精品解析： 安徽省合肥市庐江实验中学2024-2025学年七年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年安徽省合肥市庐江实验中学七年级（下） 期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 在实数，0，，中，最大的数是（　　） A. B. 0 C. D. 2. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（﹣3，2），则点P所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 下列调查适合做抽样调查的是（　　） A. 检查飞机零件的合格情况 B. 审核新编书稿中的错别字 C. 了解一批灯管的使用寿命 D. 调查某班同学的视力情况 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是方程的一个解，那么a的值是（　　） A. B. C. 1 D. 3 6. 如图，点O在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 8. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线 从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是 的延长线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，是一个 的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 10. 《国家节水行动方案》由国家发改委、水利部于2019年4月15日印发并实施，方案中提出：到2022年，全国用水总量控制在6700亿以内．小明根据国家统计局公布的2010﹣2022年全国用水总量（单位：亿）的有关数据绘制了如下统计图，并添加了一条靠近尽可能多散点的直线来表示用水量的发展趋势． 根据统计图信息，下列关于全国用水总量的推断不合理的是（　　） A. 《国家节水行动方案》提出的：到2022年，全国用水总量控制目标已经实现 B. 2010﹣2013年用水总量呈现上升趋势，2020﹣2022年用水总量也呈现上升趋势 C. 由2010﹣2022年用水总量的发展趋势，估计2023年用水总量约为5700亿 D. 由2020﹣2022年用水总量的发展趋势，估计2023年用水总量约为6100亿 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 要说明命题“若，则”是假命题，可举出反例“_____ ”． 12. 如图是1﹣4月份某商品每件的进价与售价的折线统计图，则该商品每件利润最小的是____月． 13. 若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值是___________． 14. 对于实数，我们定义如下运算：当时，则；当 时，则．例如：． ①若时，___________． ②若关于 的方程组满足，则此方程组的解为___________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 解方程组： 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知的立方根为，是的一个平方根，求 的平方根． 18. 解不等式组：并在数轴上表示它的解集． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，位置如图所示，且． （1）画出平面直角坐标系，写出点C的坐标； （2）平移，使点C移动到点． ①画出平移后的 ，其中点D与点A对应（不写画法）； ②若点在内，其平移后的对应点为，写出的坐标． 20. 如图，已知 ，互为补角，且．求证： ． 六、（本题满分12分） 21. 某学校在课外活动时间开展了“人工智能学习兴趣小组”，为了解学生学习情况，学校教科室负责人从兴趣小组内随机抽取了部分学生进行质量检测，并将其成绩（成绩为百分制，用x表示）分成如下四组：，，，．并绘制了频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知在70≤x<80这一组的学生质量检测成绩如下： 70，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次质量检测共抽取了多少名学生？ （2）成绩在这一组的有多少名学生？ （3）成绩在这一组的学生人数占总抽取人数的百分比是多少？ （4）成绩在这一组所对应扇形的圆心角是多少度？ 七、（本题满分12分） 22. 学校图书馆准备到书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，购买本文学名著和本动漫书共需元，购买本文学名著比购买本动漫书的费用少元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． （1）求每本文学名著和动漫书各多少元? （2）若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案? （3）在（）的条件下，若店家每出售一本文学名著盈利元，每出售一本动漫书盈利元，此时店家获得最大利润为元，则的值为_____（直接写出结果）． 八、（本题满分14分） 23. 一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． （1）如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； （2）如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使 ，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； （3）如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当 时，，请你直接写出除 外，其他所有可能的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年安徽省合肥市庐江实验中学七年级（下） 期末数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分）每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 在实数，0，，中，最大的数是（　　） A. B. 0 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小是解答本题的关键． 利用实数大小的比较方法：1、在数轴上表示的两个数，右边的总比左边的数大．2、正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数．3、两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小．按照从小到大的顺序排列找出结论即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴最大的数是：． 故选：C． 2. 在平面直角坐标系中，若点P的坐标为（﹣3，2），则点P所在的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用各象限内点的坐标特点分析得出答案． 【详解】解：∵点P的坐标为（﹣3，2），−3＜0， 2＞0， ∴点P在第二象限． 故选：B． 【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标特点，解决本题的关键是准确掌握平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的特点． 3. 下列调查适合做抽样调查的是（　　） A. 检查飞机零件的合格情况 B. 审核新编书稿中的错别字 C. 了解一批灯管的使用寿命 D. 调查某班同学的视力情况 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是抽样调查和全面调查，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查，此题据此求解即可． 【详解】解：A、检查飞机零件的合格情况，适合做全面调查，不符合题意； B、审核新编书稿中的错别字，适合做全面调查，不符合题意； C、了解一批灯管的使用寿命，适合做抽样调查，符合题意； D、调查某班同学的视力情况，适合做全面调查，不符合题意； 故选：C． 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】A、，说法错误，该选项不符合题意； B、，说法错误，该选项不符合题意； C、，说法错误，该选项不符合题意； D、说法正确，该选项符合题意． 故选：D 5. 已知是方程的一个解，那么a的值是（　　） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，牢记“把方程的解代入原方程，等式左右两边相等”是解题的关键． 将代入原方程，可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出a的值． 【详解】解：将代入原方程得：， 解得：， ∴a的值1． 故选：C． 6. 如图，点O在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，先根据垂直的定义求出，再根据平角的定义即可得到．求出是解题的关键． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 7. 成语“五雀六燕”出自中国古代数学名著《九章算术》第八卷《方程》中一道名题．原题为：“今有五雀、六燕，集称之衡，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”译文为：“今有5只雀、6只燕，分别聚集而且用衡器称之，聚在一起的雀重，燕轻．将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀、6只燕重量为1斤．问雀、燕每只各多重？”现设每只雀x斤，每只燕y斤，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据将一只雀、一只燕交换位置而放，重量相等可得，再根据5只雀、6只燕重量为1斤可得，由此即可得． 【详解】解：由题意，可列方程为， 故选：C． 【点睛】本题考查了列二元一次方程组，找准等量关系是解题关键． 8. 光从空气斜射入水中，传播方向会发生变化．如图，表示水面的直线与表示水底的直线平行，光线从空气射入水中，改变方向后射到水底G处，是的延长线，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是熟练掌握两直线平行同旁内角互补．根据，得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】解： ， ， ， ． 故选：A． 9. 如图，是一个 的正方形网格，每个小正方形的边长都为1个单位长度，点A，B，C，D均为格点（网格线的交点），建立如图的平面直角坐标系．如果m为任意常数，那么随m的变化，动点会经过的点是（　　） A. 点A B. 点B C. 点C D. 点D 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形性质，结合点P的坐标，得出点P在直线上，画出直线的图象，据此进行判断即可． 【详解】解：由题知， 因为点P坐标为， 所以点P在直线上． 如图所示， 显然随着m的变化，点P会经过点A． 故选：A． 10. 《国家节水行动方案》由国家发改委、水利部于2019年4月15日印发并实施，方案中提出：到2022年，全国用水总量控制在6700亿以内．小明根据国家统计局公布的2010﹣2022年全国用水总量（单位：亿）的有关数据绘制了如下统计图，并添加了一条靠近尽可能多散点的直线来表示用水量的发展趋势． 根据统计图信息，下列关于全国用水总量的推断不合理的是（　　） A. 《国家节水行动方案》提出的：到2022年，全国用水总量控制目标已经实现 B. 2010﹣2013年用水总量呈现上升趋势，2020﹣2022年用水总量也呈现上升趋势 C. 由2010﹣2022年用水总量的发展趋势，估计2023年用水总量约为5700亿 D. 由2020﹣2022年用水总量的发展趋势，估计2023年用水总量约为6100亿 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是折线统计图的运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图不但可以表示出数量的多少，而且能够清楚地表示出数量的增减变化情况．根据折线统计图提供的数据即可求解． 【详解】解：由题意可知： 《国家节水行动方案》提出的：到2022年，全国用水总量控制目标已经实现，故选项A 说法正确，不符合题意； 2010﹣2013年用水总量呈现上升趋势，2020﹣2022年用水总量也呈现上升趋势，故选项B说法正确，不符合题意； 由2010﹣2022年用水总量的发展趋势，估计2023年用水总量约为6100亿，故选项C原说法错误，符合题意，选项D说法正确，不符合题意． 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 要说明命题“若，则”是假命题，可举出反例“_____ ”． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是命题与定理，判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．根据实数的平方、假命题的概念解答． 【详解】解：当时，， 说明命题“若，则”是假命题， 故答案为：． 12. 如图是1﹣4月份某商品每件的进价与售价的折线统计图，则该商品每件利润最小的是____月． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，有理数大小的比较，正确的把握图象中的信息，理解利润售价进价是解题的关键． 根据利润售价进价和图象中给出的信息即可得到结论． 【详解】解：由图可知： 1月，利润是（元）； 2月，售价，进价是2，此时利润大于2（元）； 3月，售价小于4，进价是3，此时利润小于1（元）； 4月，利润是（元）； 综上3月份的利润小于1，最小， 故答案为：3． 13. 若关于的不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式，解一元一次方程等知识点，熟练掌握在数轴上表示不等式的解集以及一元一次不等式的解法是解题的关键． 由题图得不等式的解集为，解不等式得，因而，于是得解． 【详解】解：， 移项，得：， 解得：， 由题图得不等式的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 14. 对于实数，我们定义如下运算：当时，则；当 时，则．例如：． ①若时，___________． ②若关于 的方程组满足，则此方程组的解为___________． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查新定义运算及解二元一次方程组，正确理解新定义的运算法则，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题关键． ①先根据新定义的运算法则得出 ，再根据当 时，列方程计算即可得答案； ②先得出，，再分和两种情况，列方程组解答即可得答案． 【详解】解：①∵当时，； ∴， ∴当时，， ∵， ∴ ， ∵当 时，则， ∴， 解得：． 故答案为： ②∵， ∴，， ∴， 当时，， ∴原方程组为， 解得：， 当时，， ∴原方程组为， 解得：， 综上所述：方程组的解为或． 故答案为：或 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算，先根据算术平方根、立方根、二次根式的性质计算，再根据有理数的加减法则计算即可． 【详解】解： ． 16. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 已知的立方根为，是的一个平方根，求 的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平方根以及立方根，根据立方根、平方根的定义进行计算即可． 【详解】解：的立方根为，是的一个平方根， ， 解得， ， 的平方根为：． 18. 解不等式组：并在数轴上表示它的解集． 【答案】，见解析． 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，得到不等式组的解集，然后在数轴上表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：解不等式①，得 ， 解不等式②，得 ， 所以不等式组的解集为：， 在数轴上表示解集为： ， 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式组的解集，能根据不等式的解集求出不等式组的解集是解此题的关键． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 网格中每个小方格是边长为1个单位的小正方形，位置如图所示，且． （1）画出平面直角坐标系，写出点C的坐标； （2）平移，使点C移动到点． ①画出平移后的 ，其中点D与点A对应（不写画法）； ②若点在内，其平移后的对应点为，写出的坐标． 【答案】（1） 如图所示，建立平面直角坐标系． ∴点C的坐标； （2）①如图所示， 即为所求； ② 【解析】 【分析】本题主要考查平面直角坐标系的特点，图形的平移，掌握以上知识，数形结合分析是解题的关键． （1）根据点的坐标确定坐标系，由坐标系的特点可写出点的坐标； （2）①根据图形平移的方法作图即可； ②根据点平移规律“左减右加”即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，建立平面直角坐标系． ∴点C的坐标； 【小问2详解】 解：已知点，平移到点， ∴右移个单位，下移个单位， ①如图所示， 即为所求； ②的坐标为． 20. 如图，已知 ，互为补角，且．求证： ． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，可得 ，证明，结合，可得 ，从而可得结论． 【详解】证明：∵， ，互为补角， ∴， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ∴ ． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，同角的补角相等，熟记平行线的判定方法与性质是解本题的关键． 六、（本题满分12分） 21. 某学校在课外活动时间开展了“人工智能学习兴趣小组”，为了解学生学习情况，学校教科室负责人从兴趣小组内随机抽取了部分学生进行质量检测，并将其成绩（成绩为百分制，用x表示）分成如下四组：，，，．并绘制了频数分布直方图和扇形统计图，部分信息如下： 已知在70≤x<80这一组的学生质量检测成绩如下： 70，71，72，72，73，73，74，74，74，75，76，76，76，77，78． 请根据以上信息，完成下列问题： （1）本次质量检测共抽取了多少名学生？ （2）成绩在这一组的有多少名学生？ （3）成绩在这一组的学生人数占总抽取人数的百分比是多少？ （4）成绩在这一组所对应扇形的圆心角是多少度？ 【答案】（1）本次质量检测共抽取学生人数为50名 （2）成绩在这一组的学生人数为20名 （3）百分比是 （4）成绩在这一组所对应扇形的圆心角是 【解析】 【分析】本题考查的是频数分布直方图，掌握基础的统计知识是解本题的关键． （1）由的人数及其所占百分比可得总人数； （2）根据各组人数之和等于总人数可得这一组的学生人数； （3）用在这一组的学生人数除以总人数即可得出答案； （4）用乘成绩在这一组人数所占比例即可． 【小问1详解】 解：∵（名）， ∴本次质量检测共抽取学生人数为50名； 【小问2详解】 由题意，得成绩在这一组的学生有15名， ∵（名）， ∴成绩在这一组的学生人数为20名； 【小问3详解】 ∵， ∴成绩在这一组的学生人数占总抽取人数的百分比是； 【小问4详解】 ∵， ∴成绩在这一组所对应扇形的圆心角是． 七、（本题满分12分） 22. 学校图书馆准备到书店采购文学名著和动漫书两类图书，经了解，购买本文学名著和本动漫书共需元，购买本文学名著比购买本动漫书的费用少元（注：所采购的文学名著价格都一样，所采购的动漫书价格都一样）． （1）求每本文学名著和动漫书各多少元? （2）若学校要求购买文学名著比动漫书多本，动漫书和文学名著总数不低于本，总费用不超过元，请问有几种购书方案? （3）在（）的条件下，若店家每出售一本文学名著盈利元，每出售一本动漫书盈利元，此时店家获得最大利润为元，则的值为_____（直接写出结果）． 【答案】（1）每本文学名著元，每本动漫书元； （2）有种购书方案； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，读懂题意，列出方程组和不等式组是解题的关键． （）设每本文学名著元，每本动漫书元，根据题意得，然后解方程组即可； （）设动漫书购买本，则购买文学名著本，根据题意得，然后解不等式组即可； （）根据题意得店家获得的利润为，然后分 若即和若即两种情况分析即可． 【小问1详解】 解：设每本文学名著元，每本动漫书元， 根据题意得，， 解得：， 答：每本文学名著元，每本动漫书元； 【小问2详解】 解：设动漫书购买本，则购买文学名著本， 根据题意得，， 解得：， ∴可取的整数值为， ，，，，，， ∴有种购书方案； 【小问3详解】 解：根据题意得店家获得的利润为， 若即， 当时，利润最大， ∴，解得：， 若即， 当时，利润最大， ∴，解得：（不符合题意）， 综上可得，的值为， 故答案为：． 八、（本题满分14分） 23. 一副三角尺为我们用数学的眼光观察世界提供了一个小小的“窗口”．比如我们根据一副三角尺的不同位置摆放，可探究有关平行线的问题． 如图1是一副三角尺，． （1）如图2，将三角尺的顶点A与三角尺的顶点F重合，使点C落在的延长线上，与相交于点G，求的度数； （2）如图3，将三角尺的直角顶点C放在直线上，使 ，三角尺的顶点E在直线上，与相交于点P，求的度数； （3）如图4，将三角尺放置固定不动，改变三角尺的摆放位置，但始终保持两个三角尺的直角顶点C，F重合．当点A在直线的下方时，探究这两个三角尺有一组边互相平行的情况，比如当 时，，请你直接写出除 外，其他所有可能的度数． 【答案】（1） （2） （3） 或或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，三角板中角度的计算，掌握分类讨论是解题的关键． （1）过点G作，根据平行线的性质进行求解即可； （2）过点D作，根据 ，得出，根据平行线的性质进行求解即可； （3）分情况进行讨论：当，当，当，当，分别画出图形求出结果即可． 【小问1详解】 解：过点G作，如图， 依题意得， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 解：过点D作，如图， ∵ ， ∴， ∴， ∵，且 ， ∴ ； 【小问3详解】 解： 或或或 ， ①如图，当时， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时， ∵， ∴； ③如图，当时， ∵， ∴， ∴， ∴； ④如图，当时，设与交于点T， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上，其他所有可能的度数为 或或或 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $