精品解析：河南省信阳市羊山中学2024--2025学年八年级下学期期末数学试卷

2024-2025学年度八年级下期数学期末测试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分） 1. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ） A 2，3，4 B. C. ，， D. 1，， 4. 已知点，在一次函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 5. 一元二次方程的一根是，则另外一根是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确是（ ） A. 菱形的四个角都相等 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形为菱形 7. 如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，G，H分别为，的中点，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 5 8. 如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 9. 若kb＜0，b﹣k＞0，函数y＝kx+b与y＝bx+k在同一坐标系中的图象是（　　） A. B. C. D. 10. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，沿折线向点C匀速运动，过点P作对角线的垂线，交矩形的边于点Q．设点P运动的路程为x，的长为y，其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 二、填空题（共5小题，每题3分，满分15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 12. 如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是______． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 14. 如图，在中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作，连接，则的最小值为______． 15. 如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为_______． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）．（解方程） 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 18. 甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度y（）随时间x（秒） 变化的函数关系图象如图． （1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_________，加热到_________，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为_________： （2）当时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式； （3）直接写出当甲壶中水温刚好达到80时乙壶中的水温． 19. 如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． （1）求小凳子的高度； （2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 20. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 21. 某动物园在周年庆来临之际，推出、两种纪念章，已知每个种纪念章的进价比每个种纪念章的进价多4元；购进6件种纪念章和购进10件种纪念章的费用相同，且种纪念章售价为13元/个，种纪念章售价为8元/个． （1）每个种纪念章和每个种纪念章的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进、两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，且与直线m相交于点，已知直线m经过点，且与y轴交于点D． （1）求点A、B的坐标以及直线m的解析式； （2）若P为直线m上一动点， ①当时，求点P的坐标； ②在x轴上是否存在点Q，使得以点A、B、P、Q为顶点四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 23. 综合与实践 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形和菱形，其中，连接，．（菱形的位置不动，改变菱形的位置） 操作发现： （1）如图1，当边与重合时，直接写出与之间的数量关系． 探究发现： （2）将两个菱形纸片按如图2所示方式放置，其中点D在边上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓广探究： （3）创意小组的同学发现图1中的，，． ①求菱形边长（结果化为不含分母的形式，提示：）； ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A，B，F三点在同一条直线上时，连接，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度八年级下期数学期末测试卷 一、选择题（共10小题，每题3分，满分30分） 1. 下列式子中，最简二次根式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：①被开方数的因数不含完全平方数；②分母不含根号．逐一分析选项即可． 【详解】A．被开方数含有分母，不是最简二次根式； B．被开方数5无平方因数，且无分母根号，符合最简条件； C．被开方数4是完全平方数，可化简为2，不是最简； D．被开方数为小数，需进一步有理化，不是最简． 故选B． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项错误，不符合题意； D，选项正确，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了二次根式四则运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的四则运算法则． 3. 下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（ ） A. 2，3，4 B. C. ，， D. 1，， 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，掌握运用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形是解题的关键． 只要验证较小两边的平方和等于最长边的平方即可判断是直角三角形． 【详解】解：A、，不能构成直角三角形，故本选项不合题意； B、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； C、，不能构成直角三角形，故本选项不符合题意； D、，能构成直角三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 4. 已知点，在一次函数的图象上，若，则与的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】由，利用一次函数的性质可得出随的增大而减小，结合可得出． 【详解】解：∵， 随的增大而减小， 又点，在一次函数的图象上，且， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 5. 一元二次方程的一根是，则另外一根是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设另外一根是，根据根与系数关系得到，解得的值即可． 【详解】解：设另外一根是， 则由根与系数关系得到， ， 另外一根是， 故选：A． 【点睛】本题考查一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是正确理解一元二次方程的解的定义，本题属于基础题型． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 菱形的四个角都相等 B. 矩形的对角线相等 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线互相垂直的四边形为菱形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形和矩形的性质与判定，解题的关键是准确掌握菱形和矩形的相关性质及判定定理． 依次分析每个选项，根据菱形和矩形的性质及判定定理判断其正确性． 【详解】A、菱形的性质是四条边相等，对角相等，而不是四个角都相等，不符合题意； B、矩形的对角线相等，符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，不符合题意； D、对角线互相垂直的平行四边形为菱形，不符合题意． 故选：B． 7. 如图，矩形中，，，E为的中点，F为边上任意一点，G，H分别为，的中点，则的长是（ ） A. 6 B. 5.5 C. 6.5 D. 5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，关键是由三角形中位线定理推出，由勾股定理求出的长． 连接，由矩形的性质得到，由勾股定理求出，由三角形中位线定理得到． 【详解】 解：连接， ∵四边形是矩形， ， ，E为中点， ， ， ， ∵G，H分别为，中点， 是的中位线， ． 故选：D． 8. 如图，在△ABC中，BE，CF分别是AC，AB边上的高，M为BC的中点，EF＝5，BC＝8，则△EFM的周长是（ ） A. 12 B. 13 C. 15 D. 16 【答案】B 【解析】 9. 若kb＜0，b﹣k＞0，函数y＝kx+b与y＝bx+k在同一坐标系中的图象是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据kb＜0，b﹣k＞0，可以得到k、b的正负情况，从而可以得到函数y＝kx+b与y＝bx+k的图象经过哪几个象限． 【详解】解：∵kb＜0， ∴k、b异号， ∵b﹣k＞0， ∴b＞0，k＜0， ∴函数y＝kx+b的图象经过一、二、四象限，函数y＝bx+k的图象经过第一、三、四象限， 所以不符合题意，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查的是一次函数的性质，掌握利用一次函数的解析式判断一次函数经过哪些象限是解题的关键. 10. 如图1，在矩形中，点P从点A出发，沿折线向点C匀速运动，过点P作对角线的垂线，交矩形的边于点Q．设点P运动的路程为x，的长为y，其中y关于x的函数图象大致如图2所示，则m的值为（ ） A. 4 B. C. 8 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由点可得：当时，则，结合图象可得：，当时，重合，当时，重合，可得，如图，当时，重合，记的交点为，则，证明，此时，可得，，从而可得答案． 【详解】解：由点可得：当时，则， 结合图象可得：， 当时，重合，当时，重合， ∴，而， ∴， 如图，当时，重合，记的交点为，则， ∴， ∴，， 此时， ∴，， ∴，即， 故选B 【点睛】本题考查的是动态问题的函数图象，解直角三角形的应用，勾股定理的应用，矩形的性质，理解函数图象的含义是解本题的关键． 二、填空题（共5小题，每题3分，满分15分） 11. 若代数式有意义，则实数的取值范围是__________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分母不为0，掌握知识点是解题的关键． 根据被开方数大于等于0及分母不为0，列不等式求解即可． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得， ∴实数的取值范围是且． 12. 如图，阴影部分是两个正方形，其它部分是两个直角三角形和一个正方形，若右边的直角三角形中，，，则阴影部分的面积是______． 【答案】25 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理、正方形的性质，掌握如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么是解题的关键．根据勾股定理求出，根据正方形的性质得到，根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理得，， 四边形为正方形， ， 阴影部分的面积， 故答案为：25． 13. 关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．先根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：根据题意得， 解得， 即的取值范围是． 故答案为：． 14. 如图，在中，，，点在边上，连接，，以，为邻边作，连接，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形的性质可得BH=BC=2，CH=BH=2，由平行四边形的性质可得EF=2EO，当EO⊥AB时，EO有最小值为2，即可求解． 【详解】解：设EF与CD交于点O，过点C作CH⊥AB于H， ∵∠A=120°，CH⊥AB，BC=8， ∴∠B=60°， ∴∠BCH=30°， ∴BH=BC=2，CH=BH=2， ∵四边形ECFD是平行四边形， ∴EO=OF， ∴EF=2EO， 当EO⊥AB时，EO有最小值为2， ∴EF的最小值为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，掌握平行四边形的对角线互相平分是本题的关键． 15. 如图，在中， ，点E是边上一动点，将沿直线折叠，得到，设与交于点M，当与的一边垂直时，的长为_______． 【答案】2或6 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的判定与性质，解题的关键是熟知平行四边形的性质及折叠的特点．分和两种情况，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论． 【详解】解：如图1，当时， ∴， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平行四边形， ∴； 如图2，当时， ∵将沿翻折，得到， ∴， ∴，此时与点重合， ∵， ∴， ∴． 综合以上可得的长为2或6． 故答案为：2或6． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 计算： （1）； （2）．（解方程） 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式，零指数幂，负整数指数幂，二次根式的乘法运算，以及一元二次方程的求解，正确运算是解决本题的关键． （1）分别对式子中的各项进行化简，再进行计算． （2）将方程转化为完全平方形式，从而直接开平方求解． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解：， 由原方程移项，得， 等式两边同时加上一次项系数一半的平方． 得，即， ∴， ∴原方程的解是：，． 17. 为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动．在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下． 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题． （1）这六场比赛中，得分更稳定的队员是_________（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为________分． （2）请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好． （3）规定“综合得分”为：平均每场得分×1+平均每场篮板×1.5+平均每场失误，且综合得分越高表现越好．请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好． 【答案】（1）甲 29 （2）甲 （3）乙队员表现更好 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，统计表，中位数，加权平均数等知识，解题的关键是∶ （1）根据折线统计图的波动判断得分更稳定的球员，根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均每场得分以及得分的稳定性求解即可； （3）分别求出甲、乙的综合得分，然后判断即可． 【小问1详解】 解∶从比赛得分统计图可得，甲的得分上下波动幅度小于乙的得分上下波动幅度， ∴得分更稳定的队员是甲， 乙的得分按照从小到大排序为14，20，28，30，32，32，最中间两个数为28，30， ∴中位数为， 故答案为∶乙，29； 【小问2详解】 解∶ 因为甲的平均每场得分大于乙的平均每场得分，且甲的得分更稳定， 所以甲队员表现更好； 【小问3详解】 解∶甲的综合得分为， 乙的综合得分为， ∵， ∴乙队员表现更好． 18. 甲、乙两种恒温热水壶在加热相同质量水的时候，壶中水的温度y（）随时间x（秒） 变化的函数关系图象如图． （1）甲、乙两个水壶加热前水的温度都为_________，加热到_________，温度将恒定保温，甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为_________： （2）当时，求乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式； （3）直接写出当甲壶中水温刚好达到80时乙壶中的水温． 【答案】（1）20；80；1 （2） （3）当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为 【解析】 【分析】本题考查的是从函数图象中获取信息，一次函数的实际应用； （1）结合图象可得答案； （2）设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为，把，代入可得答案； （3）先求解当甲壶中水温刚好达到时，，再代入乙的函数解析式即可得到答案． 【小问1详解】 解：由函数图象可知，当时，， 则加热前水温是， 加热到，温度将恒定保温， 甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为 【小问2详解】 解：设乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为， 把，代入可得： ， 解得：， ∴乙壶中水温y关于加热时间x的函数表达式为． 【小问3详解】 解：∵甲壶中的水温在达到80之前每秒上升的温度为 ∴当甲壶中水温刚好达到时，， ∴， ∴当甲壶中水温刚好达到时，乙壶中的水温为． 19. 如图，地面上放着一个小凳子（与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，． （1）求小凳子的高度； （2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若，木杆比凳宽长，求小凳子宽和木杆的长度． 【答案】（1）． （2） 【解析】 【分析】（1）过A作垂直于墙面，垂足M，根据勾股定理解答即可； （2）延长交墙面于点N，根据勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：过A作垂直于墙面，垂足M， 根据题意可得，， 在中，， 即凳子的高度为． 【小问2详解】 解：延长交墙面于点N，可得， 设cm，则，，， 在中，，即， 解得，则． 【点睛】此题考查勾股定理的应用，解题的关键是根据勾股定理解答． 20. 如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）（1）根据题意结合角平分线定义，平行线性质推出，进而得到，再结合，推出，证明四边形为平行四边形，最后根据菱形的判定定理证明，即可解题； （2）利用直角三角形性质和菱形性质推出，进而得到，根据菱形性质得到，结合勾股定理求出，再根据菱形的面积为，建立等式求解，即可解题． 【小问1详解】 证明：在四边形中，， ， 平分， ， ， ， ， ， 四边形为平行四边形， ， 四边形是菱形； 【小问2详解】 解：四边形是菱形，对角线，交于点O， ，， ，， ，即有， ， ， ， 菱形的面积为， ， 解得． 【点睛】本题考查了角平分线定义，平行线性质，菱形的性质与判定，直角三角形性质，勾股定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 21. 某动物园在周年庆来临之际，推出、两种纪念章，已知每个种纪念章的进价比每个种纪念章的进价多4元；购进6件种纪念章和购进10件种纪念章的费用相同，且种纪念章售价为13元/个，种纪念章售价为8元/个． （1）每个种纪念章和每个种纪念章的进价分别是多少元？ （2）根据网上预约的情况，该园计划用不超过2800元的资金购进、两种纪念章共400个，这400个纪念章可以全部销售，选择哪种进货方案，该园获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）每个A种纪念章的进价为10元，每个B种纪念章的进价为6元； （2）该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进A纪念章100个，B纪念章300个，最大利润为900元． 【解析】 【分析】（1）设每个A种纪念章的进价为x元，则每个B种纪念章的进价为元，由等量关系列出方程即可求解； （2）设购进A种纪念章a个，则购进B种纪念章(400−a)个，利润为w元，由题意知，，利润，然后根据一次函数的性质求解即可． 小问1详解】 解：设每个A种纪念章的进价为x元，则每个B种纪念章的进价为元， 由题意得，， 解得：， ∴， 答：每个A种纪念品的进价为10元，每个B种纪念品的进价为6元； 【小问2详解】 解：设购进A种纪念章a个，则购进B种纪念章(400−a)个，利润为w元， 由题意知，， 解得，， ， ∵， ∴w随着a的增大而增大， ∴当时，w最大，值为900， ∴（个）， 答：该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进A纪念章100个，B纪念章300个，最大利润为900元． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式、不等式． 22. 如图，直线l：与x轴、y轴分别交于点A、B，且与直线m相交于点，已知直线m经过点，且与y轴交于点D． （1）求点A、B的坐标以及直线m的解析式； （2）若P为直线m上一动点， ①当时，求点P的坐标； ②在x轴上是否存在点Q，使得以点A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；； （2）①或；②存在；或或 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，一次函数面积问题，平行四边形的性质，解题的关键是数形结合，注意进行分类讨论． （1）分别令和求出点A、B的坐标，设直线的解析式为，代入，计算即可求出解析式； （2）①过作轴交于，利用铅锤法表示面积，根据列方程求解即可； ②分三种情况讨论：当为对角线时，当为对角线时，当为对角线时，根据中点坐标公式，进行求解即可． 【小问1详解】 解：令则； 令则， 解得：， ∴直线与轴、轴分别交于点、； 把代入得：， ∴， 设直线解析式为，代入，得： ， 解得：， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：①∵直线经过点，且与轴交于点， ∴， ∴，， ∵为直线上一动点， ∴设， 过作轴交于，则，， ∴ ∵， ∴， 整理得， 解得或， ∴或； ②存在；设，，、， 当为对角线时，根据中点坐标公式可知：， 解得：， ∴此时点Q的坐标为：； 当为对角线时，根据中点坐标公式可知：， 解得：， ∴此时点Q的坐标为：； 当为对角线时，根据中点坐标公式可知：， 解得：， ∴此时点Q的坐标为：； 综上分析可知：点Q的坐标为：或或． 23. 综合与实践 问题情境： 在数学实践课上，老师要求同学们将两个菱形纸片的一个顶点重合，分别记为菱形和菱形，其中，连接，．（菱形的位置不动，改变菱形的位置） 操作发现： （1）如图1，当边与重合时，直接写出与之间的数量关系． 探究发现： （2）将两个菱形纸片按如图2所示的方式放置，其中点D在边上，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 拓广探究： （3）创意小组的同学发现图1中的，，． ①求菱形的边长（结果化为不含分母的形式，提示：）； ②在放置两个菱形纸片的过程中，当A，B，F三点在同一条直线上时，连接，请直接写出的长． 【答案】（1）；（2）成立，证明见解析；（3）①；②6或 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质可得出，，再结合已知条件，即可证明，由全等的性质即可得出． （2）由(1)得∶，，再结合已知条件，即可得出，即可证明，由全等的性质即可得出． （3）①过点E作于点H，则，由已知条件得出，由含直角三角形的性质得出，由勾股定理得出，再由已知条件得出进一步即可得出，求出即可得出答案． ②连接，过点B作于点M，则，利用菱形的性质以及含直角三角形的性质得出，再结合①得出，然后分两种情况，当点G在线段上时， 当点G在射线上时，分别画出图形求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是菱形，四边形是菱形， ∴，， 在和中 ∴， ∴． （2）仍然成立，理由如下∶ 由(1)得∶，， 又， ∴ 即 在和中 ∴ ∴； （3）①如图，过点E作于点H，则． ∵， ∴， ∴． 在中，由勾股定理，得， ∵， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∴． ∴菱形的边长． ②如图，在菱形中， ，，连接 过点B作于点M，则 ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， ∴， ∴ 由①知菱形的边长为， ∴． 当A，B，F三点在同一条直线上时，易得A，G，C三点也在同一条直线上． 分两种情况∶ 当点G在线段上时， 当点G在射线上时，． 综上，长为6或． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，全等三角形的判定以及性质，含直角三角形的性质，勾股定理等知识，学会分类思想以及画出图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$