精品解析：河北省唐山市税东中学2025-2026学年上学期九年级数学摸底考试数学试卷

2025-2026学年第一学期九年级开学摸底考试试卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试范围：北师大版八下全部、九上第一、二章． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 分式的值为0，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 3. 与9的差不大于1，用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 4. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 以下说法错误的是（ ） A. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合 B. 六边形内角和为 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 9. 如图，在矩形中，E，F分别是，的中点，连接，，且G，H分别是，的中点，已知，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 10. 如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（ ） A. 甲、乙、丙 B. 只有甲、乙 C. 只有甲、丙 D. 只有乙、丙 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11. 如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是______． 12. 如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，添加一个条件使，这个条件可以是______（写出一个即可）． 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 14. 足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ________​． 15. 如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为_______． 三、解答题（本大题共7小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：； （2）解不等式组． 17. 如图，点在上，． （1）若，求的度数； （2）若平分，求证：． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 19. 【项目情境】 校本研修是一种针对学校教职工进行的专业培训和提升的方式，旨在通过集中培训活动来促进教师专业发展和学校教育水平的提高．为推进基层学校更好地开展校本研修，某校需要印刷一批校本研修（听课）记录册，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示．设印制数量为（份），甲、乙两个印刷厂的收费分别为（元）和（元）． 【项目解决】 目标1：确定甲、乙两厂的收费标准． （1）分别求、关于的函数表达式． 目标2：给出最终选择方案． （2）根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？ 20. 在今年的月日第个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用元购买甲种树苗的棵数与用元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少元． （1）求甲种树苗每棵多少元； （2）若准备用不超过元购买甲、乙两种树苗共棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？ 21. 矩形的边长，点在上，把沿折叠，使点落在边的点处，． （1）如图1，求的长度； （2）如图2，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作，于点． ①请证明在、运动的过程中，四边形是平行四边形； ②连接，当为何值时，为直角三角形？ 22. 【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了AC上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长BE交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期九年级开学摸底考试试卷 数学 （考试时间：100分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试范围：北师大版八下全部、九上第一、二章． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 志愿服务，传递爱心，传递文明．下列志愿服务标志为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，不符合题意； B．是中心对称图形，符合题意； C．不是中心对称图形，不符合题意； D．不是中心对称图形，不符合题意． 故选B． 2. 分式的值为0，则的值是（ ） A. 0 B. C. 1 D. 0或1 【答案】A 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件进行求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 故选A． 【点睛】本题主要考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0，分母不为0是解题的关键． 3. 与9的差不大于1，用不等式表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式．与9的差即为，不大于1即小于等于1，据此列不等式即可． 【详解】解：与9的差不大于1，用不等式表示为， 故选：D． 4. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的配方法，把常数项移到等式右边后，利用完全平方公式配方得到结果，即可做出判断． 【详解】 移项得：， 配方得：， 整理得：， 故选：D． 5. 下列因式分解正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，整式的乘法，熟练掌握公式法和提公因式法进行因式分解是解题的关键．利用提公因式法、公式法以及整式的乘法逐个分解得结论． 【详解】解：A、，故不符合题意； B、，故不符合题意； C、，故符合题意； D、， 故不符合题意； 故选：C． 6. 以下说法错误的是（ ） A. 等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合 B. 六边形内角和为 C. 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等 D. 用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质，多边形内角和，垂直平分线的性质，反证法的运用；熟练掌握以上知识是解题的关键；根据上述知识对选项进行判断即可； 【详解】A、等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线互相重合，选项正确，不符合题意； B、多边形内角和公式为： ，当时，六边形内角和为，故选项错误，符合题意； C、线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，选项正确，不符合题意； D、用反证法证明“三角形中必有一个角不大于”，可以先假设这个三角形中每一个内角都大于，选项正确，不符合题意； 故选：B 7. 《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题译为：把一份文件慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天．已知快马的速度是慢马的2倍，求规定时间．设规定时间为x天，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天，由题意得等量关系：慢马速度×2=快马速度，根据等量关系，可得方程． 【详解】解：设规定时间为x天，则快马所需的时间为（x-3）天，慢马所需的时间为（x+1）天， 由题意得：． 故选：C 【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系． 8. 如图，菱形的边长为，对角线，交于点，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据菱形的对角线互相垂直且互相平分，可得出对角线AC的长度，依据勾股定理即可得到另一条对角线的长度，进而根据公式可得出菱形的面积． 【详解】解：∵对角线AC，BD交于点O，OA＝1， ∴AC＝2OA＝2， ∵菱形的边长为， ∴AB＝， ∴， ∴BD＝2BO＝4， ∴S菱形ABCD＝BD•AC＝×4×2＝4． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形面积的计算，掌握菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半是解题的关键． 9. 如图，在矩形中，E，F分别是，的中点，连接，，且G，H分别是，的中点，已知，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质． 根据矩形的性质得到，，从而根据勾股定理得到，，即，最后根据三角形的中位线定理即可解答． 【详解】解：连接， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵E，F分别是，的中点， ∴，， ∴在中，， ∴， ∵且G，H分别是，的中点， ∴． 故选：B 10. 如图，平行四边形的对角线交于点过点且分别交于点，在上找点（点在点下方），使以点为顶点的四边形为平行四边形，在甲、乙、丙三个方案中，正确的方案是（ ） A. 甲、乙、丙 B. 只有甲、乙 C. 只有甲、丙 D. 只有乙、丙 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，涉及三角形全等的判定与性质，结合题中所给方案，分情况，依照平行四边形的判定与性质即可得证．熟练掌握平行四边形的判定与性质、三角形全等的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：甲方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， ， 在四边形中，由对角线相互平分可知，四边形为平行四边形； 乙方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ， 在和中， ， ， ， ，则， 在和中， ， ， 在四边形中，由一组对边平行且相等可知，四边形为平行四边形； 丙方案：如图所示： 在平行四边形中，，， ，， 在和中， ， ， 平分；平分； ， 在和中， ， ， 在四边形中，由对角线相互平分可知，，四边形为平行四边形； 综上所述，甲、乙、丙三种方案均可使以点为顶点的四边形为平行四边形， 故选：A． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在横线上） 11. 如果关于的不等式的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．由关于的不等式的解集为，知，解之即可． 【详解】解：∵关于的不等式的解集为， ∴， 则， 故答案：． 12. 如图，的对角线，相交于点O，点E，F在上，添加一个条件使，这个条件可以是______（写出一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，三角形全等的判定．由平行四边形的性质得到，又，结合三角形全等的判定方法即可解答． 【详解】添加条件：． 理由：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ， ∴． 故答案为：（答案不唯一） 13. 若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式求参数，理解一元二次方程两个相等的实数根的含义，掌握根的判别式的计算是关键． 根据，方程有两个相等的实数根即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为：1 ． 14. 足球有12个正五边形，20个正六边形，一共32个面．通常由黑白两种颜色组成．之所以如此设计，是因为用正六边形的两个内角和正工边形的一个内角加起来略微小于，这样由平面折叠而成的多面体充气后最终就呈现为球形．如图，在折叠前的平面上，拼接点处的缝隙的大小为 ________​． 【答案】##12度 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，求出正六边形，正五边形的每个内角度数，即可求出的度数，关键是掌握正多边形的每个内角相等． 【详解】解：∵正六边形的每个内角， 正五边形的每个内角， ∴， 故答案为：． 15. 如图，将正方形折叠，使顶点与边上的点重合（不与端点重合），折痕交于点，交于点，边折叠后与边交于点，设正方形的周长为，的周长为，则的值为_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了正方形与折叠问题，全等三角形的判定和性质．连接、，作于点M，，推出，再证明，推出，据此求解即可． 【详解】解：如图，连接、，作于点M． ∵正方形的周长为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴的周长 ． ∴的值为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共75分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. （1）解方程：； （2）解不等式组． 【答案】（1），；（2）． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组和一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用配方法求解即可； （2）分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：（1）∵， ∴， 则，即， ∴， ∴，； （2）， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴不等式组的解集为． 17. 如图，点在上，． （1）若，求的度数； （2）若平分，求证：． 【答案】（1） （2） ∵ ∴ ∵平分， ∴ ∴ ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质求出，再根据平行线的性质可得; （2）证明四边形是平行四边形即可． 【小问1详解】 ∵ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴； 【小问2详解】 略 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，平行四边形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若该方程两个实数根的和为3，求m的值． 【答案】（1） 证明：， ∵ ∴该方程总有两个实数根； （2） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键． （1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断； （2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵该方程两个实数根的和为3， ∴， ∴． 19. 【项目情境】 校本研修是一种针对学校教职工进行的专业培训和提升的方式，旨在通过集中培训活动来促进教师专业发展和学校教育水平的提高．为推进基层学校更好地开展校本研修，某校需要印刷一批校本研修（听课）记录册，咨询了甲、乙两个印刷厂，他们给出的收费标准如图所示．设印制数量为（份），甲、乙两个印刷厂的收费分别为（元）和（元）． 【项目解决】 目标1：确定甲、乙两厂的收费标准． （1）分别求、关于的函数表达式． 目标2：给出最终选择方案． （2）根据印制数量的不同，如何选择较优惠的印刷厂？ 【答案】（1），；（2）当时，选择甲印刷厂更优惠，当时，选择甲、乙印刷厂一样，当时，选择乙印刷厂更优惠． 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，利用待定系数法求函数的表达式是本题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据的取值范围不同，比较对应区间的和的大小，从而判断哪个印刷厂更优惠． 【详解】解：（1）设关于的函数表达式为：， 当时，，代入中得： ， 解得：， ∴关于的函数表达式为：， 设关于的函数表达式为：， 当，，当时，，代入中得： ， 解得：， ∴关于的函数表达式为：； （2）联立、得：， 解得：，， ∴当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，选择甲印刷厂更优惠， 当时，选择甲、乙印刷厂一样， 当时，选择乙印刷厂更优惠． 20. 在今年的月日第个植树节期间，某校组织师生开展了植树活动．在活动之前，学校决定购买甲、乙两种树苗．已知用元购买甲种树苗的棵数与用元购买乙种树苗的棵数相同，乙种树苗比甲种树苗每棵少元． （1）求甲种树苗每棵多少元； （2）若准备用不超过元购买甲、乙两种树苗共棵，则至少要购买乙种树苗多少棵？ 【答案】（1）甲种树苗每棵元； （2）至少要购买乙种树苗棵． 【解析】 【分析】（）设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元，由用元购买甲种树苗的棵数与用元购买乙种树苗的棵数相同列出方程即可； （）设购买乙种树苗的棵，则购买甲种树苗的棵，列出不等式即可； 此题考查一元一次不等式应用，分式方程的应用，解题的关键读懂题意列出方程和不等式． 【小问1详解】 设甲种树苗每棵元，则乙种树苗每棵元， 依题意列方程得， ， 解得， 经检验是原方程的解， 答：甲种树苗每棵元； 【小问2详解】 设购买乙种树苗的棵，则购买甲种树苗的棵， 根据题意，得， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， 答：至少要购买乙种树苗棵． 21. 矩形的边长，点在上，把沿折叠，使点落在边的点处，． （1）如图1，求的长度； （2）如图2，点从点出发沿以每秒的速度向点运动，同时点从点出发沿以每秒的速度向点运动，运动时间为秒，过点作，于点． ①请证明在、运动的过程中，四边形是平行四边形； ②连接，当为何值时，为直角三角形？ 【答案】（1） （2）①证明：由题意得：，， 则， ，， ，， 由（1）得：， ， ， 四边形是平行四边形； ②秒或秒 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质可知，，，然后求出，则； （2）①由题意得：，，则，由（1）得：，则，从而推出，即可证明四边形是平行四边形；②分三种情况：当时，当时，当时，三种情况讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：由折叠的性质可知，，， 四边形是矩形， ， ， ； 【小问2详解】 解：①略 ②分三种情况： 、当时，，如图所示： ，， ，， ，， ， 即， 解得：； 、当时，点、重合，不能构成； 、当时，如图所示： 过作于， 则四边形是矩形，，， ，， ， ， ， ，， ， ，， ， ， ， ， ， 解得：； 综上所述，当为秒或秒时，为直角三角形． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，矩形的性质，折叠的性质，含30度角的直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定等等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识． 22. 【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，，，，将直角三角形ABE绕A点逆时针方向旋转度（）点B、E的对应点分别为点、． 【问题解决】 （1）如图2，在旋转的过程中，点落在了AC上，求此时的长； （2）若，如图3，得到（此时与D重合），延长BE交于点F， ①试判断四边形的形状，并说明理由； ②连接CE，求CE的长； （3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段长度的取值范围． 【答案】（1） （2）①四边形是正方形， 理由如下： 由旋转的性质得：，，， ， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的判定与性质、旋转变换的性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识；熟练掌握正方形的性质和旋转变换的性质，证明是解题的关键． （1）由勾股定理得的长度，再由正方形的性质得的长度，然后由旋转的性质得，即可求解； （2）①由旋转的性质得，，，再证四边形是矩形，即可得出结论；②过点作于点，证，得，，再由勾股定理求解即可； （3）当点的运动轨迹是以点为圆心，为半径的圆上，即可得出答案． 【小问1详解】 解：，，， ， 四边形是正方形， ，， ， 由旋转的性质得：， ； 【小问2详解】 解：①略 ②过点作于点，如图所示： 则， ， ， 在和中， ， ， ，， ∴， ， 【小问3详解】 ∵直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（）， 点B、E的对应点分别为点、， ∴当时，与E重合，最短； 当落在CA的延长线上时，，最长， ∴线段长度的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $