．求工作日场的观影人数是多少人？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（4，0），四边形ABCD是正方形． （1）填空：b＝　 　； （2）求点D的坐标； （3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），试探索在x上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标． 23. （1）如图1，正方形的边长为4，对角线、相交于点是边上点（点不与、重合），将射线绕点逆时针旋转，所得射线与交于点，则四边形的面积为___________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的对角线的交点是矩形的一个顶点，将矩形绕着点旋转，与边相交于点．与边相交于点，连接，猜想之间的数量关系．并进行证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在直角中，，，，的顶点在边的中点处，，它的两条边和分别与直线相交于点可绕着点旋转，当时，则的长度为___________cm． 附加题 24. 如果关于的方程的两个实数根分别为那么的值为___________． 25. 如图，Rt中，，点、分别在边和上，，，则的最小值是___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $