精品解析：陕西省渭南市华州区2023-2024学年九年级上学期数学期末考试卷

试卷类型：A 华州区2023~2024学年度上学期期末教学质量检测 九年级数学试题（卷） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，共有三道大题（26道小题），总分120分，考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．答作图题时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每题只有一个选项符合题意） 1. 下列三角函数的值是1的是（ ） A. B. C. D. 2. 小亮观察下边的两个物体，得到的俯视图是(　　) A. B. C D. 3. 如图，已知，交、、于点A、B、C，交、、于点D、E、F，，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 26 4. 已知y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值，则表中“▲”处的数为（ ） x 2.5 y 1 ▲ A. B. C. 1.5 D. 2 5. 如图，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 6. 下面四个图中反比例函数表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 如图，在中，点D，E分别在，上，且，四边形的面积是面积的3倍．若，则的长为（　　） A. 10 B. 15 C. 20 D. 24 8. 将抛物线向左平移8个单位，平移后抛物线对称轴为直线，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若一元二次方程配方后为，则_________． 10. 点，均在二次函数的图象上，则，的大小关系是_____． 11. 如图，平面直角坐标系中，一点光源位于，线段BC的两个端点坐标分别为与，则线段在x轴上的影子的长度为______． 12. 如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的对称中心为点M．已知反比例函数的图像经过点M，则该反比例函数的表达式为______． 13. 如图，在梯形中，，，，．过点作于点，，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当四边形的面积最大时，则的长为_____． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 解方程：． 15. 计算：． 16. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 18. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点和原点都在单位长度为1的正方形网格的格点上． （1）以点为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点、、的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点的右侧； （2）在（1）的情况下，直接写出和的周长比． 19. 如图，在中，是边上高，，，． （1）求的值； （2）求的面积． 20. 已知抛物线与x轴的交点是，，经过点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）设该抛物线的顶点为M，求的面积． 21. 随着经济的发展和科技的进步，支付方式也在发生变化．多样的支付方式便利了人们的生活，提升了人们的生活品质，也改变了人们的消费观念和习惯，是人们幸福指数提高的有力见证．目前常见的支付方式有：现金支付、刷卡支付、扫码支付、数字人民币支付（分别用A，B，C，D表示）．若小明和小华两人在购物时，选择以上四种支付方式的可能性相同． （1）求小明采用“扫码支付”的概率； （2）请通过列表或画树状图的方法，求小明和小华采用同一种支付方式的概率． 22. 某商场经销A玩具，购进时的单价是60元．根据市场调查，销售单价定为80元时，每天可以卖出200件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出20件．求销售单价定为多少时，顾客得到优惠，且该商场每天销售A玩具可以获利4000元． 23. 研究发现：初中生在数学课上注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图像如图所示． （1）求反比例图数的表达式，并求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上从第10分钟开始讲解一道数学综合题，讲解这道题需要15分钟，当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到多少? 24. 如图，在阳光明媚的一天，亮亮和同伴想测量一个亭子的高度，在某一时刻，亭子顶端的影子位于点处，亮亮站在点处，同—时刻，他的影长为3米，他在点处测得亭子顶端的仰角为，已知亮亮的身高米，米，于点，于点，且点在同一条水平直线上，求亭子的高．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 25. 某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心水平距离为1m的点处达到最大高度3m，水柱落地点到水池中心的水平距离为3m，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）写出点、的坐标； （2）求水柱所在抛物线对应的函数表达式； （3）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？ 26. 【问题背景】 已知点在内，，，，． 【初步探究】 （1）如图1，连接，当时， ①求证：； ②求的值． 【深入探究】 （2）如图2，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 试卷类型：A 华州区2023~2024学年度上学期期末教学质量检测 九年级数学试题（卷） 注意事项： 1．本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，共有三道大题（26道小题），总分120分，考试时间120分钟． 2．领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3．请在答题卡上各题的指定区域内作答，否则作答无效． 4．答作图题时，先用铅笔作图，再用规定的签字笔描黑． 5．考试结束，本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分，每题只有一个选项符合题意） 1. 下列三角函数的值是1的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，涉及特殊角的正弦值、特殊角的余弦值和特殊角的正切值，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意； 故选：D． 2. 小亮观察下边的两个物体，得到的俯视图是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可． 【详解】解：从上面看是左边一个圆和里面圆心一点， 右边是一个矩形. 故选：A． 【点睛】本题考查了三视图的知识，解题的关键是掌握俯视图是从物体的上面看得到的视图． 3 如图，已知，交、、于点A、B、C，交、、于点D、E、F，，，则（ ） A. 12 B. 18 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查平行线分线段成比例，根据，可得，从而即可得解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴． 故选：C． 4. 已知y是x的反比例函数，下表给出了x与y的一些值，则表中“▲”处的数为（ ） x 2.5 y 1 ▲ A. B. C. 1.5 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的点的特征，先待定系数法求出值，再把代入计算，即可作答． 【详解】解：∵y是x的反比例函数 ∴设 则代入 得 故 把代入， 得 故选：A 5. 如图，要测量小河两岸相对两点P，A的距离，可以在小河边取的垂线上的一点C，测得米，，则小河宽等于（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，根据进行求解是解题的关键． 【详解】解：在中，， ∴， 故选C． 6. 下面四个图中反比例函数的表达式均为，则阴影部分的图形的面积为3的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据反比例函数比例系数k的几何意义，反比例函数的性质以及三角形的面积公式，分别求出四个图形中阴影部分的面积，即可求解． 【详解】解：第1个图中，阴影面积为3，故符合题意； 第2个图中，阴影面积为，故不符合题意； 第3个图中，阴影面积为，故符合题意； 第4个图中，阴影面积为，故符合题意； 故选：B． 【点睛】本题考查了反比例函数中k的几何意义，即过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得矩形面积为|k|，是经常考查的一个知识点；这里体现了数形结合的思想，解此类题一定要正确理解k的几何意义．也考查了反比例函数的对称性，三角形的面积． 7. 如图，在中，点D，E分别在，上，且，四边形的面积是面积的3倍．若，则的长为（　　） A. 10 B. 15 C. 20 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】证明，利用面积比等于相似比的平方，求出相似比，进而求出的长即可． 【详解】解：∵四边形的面积是面积的3倍， ∴的面积是面积的4倍， ∵，， ∴， ∵的面积是面积的4倍， ∴， ∴； 故选A． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质．熟练掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． 8. 将抛物线向左平移8个单位，平移后的抛物线对称轴为直线，则平移后的抛物线与y轴的交点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，根据题意和图象的平移“左加右减”得平移后的抛物线解析式为：，根据平移后的抛物线对称轴为直线，计算得，则平移后的抛物线解析式为：，在中，令，则，即可得，掌握图象的平移，二次函数图象的性质是解题的关键． 【详解】解：， ∵将抛物线向左平移8个单位， ∴平移后的抛物线解析式为：， ∵平移后的抛物线对称轴为直线， ∴， ， ∴平移后的抛物线解析式为：， 在中，令，则， ∴平移后的抛物线与y轴的交点坐标为， 故选：A． 第二部分（非选择题共96分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若一元二次方程配方后为，则_________． 【答案】3 【解析】 【分析】题目主要考查一元二次方程的配方法及求代数式的值，将配方后的方程展开是解题关键． 将配方后的方程化为一般形式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程配方后为， ∴ ∴， 故答案为：3． 10. 点，均在二次函数的图象上，则，的大小关系是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向下，根据函数图象上的点离对称轴的水平距离越近，函数值越大，可判断的大小关系． 【详解】解：∵，， ∴对称轴为直线，开口向下， ∵，， ∴． 故答案为：． 11. 如图，平面直角坐标系中，一点光源位于，线段BC的两个端点坐标分别为与，则线段在x轴上的影子的长度为______． 【答案】4 【解析】 【分析】过A作，交的延长线于D，可知，运用相似三角形的性质即可求解． 【详解】如图：过A作，交的延长线于D， 由题意可知： ， 即：，，， 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例及相似三角形的性质；灵活运用平行线分线段成比例是解题的关键． 12. 如图，正方形的顶点A，B在x轴上，点，正方形的对称中心为点M．已知反比例函数的图像经过点M，则该反比例函数的表达式为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式、正方形的性质等知识点，确定点M的坐标是解题的关键． 先根据坐标与图形得到，然后根据中点坐标公式确定点M的坐标，然后运用待定系数法即可解答． 【详解】解：∵正方形的顶点A，B在x轴上，点， ∴， ∴点M的坐标为，即， ∴，即， ∴． 故答案为． 13. 如图，在梯形中，，，，．过点作于点，，将沿直线折叠，使点落在点处，交于点．当四边形的面积最大时，则的长为_____． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查二次函数与几何综合，涉及平行四边形的判定与性质，折叠的性质，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是将问题转化为利用二次函数的性质求最值． 根据折叠、等腰直角三角形的判定以及平行四边形的判定与性质可设，再根据表示出四边形的面积，最后利用二次函数的性质求最值． 【详解】解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由翻折得， ∴设，而， ∴． ∵翻折得到，而， ∴． ∴， ∴； 即：； ∵，，即 ∴当时，有最大值，最大值为150． 故答案为：20． 三、解答题（共13小题，计81分，解答应写出过程） 14. 解方程：． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法解一元二次方程，先化成一般式，求出判别式得到方程解得情况，再由求根公式代值求解即可得到答案，熟记公式法解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：， 整理得：， ，，， ， ， ，． 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查特殊角的三角函数混合运算，涉及特殊角的正弦值、余弦值和正切值，绝对值运算及二次根式加减乘法运算等，先计算出特殊角的三角函数值，再计算绝对值，然后利用二次根式乘法及加减法计算即可得到答案，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 详解】解： ． 16. 已知反比例函数的图象位于第二、四象限． （1）求k的取值范围； （2）若点是该反比例函数图象上的两点，试比较函数值的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数增减性与比例系数的关系，比较反比例函数函数值的大小，解题的关键在于熟知反比例函数图象增减性以及经过的象限与比例系数的关系． （1）反比例函数图象经过第二、四象限，那么比例系数小于0，据此求解即可； （2）根据题意可得在每个象限内，y随x增大而增大，根据点的坐标可知点A和点B都在第二象限，由此可得答案． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴在每个象限内，y随x增大而增大， ∵点是该反比例函数图象上的两点，， ∴点A和点B都在第二象限， ∴． 17. 如图，在中，，请用尺规作图法在上求作一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图---过直线外一点作已知直线的垂线，相似三角形的判定，熟练掌握尺规作图的方法是解题的关键． 从问题出发思考，若，则，故问题转化为过点作即可． 【详解】解：点P如图所示： 理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴． 18. 如图，在平面直角坐标系中，顶点和原点都在单位长度为1的正方形网格的格点上． （1）以点为位似中心，在网格纸中画出的位似图形，点、、的对应点分别是点、和，使它与的相似比为，且位于点的右侧； （2）在（1）的情况下，直接写出和的周长比． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，相似三角形的性质．熟练掌握画位似图形的一般步骤（先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；接着根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；然后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形）． （1）延长到使，延长到使，延长到使，则满足条件； （2）根据相似三角形的周长比等于相似比即可求解． 【小问1详解】 解：如图，为所作； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∴． 19. 如图，在中，是边上的高，，，． （1）求的值； （2）求的面积． 【答案】（1） （2）6 【解析】 【分析】（1）中，根据，可得，再由勾股定理可得，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，进而得到，再由三角形面积公式，即可求解． 【小问1详解】 解：∵在中，，， ∴． ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形以及三角形面积公式，解题的关键是熟练掌握锐角三角函数的定义，属于中考常考题型． 20. 已知抛物线与x轴的交点是，，经过点． （1）求该抛物线的函数解析式； （2）设该抛物线的顶点为M，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式和二次函数的性质． （1）由于已知抛物线与x轴的交点坐标，则可设交点式，然后把C点坐标代入求出a的值即可； （2）把（1）中的解析式配成顶点式得到M点的坐标，然后根据三角形面积公式的面积． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为， 把代入得：，解得． 抛物线解析式为，即； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 21. 随着经济的发展和科技的进步，支付方式也在发生变化．多样的支付方式便利了人们的生活，提升了人们的生活品质，也改变了人们的消费观念和习惯，是人们幸福指数提高的有力见证．目前常见的支付方式有：现金支付、刷卡支付、扫码支付、数字人民币支付（分别用A，B，C，D表示）．若小明和小华两人在购物时，选择以上四种支付方式的可能性相同． （1）求小明采用“扫码支付”的概率； （2）请通过列表或画树状图的方法，求小明和小华采用同一种支付方式的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式即可解答； （2）先列表确定所有结果数和满足题意的结果数，然后再根据概率公式即可解答． 【小问1详解】 解：由小明能采用的支付方式有4种：A，，，，则采用“扫码支付”的概率为． 答：小明采用“扫码支付”的概率为． 【小问2详解】 解：列出所有可能出现的结果如下表： 小明 小华 A B C D A B C D 由上表可以看出，小明和小华采用的支付方式的结果有16种，它们出现的可能性相等． 小明和小华采用同一种支付方式的结果有4种，即，，，，所以． 【点睛】本题主要考查了运用列表法求概率、概率公式等知识点，通过列表确定所有结果数和满足题意的结果数是解答本题的关键． 22. 某商场经销A玩具，购进时的单价是60元．根据市场调查，销售单价定为80元时，每天可以卖出200件，而销售单价每降低1元，每天就可多售出20件．求销售单价定为多少时，顾客得到优惠，且该商场每天销售A玩具可以获利4000元． 【答案】单价定为70元时，该商场每天销售A玩具可以获利4000元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，解题的关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程求解．设销售单价定为x元，则每件的销售利润为元，每天可以卖出件，根据“总利润=单件利润×数量”列出方程求解即可． 【详解】解：设销售单价定为x元，则每件的销售利润为元，每天可以卖出件， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， ∵顾客得到优惠， ∴． 答：单价定为70元时，该商场每天销售A玩具可以获利4000元． 23. 研究发现：初中生在数学课上的注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生注意力直线上升，中间一段时间，学生的注意力保持平稳状态，随后开始分散，注意力与时间呈反比例关系降回开始时的水平．学生注意力指标随时间（分钟）变化的函数图像如图所示． （1）求反比例图数的表达式，并求点对应的指标值； （2）张老师在一节课上从第10分钟开始讲解一道数学综合题，讲解这道题需要15分钟，当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到多少? 【答案】（1）反比例函数的表达式为，点对应的指标值 （2）当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到12 【解析】 【分析】本题考查反比例函数解应用题，涉及待定系数法确定函数关系式、已知自变量求函数值等知识，读懂题意，求出反比例函数表达式是解决问题的关键． （1）由题意，设出反比例函数表达式，将代入表达式求解即可得到表达式，将代入求得的表达式即可得到点对应的指标值； （2）由（1）中得到的表达式，将代入表达式即可得到答案． 【小问1详解】 解：设反比例函数的表达式为， 由图知反比例函数过点，则代入表达式得，解得， 反比例函数的表达式为； 当时，，故点对应的指标值； 【小问2详解】 解：由题意得， ， 答：当张老师讲完这道题时，学生的注意力指标值达到12． 24. 如图，在阳光明媚的一天，亮亮和同伴想测量一个亭子的高度，在某一时刻，亭子顶端的影子位于点处，亮亮站在点处，同—时刻，他的影长为3米，他在点处测得亭子顶端的仰角为，已知亮亮的身高米，米，于点，于点，且点在同一条水平直线上，求亭子的高．（结果保留一位小数．参考数据：，，） 【答案】亭子的高约为8.9米 【解析】 【分析】本题考查测高，涉及解直角三角形、相似三角形的判定与性质、太阳光测高等知识，由题意，设米，在，利用，再由，得到相似比列方程求解即可得到答案，熟练掌握解直角三角形及太阳光测高解法是解决问题的关键． 【详解】解：由题意得：，， 设米， 米， 米， 在中，，则（米）， ， ， ，即，解得， 米 答：亭子的高约为8.9米． 25. 某小区有一个喷水池，喷水池的中心有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线，在距水池中心水平距离为1m的点处达到最大高度3m，水柱落地点到水池中心的水平距离为3m，以水平方向为轴，喷水池中心为原点建立如图所示的平面直角坐标系． （1）写出点、的坐标； （2）求水柱所在抛物线对应的函数表达式； （3）王师傅在喷水池维修设备期间，喷水池意外喷水，如果他站在与池中心水平距离为2m的地方，通过计算说明身高的王师傅是否会被淋湿？ 【答案】（1），； （2） （3）高的王师傅不会被淋湿 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键． （1）由图求出的坐标； （2）根据抛物线的顶点设出顶点式，再将点坐标代入计算即可； （3）求出时的值，与身高比较大小即可． 【小问1详解】 解：由图可知，抛物线顶点坐标，点坐标； 【小问2详解】 解：设抛物线， 将点代入，得：， 解得， 故抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：高的王师傅不会被淋湿，理由如下： 当时，， 故高的王师傅不会被淋湿． 26. 【问题背景】 已知点在内，，，，． 【初步探究】 （1）如图1，连接，当时， ①求证：； ②求的值． 【深入探究】 （2）如图2，当时，求的值． 【答案】（1）①见解析，②；（2） 【解析】 【分析】（1）①直接根据两组对应角相等的两个三角形相似，即可得证； ②由等边三角形的性质和直角三角形的性质求得，进而证得，得，再由直角三角形的性质得，利用锐角三角函数求解即可； （2）利用相似三角形的性质与判定证得，进而证得，得，，再根据直角三角形的性质求得，设，则，，进而得，即可求解． 【详解】解：（1）①，， ∴； ②，， ∴和是等边三角形， ∴， ∵， ， ∵和是等边三角形， ，， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ； （2），， ∴， ， ， ， ， ，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 设，则， ∴，， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的性质与判定、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质、全等三角形的性质与判定及锐角三角函数，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$