精品解析：贵州省毕节市七星关区2023-2024学年下学期八年级数学期末考试卷

七星关区2023-2024学年度第二学期学业水平检测试卷 八年级·数学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定位置贴好条形码． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题卡区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损． 一、选择题（每小题3分，共36分．以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答） 1. 国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，是中心对称图形的是（　　） A. 核安全 B. 国土安全 C. 生物安全 D. 军事安全 2. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ） A. B. C. D. 7. 若是分式方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直径为4的第一个圆向右平移得到第二个圆，若图中阴影部分的周长为，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 10. 下面命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果且 ，那么 B. 两直线平行，内错角相等 C. 四边形是多边形 D. 如果，那么 11. 把一张对边互相平行的纸条，按如图所示折叠，EF是折痕，若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 12. 某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮，以美化环境.已知这种草皮每平方米售价为元，则购买这种草皮至少需要（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 五边形的内角和为________． 14. 因式分解：______． 15. 数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在外选择一点C，测得两边中点的距离为12m（如图），则A，B两点的距离是______m． 16. 如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若 ，，，则的长为_____． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是小华解分式方程的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同时乘，得，…第1步 解这个方程，得，…第2步 检验：时，分母，…第3步 ∴原分式方程的解为，…第4步 任务： （1）上述解答过程中，从第 步开始出错；错误的原因为： ． （2）请写出正确的解答过程． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别是，，． （1）画出平移后的； （2）直接写出点，，的坐标； （3）求的面积． 20. 已知，如图，一次函数的图象经过，． （1）求一次函数的表达式； （2）结合图象，请直接写出关于的不等式的解集； （3）若当时，一次函数的函数值y恰好满足，请直接写出的关系式中的值． 21. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 22. 2024年2月10日至21日，贵州省贵阳、毕节、六盘水、黔西南等地陆续发生山火，共发生森林火情221起，造成人员伤亡2人．某校为提高学生消防安全意识，准备购买《消防安全管理手册》和《消防安全知识》两种书籍．每本《消防安全管理手册》比《消防安全知识》贵20元，花400元购买的《消防安全管理手册》数量和花200元购买的《消防安全知识》一样多． （1）求每本《消防安全管理手册》和每本《消防安全知识》各需多少元； （2）如果该校计划购入两种书籍200本，总费用不超过6000元，那么至少购进《消防安全知识》多少本？ 23. 小明在学习了一元一次不等式与一元一次不等式组的解法后，又根据我们学过的有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负．解出了不等式的解集，解题过程如下： 解：根据上述规律，不等式可以转化为或， 解得，或， 即或． ∴不等式的解集为或． （1）根据小明的解法，求不等式的解集． （2）直接写出不等式的解集： ． 24. 如图，的对角线与相交于点O，E，F是上的两点． （1）当满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由； （2）当与 满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 25. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在 中， ，点D，E分别在边上， ，连接 ，M是的中点，连接． （1）观察猜想 请直接写出与的数量关系和位置关系； （2）类比探究 将图① 中绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）解决问题 若 ，将图① 中的绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出的最大值与最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 七星关区2023-2024学年度第二学期学业水平检测试卷 八年级·数学 （时间：120分钟 满分：150分） 注意事项：1．答题前，考生先将自己的学校、姓名、班级、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的准考证号、姓名及科目，在规定位置贴好条形码． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上；非选择题用0.5毫米黑色签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题卡区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效． 3．保持卡面清洁，不装订，不要折叠，不要破损． 一、选择题（每小题3分，共36分．以下每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置作答） 1. 国家安全人人有责，维护国家安全人人可为．2024年4月15日是第九个全民国家安全教育日．下列国家安全图标中，是中心对称图形的是（　　） A. 核安全 B. 国土安全 C. 生物安全 D. 军事安全 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形的识别，理解中心对称图形定义：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图形是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：C． 2. 交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在通过隧道时，我们往往会看到如图所示的标志，该标志表示车辆高度不超过，则通过该隧道的车辆高度的范围可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的定义．根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由题意得：，故D正确． 故选：D． 3. 如图，在中，一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，平行四边形对边平行且相等，对角线互相平分，由此逐项判断即可． 【详解】解：平行四边形的对角线不一定相等， 不一定正确，故A选项不合题意； 平行四边形的对角线不一定相等，对角线的一半也不一定相等，不一定正确，故B选项不合题意； 平行四边形的邻边不一定相等，不一定正确，故C选项不合题意； 平行四边形的对角线互相平分，一定正确，故D选项符合题意； 故选D． 4. 已知，下列式子不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质（不等式性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向不变；不等式性质2：不等式的两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变；不等式性质3：不等式的两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变）逐项判断即可． 【详解】解：已知， 不等式的两边同时减2，不等号方向不变，一定成立，故A选项不合题意； 不等式的两边同时乘，不等号方向改变，一定成立，故B选项不合题意； 时，，因此不一定成立，故C选项符合题意； 不等式的两边同时乘再加1，不等号方向不变，一定成立，故D选项不合题意； 故选C． 5. 下列分式中，属于最简分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查最简分式，根据最简分式的概念进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是最简分式，故符合题意； B、不是最简分式，故不符合题意； C、不是最简分式，故不符合题意； D、不是最简分式，故不符合题意； 故选：A． 6. 如图，用尺规作已知角平分线，其根据是构造两个三角形全等，它所用到的判别方法是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是全等三角形的性质和判定，尺规作角平分线，，根据证明，即可推出本题的答案． 【详解】解：∵，， ， ∴， ∴，即是角的平分线， 故选：D． 7. 若是分式方程的解，则的值为（ ） A. 2 B. C. 5 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查分式方程的解及求待定字母的值，解答本题的关键就是代入x的值，得到关于a的方程，计算即可求得结果． 【详解】解：由题可知： 是分式方程的根， 把代入分式方程，得： ， 即， 解得：． 故选：C． 8. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，利用数轴表示不等式组的解集，先求出两个不等式的解集，再求出公共部分，最后在数轴上表示出来即可，注意在表示解集时“”，“”要用实心圆点表示；“”，“”要用空心圆圈表示． 【详解】解： 解不等式 ，得：， 解不等式 ，得：， 因此该不等式组的解集为， 在数轴上表示为： 故选A． 9. 如图，直径为4的第一个圆向右平移得到第二个圆，若图中阴影部分的周长为，则平移的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平移的性质，圆的周长，熟知图形平移不变性的性质是解题的关键．设平移距离为d，根据题意，得到，进行求解即可． 【详解】解：设平移距离为d， 由题意得：， ， 故选：B． 10. 下面命题的逆命题是真命题的是（ ） A. 如果且 ，那么 B. 两直线平行，内错角相等 C. 四边形是多边形 D. 如果，那么 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查逆命题，判断命题的真假．写出每个命题的逆命题，再判断真假即可． 【详解】解：A．逆命题为：如果，那么且 ． 如果，那么或 ．所以这个逆命题为假命题，不合题意； B．逆命题为：内错角相等，两直线平行． 这个逆命题为真命题，符合题意； C．逆命题为：多边形是四边形． 多边形不一定是四边形，所以这个逆命题是假命题，不合题意； D．逆命题为：如果，那么． 如果，那么或．所以这个逆命题是假命题，不合题意； 故选B． 11. 把一张对边互相平行的纸条，按如图所示折叠，EF是折痕，若，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，平行线的性质．根据折叠前后对应角相等，以及平行线的性质定理，逐项判断即可． 【详解】解：，， ，故选项A结论正确，不合题意； 由折叠知，， ，故选项B结论正确，不合题意； ，， ，故选项C结论正确，不合题意； ，， ， ，故选项D结论错误，符合题意； 故选：D． 12. 某市在旧城改造中，计划在市内一块如图所示的三角形空地上种植草皮，以美化环境.已知这种草皮每平方米售价为元，则购买这种草皮至少需要（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了含的直角三角形．熟练掌握含的直角三角形是解题的关键． 如图，作 的延长线于，则，，根据购买这种草皮至少需要，计算求解即可． 【详解】解：如图，作 的延长线于， ∴， ∴， ∴购买这种草皮至少需要（元）， 故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分） 13. 五边形的内角和为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式计算即可． 【详解】解：五边形的内角和为． 14. 因式分解：______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了利用提公因式法和公式法因式分解，解题的关键是找出公因式，熟悉完全平方公式．先提公因式m，再利用完全平方公式即可分解因式． 【详解】解：． 故答案为：． 15. 数学实践活动中，为了测量校园内被花坛隔开的A，B两点的距离，同学们在 外选择一点C，测得两边中点的距离为12m（如图），则A，B两点的距离是______m． 【答案】24 【解析】 【分析】根据题意得出为的中位线，然后利用其性质求解即可． 【详解】解：∵点D、E为的中点， ∴为的中位线， ∵， ∴， 故答案为：24． 【点睛】题目主要考查三角形中位线的判定和性质，熟练掌握三角形中位线的性质是解题关键． 16. 如图，在中，分别以A，B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于F，G两点，作直线分别交 ，于点M，D；再分别以A，C为圆心，以大于 的长为半径作弧，两弧相交于H，I两点，作直线分别交，于点N，E；若 ，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）和勾股定理的逆定理、勾股定理，解题的关键是根据尺规作图判断出垂直平分线，得到相等线段，再通过边长关系验证直角三角形，进而求出的长． 先根据尺规作图特征，确定是 的垂直平分线、 是的垂直平分线，得、；计算的长度；再通过、、的边长关系，用勾股定理的逆定理判断为直角三角形，得出；最后在中，用勾股定理求出． 【详解】解：由尺规作图可知，垂直平分垂直平分， ∴（线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）， （线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等）． ∴ 在中，， ∵，即， ∴为直角三角形，且，即． 在中，由勾股定理得：． 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，共98分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 下面是小华解分式方程的过程，请你认真阅读并完成相应的任务． 解：方程两边同时乘，得，…第1步 解这个方程，得，…第2步 检验：时，分母，…第3步 ∴原分式方程的解为，…第4步 任务： （1）上述解答过程中，从第 步开始出错；错误的原因为： ． （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）1，常数项漏乘最简公分母 （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键． （1）根据解分式方程的步骤即可得到答案，注意常数项是否乘最简公分母； （2）按照解分式方程的正确步骤进行解答即可． 【小问1详解】 解：上面的解题过程从第1步开始出现错误，这一步错误的原因是常数项漏乘最简公分母； 故答案为：1，常数项漏乘最简公分母； 【小问2详解】 解：方程两边同时乘，得， 解这个方程，得 ， 检验： 时，分母， ∴ 是增根， ∴原分式方程无解． 18. 先化简，再求值：，其中 ． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算及化简求值，二次根式的运算．先将括号内两个分式的分子、分母因式分解，约分化简，再将分式除法变形为分式乘法，再约分化简，最后将 代入求值即可． 【详解】解：原式 ， 将 代入，得： 原式． 19. 如图，在平面直角坐标系中，每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形，的三个顶点的坐标分别为，，，将向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度得到，点A，B，C的对应点分别是，，． （1）画出平移后的； （2）直接写出点，，的坐标； （3）求的面积． 【答案】（1）见解析 （2），， （3）4 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换——平移，点的坐标，以及利用网格计算三角形的面积，掌握平移的特点是解题的关键． （1）将三个顶点分别向右平移4个单位长度，再向下平移5个单位长度，得出对应点，顺次连接即可； （2）根据点在坐标系中的位置可直接得出坐标； （3）利用割补法计算面积． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：由图可得，，，． 【小问3详解】 解：． 20. 已知，如图，一次函数的图象经过，． （1）求一次函数的表达式； （2）结合图象，请直接写出关于的不等式的解集； （3）若当时，一次函数的函数值y恰好满足，请直接写出的关系式中的值． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一次函数于一元一次不等式，熟练掌握待定系数法，数形结合是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）根据A的坐标，结合图象即可求解； （3）分两种情况，利用待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象经过，． ∴，解得， ∴一次函数的表达式为； 【小问2详解】 由图形可知，关于x的不等式的解集是； 【小问3详解】 当一次函数过点时，则， 解得， 当一次函数过点时，则， 解得， 的关系式中的值分别是或． 21. 如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E． （1）已知CD=4cm，求AC的长； （2）求证：AB=AC+CD． 【答案】（1）；（2）证明见试题解析． 【解析】 【详解】试题分析：（1）由角平分线的性质可知CD=DE=4cm，由于∠C=90°，故∠B=∠BDE=45°，△BDE是等腰直角三角形，由勾股定理得可得BD，AC的值； （2）由（1）可知：△ACD≌△AED，AC=AE，BE=DE=CD，故AB=AE+BE=AC+CD． 试题解析：（1）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DE=CD=4cm，又∵AC=BC，∴∠B=∠BAC，又∵∠C=90°，∴∠B=∠BDE=45°，∴BE=DE=4cm． 在等腰直角三角形BDE中，由勾股定理得，BD=cm，∴AC=BC=CD+BD=（cm）． （2）∵AD是△ABC的角平分线，DC⊥AC，DE⊥AB，∴∠ADE=∠ADC，∴AC=AE，又∵BE=DE=CD，∴AB=AE+BE=AC+CD． 考点：1．勾股定理；2．直角三角形全等的判定；3．角平分线的性质． 22. 2024年2月10日至21日，贵州省贵阳、毕节、六盘水、黔西南等地陆续发生山火，共发生森林火情221起，造成人员伤亡2人．某校为提高学生消防安全意识，准备购买《消防安全管理手册》和《消防安全知识》两种书籍．每本《消防安全管理手册》比《消防安全知识》贵20元，花400元购买的《消防安全管理手册》数量和花200元购买的《消防安全知识》一样多． （1）求每本《消防安全管理手册》和每本《消防安全知识》各需多少元； （2）如果该校计划购入两种书籍200本，总费用不超过6000元，那么至少购进《消防安全知识》多少本？ 【答案】（1）每本《消防安全知识》元，每本《消防安全管理手册》元 （2）至少购进《消防安全知识》本 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系和不等关系分别列出方程和不等式． （1）设每本《消防安全知识》元，则每本《消防安全管理手册》元，根据“花 元购买的《消防安全管理手册》数量和花 元购买的《消防安全知识》一样多”这一等量关系列分式方程求解． （2）设购进《消防安全知识》本，则购进《消防安全管理手册》本，根据“总费用不超过元”这一不等关系列一元一次不等式求解． 【小问1详解】 解：设每本《消防安全知识》元，则每本《消防安全管理手册》元． 根据题意得：， 方程两边同乘得：， 展开得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：． 经检验，当时，， 所以是原方程的解． 则（元）． 答：每本《消防安全知识》元，每本《消防安全管理手册》元． 【小问2详解】 解：设购进《消防安全知识》本，则购进《消防安全管理手册》本． 根据题意得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为 得：． 答：至少购进《消防安全知识》本． 23. 小明在学习了一元一次不等式与一元一次不等式组的解法后，又根据我们学过的有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负．解出了不等式的解集，解题过程如下： 解：根据上述规律，不等式可以转化为或， 解得，或， 即或． ∴不等式的解集为或． （1）根据小明的解法，求不等式的解集． （2）直接写出不等式的解集： ． 【答案】（1）不等式的解集为或 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式不等式的解法和一元一次不等式组的解法．熟练掌握分式不等式的解法和一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负的法则，将分式不等式z转化为两个一元一次不等式组和，再分别求解这两个不等式组，最后综合结果得到原分式不等式的解集． （2）根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负的法则，把分式不等式转化为两个一元一次不等式组和，接着分别求解这两个不等式组，舍去无解的情况，从而得到原分式不等式的解集． 【小问1详解】 解：将转化为：或， 解不等式组 解得这个不等式组的解集是， 解不等式组： 解得这个不等式组的解集是， 不等式的解集为或． 【小问2详解】 解： 把分式不等式转化为：和， 解不等式组， 该不等式组无解， 解不等式组， 解得这个不等式组的解集是． 故该不等式组的解集是． 24. 如图，的对角线与相交于点O，E，F是上的两点． （1）当满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由； （2）当与 满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据四边形是平行四边形，则，，由即可得到，进而根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可判定四边形是平行四边形； （2）根据四边形是平行四边形，进而可得，，结合，证明进而可得，，根据等角的补角相等可得，进而得到，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边即可得证． 【详解】解：（1），理由如下， 四边形是平行四边形 ， 四边形是平行四边形； （2），理由如下， 四边形是平行四边形 又 四边形是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，掌握以上性质定理是解题的关键． 25. 在学习全等三角形的知识时，数学兴趣小组发现这样一个模型∶它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成，在相对位置变化的同时，始终存在一对全等三角形．通过查询资料，他们得知这种模型称为“手拉手模型”．如图① ，在 中， ，点D，E分别在边上， ，连接 ，M是的中点，连接． （1）观察猜想 请直接写出与的数量关系和位置关系； （2）类比探究 将图① 中绕点C逆时针旋转到图② 的位置，判断（1）中的结论是否仍然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由； （3）解决问题 若 ，将图① 中的绕点C逆时针旋转一周时，请直接写出的最大值与最小值． 【答案】（1） （2） 证明：（1）中的结论仍然成立，证明过程如下 如图① ，延长至点F，使，连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵M是的中点， ∴为 的中位线， ∴ 又∵ ∴ ∵ ， ∴ ， ∴ ； （3）的最大值为3，最小值为1 【解析】 【分析】（1）证明，得到 ，由 ，推出 ，根据 ，得到 ，进而得到 ，即可得出结论； （2）延长至点F，使，连接，证明，为 的中位线，即可证明结论； （3）利用（1）（2）的结论可知，当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值，当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值，结合图形计算即可． 【小问1详解】 解： ∵ ∴ ∴ ∵M是的中点 ∴ ∴ 又∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：的最大值为3，最小值为1 如图②和图③ ，利用（1）（2）的结论可知， 当取最大值或最小值时，也取相应的最大值或最小值， 当B，C，D三点共线时，可取最大值或最小值， 的最大值为 ， 的最大值为3； 的最小值为 ， 的最小值为1 【点睛】本题是三角形综合题，三角形全等的判定和性质，直角三角形的特征，旋转的性质，三角形中位线的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理、正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $