江西省部分学校2026届高三上学期8月大联考数学试题

高三数学考试参考答案 题序 10 11 12 13 14 答案 ABC BD AD y=2.x+1 √29 (】 评分细则： 【1】第1~8题，凡与答案不符的均不得分. 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分：第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分 【3】第12题的结果还可以写为2x一y十1=0. 【4】第13,14题，凡与答案不符的均不得分. 1.C【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养】 因为A={xx2-7x+10=0}={2,5},所以CA={0,3. 2.A【解析】本题考查复数的运算，考查数学运算的核心素养。 6i(2一i)=6十12i,其在复平面内对应的点位于第一象限. 3.D【解析】本题考查抛物线的概念，考查逻辑推理的核心素养 将抛物线的方程转化为：=名，可得它的焦点到它的准线的距离为2 4.B【解析】本题考查等比数列的概念，考查数学运算的核心素养 设{am}的公比为q,由a4as=8a1a2,可得q=8,解得q=√2（负根已舍去）. 5.D【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养。 由图可知，当x∈(-∞，x1)U(x4,十o∞)时，f(x)>0,当x∈(x1,x)时，f'(x)≤0，则f(x)在 (一∞，x1)和(x4,十o∞)上单调递增，在(x1,x1)上单调递减，从而f(x)的极小值点为x. 6.A【解析】本题考查统计，考查数据处理能力 设数据c12,4的平均数为，则mr十 m十k =a,整理得kz=ma十ka一m.r,故数据b1, b…,b,与数据c1c…,c:混合后的平均数为y十_ma十ka十y一mz n十k n十k 7.A【解析】本题考查立体几何的外接球，考查直观想象的核心素养。 不妨设圆柱与圆锥的底面半径为1，则由圆锥的轴截面为正三角形，可得圆柱与圆锥的高均 为原.设圆柱外接球的半径为R,圆锥外接球的半径为R2,则R=1+()》'-?,R 3-)+1P得R23,则3-R21 S24πR:16 8.B【解析】本题考查数列的综合，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 【高三数学·参考答案第1页（共8页）】 ·JX 由a+1一a2=2a+1-2an十n十1，可得(a+1-1)2=(an-1)2十n十1，则由累加法可得 a.-=a-1+23++n=1,则aDD=2日-设 2 1 (am-1)2 的前项和为5则5=21-十号十…+-)1从而 8m-名6器 9.ABC【解析】本题考查三角函数的图象与性质，考查逻辑推理的核心素养 由题可知，(x)的最小正周期为受=，A正确，因为2×登十骨=受，所以：)的图象关于 直线x=对称B正确由登<x<0,可得-受<2+<号则了x)在(-登0)上单 调递增，C正确.f(x-)=sin(2x-）:sin[2×(-)-]=-1≠0，D不正确， 10.BD【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算与逻辑推理的核心素养 (x十）广”展开式的通项T+1=Cx“,(x十)”展开式的通项T+1=Cx.因为(x +)”-(x+）广”的展开式中存在含x2的项，所以m-3r=2或n一2k=2,即n=3r+2或 n=2k十2，其中r,k∈N,且C≠C.经检验知，当n=2时，C=C=1,不符合题意.故选BD 11.AD【解析】本题考查抽象函数的性质，考查逻辑推理的核心素养， 因为f)=}=-8与-3.所以)+f(--6)=-4fx的 x十3 图象关于点(-3，-2)对称，A正确.f(x)=f1(x)=-2-)+3=-2 1 -3-1 1 一2 2+33 x+2因为x≠-3，且x≠-2，所以-3-2∈(-0，-3)U (-3,-2)U(-2,十∞)，B不正确.f3(x)=f1(f2(x)=-2- 1 =x(x≠ -3-1 +2+3 -3.且x≠-2.则f)=f5》=-2-3=f)x≠-3且≠-2，则 f22s(x)=f3(x),从而f2gs(0)=f3(0)=0,C不正确.g(x)=f1(x)十f2(x)十fs(x)= 5-3干2十x(x≠-3，且x≠-2.令h(x)=x+3十2·易知()在 （-,-3》.(一3，-2》和(-2，十)止单调递增因为h(-40=-8<06(-9)=是 0,h(-)=-号<0，h(-）=是>0h0)=-吾<0，h(1)=是>0，所以存在 5 【高三数学·参考答案第2页（共8页）】 ·JX· ∈(-4，一)：∈(-号，-），∈0.1.使得h)=h(x,)=6,)=0,则存在 x1<x2<xa,使得g(x1)=g(x2)=g(x3)=-5,D正确. 12.y=2x十1【解析】本题考查导数的几何意义，考查数学运算的核心素养 由y=x+e,可得y'=1十e.当x=0时，y=1,y'=2,则曲线y=x十e在x=0处的切线 方程为y=2x十1. 13.√29【解析】本题考查平面向量的应用，考查数学建模与直观想 象的核心素养。 如图，由题可知当马在点B处时，它走一步可以到点B,或B2或 拟摆这的 B处，得到的所有向量为BB,BB,BB.以B为坐标原点，建 立平面直角坐标系，则BB,=(一2，一1)，BB,=(-2,1),BB B (-1,2),则|BB+BB2+BB2=√29 14.(0,】]【解析】本题考查椭圆的性质，考查逻辑推理的核心素养。 由邀可知.M后.No分.由O+O=4,可得算+ 4 +P=4.因为P(m,m)是 C上的点，所以件+n=1,则=1又>0，所以1=1.设0到1的距离为d,则d ,则d=1 1 √m2+n m2+n2 1+3 一.由0<m2<4,可得4<d<1.AB=21-d,则 Saae= 21AB·d=Va-d5=√-(d-2）厂+，所以Sas∈(0，] 15.【解析】本题考查解三角形，考查数学运算与逻辑推理的核心素养。 解：(1)因为3a-3 bcos C=c,所以3sinA-3 sin Bcos C=sinC. …1分 又sinA=sin(B十C)=sin Bcos C十cos Bsin C,…3分 所以3sinA一3 sin Bcos C=3 cos Bsin C=sinC.…4分 因为5mC≠0，所以30sB=1,则cosB=子 …5分 (2)由1)可知，simB=√1-cosB=2y2 0404004040444年44年04年44年04044400年400年年 6分 则△ABC的面积S= 2 acsin B=V② 3ac=32, …8分 则a0=9。…9分 由余弦定理得b2=a2+c2-2 accos B=a2+c2-名 3ac≥2ac- 3ac=12,…11分 当且仅当a=C=3时，等号成立，…12分 【高三数学·参考答案第3页（共8页）】 ·JX· 从而b≥23，即b的最小值为2√3. o....... 13分 评分细则： 【1】第(1)问只要写了sinA=sin(B十C),就给1分. 【2】第(1)问若没强调sinC≠0，不扣分. 【3】第(2)问面积公式写对，得1分：余弦定理写对，得1分：基本不等式未写取等条件，扣 1分 16.【解析】本题考查随机变量的分布列与期望，考查数学运算与逻辑推理的核心素养， 解：(1)由摸出的红球个数比黄球个数多，可知摸出的球可能为3个红球，可能为2个红球和 1个黄球（或1个绿球），可能为1个红球和2个绿球，…1分 C1 其中摸出3个红球的概率为。一5， …2分 号C12 摸出2个红球和1个黄球（或1个绿球）的概率为 35 …4分 CC号3 摸出1个红球和2个绿球的概率为 C 35 …5分 1+12316 故摸出的红球个数比黄球个数多的概率为5十35十35一35 …7分 (2)由题可知，X的所有可能取值为1,2,3，…8分 P(X=1)= 35P(X=2)= CC+2CC P(X=3)=CCC12 22 C C 35 …11分 则X的分布列为 X 1 2 3 P 22 2 3 3 3 12分 E0X)=1+2x号+3×号- 000004+000+0.000004000000404000+044400004.040.0004.400+00+ 15分 评分细则： 【1】第(1)问直接写“所求概率为 +cc+cC+CC-0,不扣分 C 【2】第(2)问中，P(X=1),P(X=2),P(X=3)每算对1个，得1分 17.【解析】本题考查直线与双曲线的综合，考查数学运算与逻辑推理的核心素养 (1)解：由OA|=|AF1,可得a=c一a=1,即c=2a=2,…2分 则b2=c2一a2=3,…3分 所以C的方程为x2一 =1.…4分 3 (2)证明：由题可知，l的斜率不为0，…5分 【高三数学·参考答案第4页（共8页）】 ·JX 可设I的方程为x=ty十2，M(x1y1),N(x2y2). …分 x=y+2, x2-号=.可得(32-1Dy+12y+9=0. 由 …7分 3 12t 9 则32-1≠0y1十y=3二-1yy:=32-了 …9分 由题可知B(-1,0),则BM=(x1十1，y1),BN=(x2十1，y2),…10分 BM.BN=(x1+1)(x2+1)十y1y2=(y1十3)(y2十3)十y1y2…11分 =(+1)y1+3(y+y2)+9=96+D_360 312-1312-1 十9=0，…14分 所以BM⊥BN.…15分 评分细则： 【1】第(1)问求出a=1,得1分：求出c=2,得1分 【2】第(2)问也可按如下方法作答： 若l的斜率不存在，则可得M(2,3),N(2,一3).由题可知B(一1,0)，…5分 则BM=(3,3),BN=(3,-3),BM·BV=9-9=0,则BM⊥BN.…7分 若L的斜率存在，则可设I的方程为y=k(x一2)，M(x1y1),N(x2y2). y=k(x-2), 由 x-=1 可得(3一k2)x2十4k2x一4k2一3=0，…8分 3 则3-k2≠0，x1十x= 4k2 4k2+3 3-k2x1x2= 3一k2· …10分 BM=(x1+1,y1),BN=(x2十1，y2),则BM·BV=(x1+1)(x2+1)+y1y2=(x1+1)· (x2+1)+k2(x1-2)(x2-2) …11分 =(1+k2).x1.x2+(1-2k2)(x1+x2)+1十4k2 …12分 =1+k3)(-4k2-3)-4h0-2k2)+(3-)1+4k2)=0, 3-k9 …14分 所以BM1BN.…15分 18.【解析】本题考查立体几何，考查直观想象与逻辑推理的核心素养。 (1)证明：如图，延长PM,与AB交于点N,则N为AB 的中点…1分 取CD的中点S,连接NS,PS.在正四棱锥P-ABCD 中，由PA=√3，AB=2,N为AB的中点，S为CD的中 点，可得PN=PS=√2，NS=2,…2分 则PN+PS2=VS2,从而PN⊥PS.…3分 由PN⊥AB,AB/CD,可得PN⊥CD.…4分 【高三数学·参考答案第5页（共8页）】 ·JX 因为PS∩CD=S,所以PN⊥平面PCD,即PM⊥平面PCD.…5分 (2)解：取NS的中点O,连接OP,则OP⊥平面ABCD.…6分 OP=√PN2-O八N7=1,…7分 连接NC.ND,则Vm=Vrm=Sam·OP= 3 2×2X2X1=2 …8分 4 因为M为△PAB的重心，所以VMD= 3 ，…9分 (3)解：连接MS,易得MS⊥CD,则旋转过程中，当MS⊥平面QCD时，点M到平面QCD 的距离最大。… 10分 以S为坐标原点，DC所在直线为x轴，NS所在直线为y轴，建立如图所示的空间直角坐 标系.连接QS.设∠QSy=a,则S(0,0,0),C(1,0,0),Q(0,W2 cos a,2sina),P(0,-1, …11分 则SC=(1,0.0),S=(02cosa2sina).5di=(0,-号，3），PG=(0,1+2cosa, 一1十√2$ina).…12分 由MS⊥平面QCD,可得 文s7=0则52。 SQ SM=0, 3cosa十3sina=0,…13分 解得sina= 526 26 …】4分 26 -,cos a= 26 由1)可知平面PCD的一个法向量为Pi=(0一号一 …15分 2v2 3√26 IPQ PM 3 (cos a+sin a) 13 则sin0= …16分 PQPM 22 8√13 3 ·√4+2W2(cosa-sina) 13 18 13 13+2W13 所以sin0= 26 17分 4 8V/13 13 评分细则： 【1】第(1)问也可以通过证明PN⊥PC,PN⊥PD证得. 【I第(2同还可以这样解答：Vm=号PM,Sm=号×号PNX号CDXPS=-号× 1 PN:XAB-9 【3】第(3)问中，C,Q,P,M四点坐标每写对一个得0.5分. 【4】第(3)问若在其他位置建系或用其他方法解答，按步骤酌情给分. 【高三数学·参考答案第6页（共8页）】 ·JX· 19.【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养 i证明：由a=0.得f化x)=an-,则了x)=o一1=amx>0在(0，》上桓成 立，…2分 则f(x)在(0，）上单调递增.…3分 故x∈(0，)，f(x)>f(0)=0. …4分 (2)解：由f(x)=tanx-x一ax',得'(x)=tan2x-3ax2.因为f(x)在(0,2)上单调递 增，所以f'(x)≥0在(0，)上恒成立. …5分 当a≤3时，f'(x)=tanx-3ar≥tamx-z2,由1)可知，tanx>x在(0，)上恒成立， 则tanx>x2在(0，)上恒成立，即f'(x)>0在(0，)上恒成立，从而f(x)在(0，)上 单调递增，符合题意。…6分 当a>3时，f'(x)=tan2x-3ax=(tanx+V3ax)(tanx-√3ax),显然tanx+V3ax> 0在(0，牙)上恒成立.… 7分 令g(x)=tanx-√3ax,则g'(x)=tanx十1-一√3a,显然g'（(x)在(0，)上单调递增 00000000000000000000000000000000000000500040000000004000000400000000000440.8 由a>3,得1-√3a<0,则存在x∈(0，受），使得g(r)=0,则当x∈(0，x)时，g'(x) <0,g(x)单调递减，当x∈(xo,)时，g'(x)>0,g(x)单调递增，从而当x∈(0，xo)时， g(x)<g(0)=0,则f'(x)<0,从而f(x)在(0，x)上单调递减，不符合题意.…9分 综上所述，a的最大值为行 …10分 (3)证明：由(2)可知，当a=3时，f(x)在(0,2)上单调递增，且f(0)=0,…1分 则amx一x-名>0在(0，受)上恒成立. …12分 由k∈N,可得∈0,1(o,受)， 13分 11、1 1工、1 则an方一>3则√an方>3=3· …14分 【高三数学·参考答案第7页（共8页）】 ·JX· 令A)-n1+0<≤，则)-1-千>0，h)在0,1止单调通 增，从而h(x)>h(0)=0,即x>n(1+x)在(0,1]上恒成立，故石>n(1+)对任意的为 ∈N恒成立. 15分 …16分 。1工 川an3备 ln(n十1) In(n+1) na+-D-hx+lna-nda-i》++lh2-hn9na+i》-h门 3 In(n1) n(n+1) 3 …17分 评分细则： 【】第)问对f(x)求导正确，得1分：判断出f'(x)>0在(0，乏)上恒成立，得1分。 【2】第(2)问还可以用分离变量的方法求解，过程如下： 由题可知f(x)=amx-3ax≥0在(0，）上恒成立，则3a≤(n)在(0，)上恒成 立.…5分 令g(x)=anr,则g'(x)=二sincos (xcos x)? …6分 因为x>sinx>sin xcos在(0,2)上恒成立，所以g'(x)>0在(0，)上恒成立， 所以g(x)在(0，)上单调递增。 …7分 当x→0时，tanx→0， cos'r 由洛必达法则，得lim tan z =lim (tan x)' =lim =1,…8分 则mgx炉=1.从而3a<1,即a<号 …9分 故a的最大值为3 …10分 【高三数学·参考答案第8页（共8页）】 ·JX绝密★启用前 高三数学考试 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的 1.已知全集U={0,2,3,5},集合A={xx2-7x十10=0}，则CA= A.{2.5} B.{2,3 C.{0,3} D.{0,5 2.复数6i(2一i)在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.抛物线y=6x2的焦点到它的准线的距离为 A.3 B号 Co D.12 4.在正项等比数列{an)中，aas=8a1a2,则{a.}的公比为 A.2 B.√2 C.2 n号 5.已知函数f(x)的导函数为f(x),若函数f'(x)的图象如图所 示，则f(x)的极小值点为 A.zi B.0 C.x或x D.x4 6.已知数据a1,a2,…,am的平均数为x,数据b1,b2,…,bn的平均数为y,若数据c1,c2,…,c 与数据a1,a2,…,am混合后的平均数为a,则数据b1,b2…,b。与数据c1,c2,c。混合后 的平均数为 A.ma+ka十ny-mz B.ma十y十mz-ka n十 n十k C,ma+ka十mr-y D.a十y十mx-me n十k n十k 【高三数学第1页（共4页）】 ·JX· 7.已知圆柱与圆锥的底面半径相等，高相等，且圆锥的轴截面为正三角形，记圆柱外接球的表面 积为5，圆锥外接球的表面积为5，则 器 C② 4 D②T 2 1 8.在数列{a.}中，a1=2,且a+1一a=2a.+1一2am十n十1，则数列 (am-1)2/ 的前2025项 和为 A2025 ·2026 03 c 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知函数fx)=in(2x+),则 A.f(x)的最小正周期为元 Bf(x)的图象关于直线x=B对称 Cfc)在（一受o)上单调递增 D.f(x-开)的一个零点为x=-石 10.若(x+)广-(x+)广(n∈N)的展开式中存在含r'的项，则n的值可能是 A.2 B.11 C.15 D.20 11.已知函数f(x)=一 2x+7 x+3 x≠-3)，f+1(x)=f1(f(x)(x≠-3，且x≠一2，n∈N),则 A.f(x)的图象是中心对称图形 B.f2(x)的值域为（一o∞，一3）U(一3，十∞) cfeo=号 D.当函数g(x)=f1(x)十f2(x)十f(x)时，存在x1<x2<x,使得g(x1)=g(x2) g(.xa)=-5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.曲线y=x+e在x=0处的切线方程为▲ 13.中国象棋中规定：马走“日”字.中国象棋的棋盘如图所示，若马在点 A处，则走一步可到点A1或A2处，得到向量AA1或AA2,记棋 盘的每一格为一个单位长度，当马在点B处时，它走一步所得到的 裂冠过封 所有向量之和的模为 【高三数学第2页（共4页）】 ·JX· 14已知O为坐标原点，Pm,m)是椭圆C,于+y°-1上异于顶点的动点，圆O:r+y少°=1与 直线1：mr+y=t交于A,B两点，l与x轴、y轴分别交于M,N两点，且OMT十1ON =4,则△OAB面积的取值范围为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且3a一3 beos C=c. (1)求cosB: (2)若△ABC的面积为3√2，求b的最小值. 16.(15分) 一个不透明的口袋中装有3个红球、2个黄球和2个绿球，这些球除颜色外其他完全相同， 现从这个口袋中一次性地摸出3个球. (1)求摸出的红球个数比黄球个数多的概率： (2)记摸出的球的颜色种类为X,求X的分布列与期望. 17.(15分) 已知双曲线C:5-茶1(@>0.b>0)的右焦点为F,右顶点为A,O为坐标原点，且1OA =|AF1=1. (1)求C的方程： (2)过点F的直线l与C的右支交于M,N两点，记C的左顶点为B,证明：BM⊥BN. 【高三数学第3页（共4页）】 ·JX· 18.(17分) 如图，在正四棱锥P-ABCD中，PA=√3，AB=2,M为△PAB的重心 (1)证明：PM⊥平面PCD. (2)求三棱锥M-PCD的体积. (3)将△PCD绕着CD在平面ABCD的同侧旋转，使得点P到达点Q的位置.当点M到平 面QCD的距离最大时，记PQ与平面PCD所成的角为0，求sin0的值. 19.(17分) 已知函数f(x)=tanx一x一ax. (1)当a=0时，证明：x∈(0，)f(x)>0. (2)若f(x)在(0，)上单调递增，求a的最大值. m、酒 11 (3)证明：Hn∈N ln(n十1)3 【高三数学第4页（共4页）】 ·JX·