精品解析：江苏省镇江市丹阳市吕叔湘中学、马相伯高级中学2025～2026学年高三上学期期初考试数学试卷

高三阶段检测卷·数学学科 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据2，8，14，14，20，下列说法正确的是（ ） A. 极差为22 B. 平均数为14 C. 中位数为15 D. 众数为14 4. 若函数为奇函数，则下列能满足条件取值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. 15 B. 16 C. 80 D. 81 7. 在正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得6分. 9. 若，为实数，则下列不等式中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知函数，则下列正确的选项有（ ） A. 是函数的极小值点 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在区间上既有最大值也有最小值，则范围是 D. 关于的不等式的解集为 11. 已知定义域在上的奇函数的图象关于直线对称，且当时，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当时， C. 是的极小值点 D. 三､填空题；本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 若，则__________. 13 已知，则__________. 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 四､解答题：本大题共5小题，共77分：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）已知，求的值. 16. 某种植园为测试某款化肥的效果，从果园中随机选取了90棵果树样本进行试验，对其中的30棵进行施肥试验，一年后按照果树的产量情况分类如表所示． 正常 超常 合计 未施肥 40 20 60 施肥 10 20 30 合计 50 40 90 （1）根据小概率值的独立性检验，分析果树产量超常是否与施肥有关； （2）若从样本中进行施肥的30棵果树里选取3棵，记为产量超常的果树棵数，求的概率分布列和期望． 附： 0.050 0.010 0001 3.841 6.635 10828 17. 已知集合，非空集合. （1）若是单元素集合且实数，求的值并用区间表示； （2）若函数有两个零点，求的取值范围. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是棱上一点，满足，. （1）求证：平面平面； （2）记平面平面，求证：直线； （3）当时，求二面角的大小. 19. 已知函数为自然常数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间上有最小值，求实数的值； （3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三阶段检测卷·数学学科 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1. 命题的否定为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据含有一个量词的命题的否定，即可判断出答案. 【详解】命题为全称量词命题，其否定为存在量词命题， 即为， 故选：C 2. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得到集合，利用补集概念求出答案. 【详解】或， 故. 故选：B 3. 样本数据2，8，14，14，20，下列说法正确的是（ ） A. 极差为22 B. 平均数为14 C. 中位数为15 D. 众数为14 【答案】D 【解析】 【分析】根据极差，平均数，中位数，众数的定义即可判断． 【详解】对于A：极差为，故A错误； 对于B：平均数为，故B错误； 对于C：中位数为14，故C错误； 对于D：众数为14，故D正确. 故选：D． 4. 若函数为奇函数，则下列能满足条件的取值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由三角函数为奇函数得，即可得. 【详解】由题设，则， 显然时，而、、均不可能. 故选：C 5. 已知随机变量服从正态分布，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据正态分布曲线的对称性进行求解即可. 【详解】，， . 故选：C. 6. 已知，则（ ） A. 15 B. 16 C. 80 D. 81 【答案】A 【解析】 【分析】应用赋值法求得、，作差即可得. 【详解】令，则， 令，则， 所以. 故选：A 7. 在正四面体中，分别为的中点，则直线和夹角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】若为中点，连接，直线和夹角即是直线和夹角，为或其补角，若正四面体的棱长为4，求出相关线段长，应用余弦定理求夹角余弦值. 【详解】若中点，如下图，连接，则且， 所以直线和夹角，即直线和夹角，为或其补角， 若正四面体的棱长为4，则，，，， 所以， 综上，直线和夹角的余弦值为. 故选：D 8. 已知，，，则的最大值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题设可得，而，利用基本不等式即可求其最大值，注意等号成立的条件. 【详解】， ∴由题设，， ∵，， ∴，且， ∴当且仅当时等号成立. 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得6分. 9. 若，为实数，则下列不等式中一定成立的有（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，利用不等式的性质得到A正确；B、C可举出反例；D选项，利用幂函数的性质可得D正确. 【详解】A选项，因为，所以两边同除以得，A正确； B选项，不妨令，此时无意义，不满足，B错误； C选项，不妨设，此时，C错误； D选项，因为，在R上单调递增，所以，D正确. 故选：AD 10. 已知函数，则下列正确的选项有（ ） A. 是函数的极小值点 B. 函数的图象关于点中心对称 C. 函数在区间上既有最大值也有最小值，则的范围是 D. 关于的不等式的解集为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据导数与函数极值点的关系判断A；求出可判断B；结合函数的极值以及单调性判断C；利用换元法结合函数单调性判断D. 【详解】由，得， 当或时，，当时，， 故上均单调递增，在上单调递减， 故是函数的极大值点，A错误； ， 即函数的图象关于点中心对称，B正确； 结合A的分析可知，在时取极大值，在时取极小值， ， 令，即，解得或； 故要使得函数在区间上既有最大值也有最小值，需满足，C正确； 对于，令，则，即得 由以上分析可知，当时，单调递增，故， 即， 即的解集为，D错误， 故选：BC 11. 已知定义域在上的奇函数的图象关于直线对称，且当时，则下列说法正确的有（ ） A. B. 当时， C. 是的极小值点 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据奇函数性质可判断A；利用对称性求出时的解析式可判断B；利用对称性求出的解析式，结合二次函数性质可判断C；利用对称性，结合单调性可判断D. 【详解】对A，因为是定义在上的奇函数，所以，得，正确； 对B，当时，，所以， 又因为为奇函数，所以，错误； 对C，因为的图象关于直线对称， 所以，即， 当时，， 所以， 所以，即时，， 由二次函数性质可知，在上单调递减，在上单调递增， 所以是的极小值点，正确； 对D，因为，所以， 由C可得， 因为当时，，由二次函数性质可知， 因为在上单调递增，且，所以， 所以，正确. 故选：ACD 三､填空题；本大题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 12. 若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用条件概率公式的变形可求出，再用条件概率公式即可求得答案. 详解】由，得, 即， 故, 故答案为： 13. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由已知及和角正切公式可得，再由，即可求值. 【详解】由题设，则， 所以，则. 故答案为： 14. 若直线为曲线的一条切线，则的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用导数的几何意义及已知切线求得，进而有且，利用导数求右侧的最大值，即可得. 【详解】令切点为且，对曲线求导得，则， 所以，即，则且， 令，则， 令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， ，， 且时趋向于0， 所以时，时，即在上单调递增，在上单调递减， 综上，的最大值为. 故答案为： 四､解答题：本大题共5小题，共77分：请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数. （1）求函数的最小正周期和单调递增区间； （2）已知，求的值. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）利用倍角公式以及辅助角公式，化简可得的表达式，结合正弦函数性质，即可求得答案； （2）由题意可得，继而求出的值，化简的表达式，结合倍角公式，即可求得答案. 【小问1详解】 由题意得， 故的最小正周期为； 令，解得， 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 由于，则，即， 而，故， . 16. 某种植园为测试某款化肥的效果，从果园中随机选取了90棵果树样本进行试验，对其中的30棵进行施肥试验，一年后按照果树的产量情况分类如表所示． 正常 超常 合计 未施肥 40 20 60 施肥 10 20 30 合计 50 40 90 （1）根据小概率值的独立性检验，分析果树产量超常是否与施肥有关； （2）若从样本中进行施肥的30棵果树里选取3棵，记为产量超常的果树棵数，求的概率分布列和期望． 附： 0.050 0.010 0.001 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）无关 （2）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）根据公式计算，然后根据临界值表分析判断即可； （2）由题可知，，即可得出分布列及数学期望． 【小问1详解】 提出零假设：果树产量超常与施肥无关． 根据列联表中的数据可以求得，， 根据小概率值的独立性检验，我们推断成立，即认为果树产量超常与施肥无关． 【小问2详解】 施肥的30棵果树中，产量超常的有20棵，产量正常的有10棵，从中选取3棵， X的可能取值为0,1,2,3，（k=0,1,2,3） ， ， ， ， 故分布列为： 0 1 2 3 所以． 17. 已知集合，非空集合. （1）若是单元素集合且实数，求的值并用区间表示； （2）若函数有两个零点，求的取值范围. 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）分和两种情况讨论即可求出；求出，再结合正弦函数图象即可求出集合； （2）先利用降幂公式化简，最后将问题转化为函数图象交点问题即可. 【小问1详解】 因是单元素集合且实数，则，得； 或，此方程组无解， 综上，； ，则， 故得，得，则. 【小问2详解】 因，则， 因函数在上有两个零点，则在上有两个根， 则函数与的图象在上有两个交点， 因，则，得， 故的取值范围为. 18. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，是棱上一点，满足，. （1）求证：平面平面； （2）记平面平面，求证：直线； （3）当时，求二面角的大小. 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）直接用平面与平面的垂直的判定来证即可； （2）用线面平行的性质来证明线线平行； （3）先找出二面角的平面角然后再计算它的大小. 【小问1详解】 平面，平面，. 又，，且平面， 平面，， 平面.又平面， 平面平面. 小问2详解】 ，平面，平面，平面. 又平面平面，平面，直线. 【小问3详解】 当时，，所以是棱的中点， 过点作交于点，连接，则为的中点. 如图，作出符合题意的图形， 又，且四点共面. 又平面，平面， ，且. 是等腰直角三角形的中线也是顶角的平分线，. 再由（1）知平面，平面，平面， ，，平面， 平面，平面平面， 就是二面角的平面角. 故二面角的大小为. 19. 已知函数为自然常数. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）若函数在区间上有最小值，求实数的值； （3）在（1）的条件下，若不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）应用导数的几何意义求切线方程； （2）对函数求导，讨论、并根据导数符号确定区间单调性，结合已知区间及函数的最值求对应参数，即可得. （3）问题化为在上恒成立，利用导数研究右侧的最小值，即可得参数范围. 【小问1详解】 由题设，则，故，， 所以函数在处的切线方程为， 整理得； 【小问2详解】 由题设且， 当时，，即在上单调递减， 此时，在区间上有最小值，可得； 当时，时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，可得，不符合； 若，即时，在区间上有最小值，不符合； 综上，； 【小问3详解】 由题设且， 对于，有，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增，则， 所以恒成立，则上恒成立， 令，则， 令，则， 令，则， 所以时，时，则在上单调递减，在上单调递增， 故，易知在上单调递增，且， 所以时，即，时，即， 所以在上单调递减，在上单调递增，故， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $