精品解析：江西省宜春市2023-2024学年下学期九年级质量检测数学试卷

2023~2024学年度宜春市九年级质量检测（联考） 数学 （满分120分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 有理数2024的绝对值是（       ） A. 2024 B. C. D. 2. 如图是由一个底面是正方形的长方体和一个圆柱组成的几何体（圆柱底面圆心与正方形中心重合），其俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，将一把直尺与含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 5. 如图，敲击四根音管时依次发出“1”“3”“5”“7”，音锤从“1”开始，每敲击一次移动一位，按照如下规律敲击：“1”→“3”→“5”→“7”→“5”→“3”→“1”→“3”→“5”…，依次往复敲击，在敲击第2024节拍时，你听到的是（ ） A. “1” B. “3” C. “5” D. “7” 6. 二次函数的图象可以由二次函数的图象向右平移2个单位长度得到，类似的，函数的图象可以由反比例函数的图象向右平移1个单位长度得到．下列关于函数的图象与性质描述错误的是（ ） A. 函数图象与y轴的交点坐标为 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 函数图象与x轴没有交点 D. 当时，y随x的增大而增大 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 函数的自变量的取值范围是____________． 8. 2023年1~3月份明月山全区共接待游客397.82万人次，将3978200用科学记数法表示为______． 9. 已知是方程的两个实数根，则的值为______． 10. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验（如图（1）），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端．”如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是______． 11. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．则纸杯的直径为______． 12. 如图，在中，，点P是边上一个动点，点D是边的中点，连接，将沿DP翻折，使点A落在点处，当平行于其中一条直角边时，的长为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在平行四边形中，E，F分别在上，连接，，求证：． 14. 先化简，再求值：，其中． 15. 如图是的正方形网格，点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图（1）中，作出，使得且点C在格点上； （2）在图（2）中，作出，使得且点P在格点上． 16. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”活动，诵读材料有《论语》《孟子》《大学》《中庸》，小明和小刚从这四部著作中随机抽取一本诵读． （1）小明抽中《大学》是______事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） （2）请用列表或画树状图的方法，求出小明和小刚抽到相同著作的概率． 17. 某校举行运动会，计划购买A，B两种奖品，已知购买A种奖品和B种奖品各1个共需65元，购买A种奖品3个和B种奖品2个共需160元． （1）求A，B两种奖品的单价分别是多少元； （2）某校若计划用不超过4000元购买A，B两种奖品共120个，请问至少购买A种奖品多少个． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． 19. 如图（1）是一款重型订书机，其结构示意图如图（2）所示．其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点D旋转．压杆与伸缩片连接，点M在上，压杆可绕点M旋转，，，． （1）不使用时，，测得，求此时的长度； （2）使用时如图3，按压使得，此时点F落在上，测得，求此时伸缩片缩短了多少．（结果精确到，参考数据：） 20. 如图，在中，以为直径的与交于点D，延长交于点E，连接，点F为线段上一点，连接，且满足． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2024年3月22日是第32届世界水日，为了解同学们对节约和保护水资源知识的掌握情况，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校1500名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）绘制成如下不完整的统计图表． 答题得分频数分布表 组别 成绩x/分 频数（人数） A 12 B a C 48 D c 答题得分扇形统计图 试根据以上信息解答下列问题： （1）______，______，______； （2）扇形统计图中D所在扇形对应的圆心角的度数为______； （3）所抽取学生成绩的中位数落在______组； （4）估计该校有多少名学生的测试成绩不低于80分？ 22. 课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小华同学画出了图形（如图（1）），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线． 求证：是矩形． 知识应用 （2）如图（2），已知四边形为平行四边形，点E是延长线上一点，延长到点F，使，连接，恰好平分，点H为的中点，连接交于点G． ①求证：平行四边形为矩形； ②当，时，求的长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 二次函数（）的图象交轴于原点及点． （1）求点的坐标． （2）若二次函数（）的图象经过，求该二次函数的解析式． （3）在（2）的条件下，二次函数的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）． ②若直线与有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为与，且，求的值． ③若点，在上，且，请直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2023~2024学年度宜春市九年级质量检测（联考） 数学 （满分120分，考试时间120分钟） 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 有理数2024的绝对值是（       ） A. 2024 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，表示一个数a的点到原点的距离叫做这个数的绝对值．一个正数的绝对值等于它的本身，零的绝对值还是零，一个负数的绝对值等于它的相反数． 根据绝对值的意义作答即可 【详解】有理数2024的绝对值是2024 故选：A 2. 如图是由一个底面是正方形的长方体和一个圆柱组成的几何体（圆柱底面圆心与正方形中心重合），其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图的知识，根据俯视图的定义，即可获得答案． 【详解】解：从上面看圆柱是一个圆、长方体的底面是一个正方形， 所以俯视图是一个正方形，且正方形的内部中间是一个圆． 故选：A． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，合并同类项，积的乘方，完全平方公式，根据同底数幂的乘法运算法则，合并同类项，积的乘方，完全平方公式运算法则逐一排除即可，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 故选：． 4. 如图，将一把直尺与含角的三角尺按如图所示的位置摆放，若，则的度数是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平角的定义，先根据平行线的性质得，再根据平角的定义得，进而可得的度数． 【详解】解：如图， ∵直尺的对边平行， ∴， 又∵， ∴， ∴． 故选：D． 5. 如图，敲击四根音管时依次发出“1”“3”“5”“7”，音锤从“1”开始，每敲击一次移动一位，按照如下规律敲击：“1”→“3”→“5”→“7”→“5”→“3”→“1”→“3”→“5”…，依次往复敲击，在敲击第2024节拍时，你听到的是（ ） A. “1” B. “3” C. “5” D. “7” 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，结合题意可知敲击音管每6次为一个循环，据此即可求得答案． 【详解】解：根据题意可得敲击音管每6次为一个循环， 即按1，3，5，7，5，3，……循环， ∵， ∴敲击第2024节拍时，听到的是3， 故选B． 6. 二次函数的图象可以由二次函数的图象向右平移2个单位长度得到，类似的，函数的图象可以由反比例函数的图象向右平移1个单位长度得到．下列关于函数的图象与性质描述错误的是（ ） A. 函数图象与y轴的交点坐标为 B. 当时，y随x的增大而增大 C. 函数图象与x轴没有交点 D. 当时，y随x的增大而增大 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象，先画出函数图象，根据反比例函数的性质和函数的图象逐项分析即可． 【详解】解：如图，画出函数的图象， A、在中，当时，，即函数图象与y轴的交点坐标为，该选项正确，不符合题意； B、根据函数图象得，当时，y随x的增大而增大，该选项错误，符合题意； C、根据函数图象得，函数的图象与x轴没有交点，该选项正确，不符合题意； D、根据函数图象得，当时，y随x的增大而增大，该选项正确，不符合题意． 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 函数的自变量的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数列出不等式，解不等式即可得到自变量的取值范围 【详解】解：由题意得，， 解得， 8. 2023年1~3月份明月山全区共接待游客397.82万人次，将3978200用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，需确定其形式为，其中，且为整数．科学记数法的核心是确定和的值，通过移动小数点并统计位数即可完成转换．注意保留有效数字，末尾的零需根据原数精确度判断是否保留． 【详解】解：， 即将3978200用科学记数法表示为． 故答案为：． 9. 已知是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】－2 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题的关键在于正确应用韦达定理．由根与系数的关系求出两根之和 ，两根之积 ，然后代入表达式 即可求． 【详解】解：∵是一元二次方程的两根， ∴，， ∴． 故答案为：． 10. 大约在两千四五百年前，墨子和他的学生做了世界上第一个小孔成倒像的实验（如图（1）），并在《墨经》中有这样的精彩记录：“景到，在午有端与景长，说在端．”如图（2）所示的小孔成像实验中，若物距为，像距为，蜡烛火焰的高度是，则蜡烛火焰倒立的像的高度是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，设蜡烛火焰倒立的像的高度为，利用比例关系建立方程来求解蜡烛火焰倒立的像的高度即可． 【详解】解：蜡烛火焰的高度与蜡烛火焰倒立的像的高度的比值等于物距与像距的比值． 设蜡烛火焰倒立的像的高度为，则， 解得，经检验其是分式方程的根， 即蜡烛火焰倒立的像的高度为． 故答案为：． 11. 一次综合实践的主题为：只用一张矩形纸条和刻度尺，如何测量一次性纸杯杯口的直径？小聪同学所在的学习小组想到了如下方法：如图，将纸条拉直紧贴杯口上，纸条的上下边沿分别与杯口相交于A，B，C，D四点，利用刻度尺量得该纸条宽为，，．则纸杯的直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查垂径定理的应用，勾股定理，由垂径定理求出，的长，设，由勾股定理得到，求出x的值，得到的长，由勾股定理求出长，即可求出纸杯的直径长． 【详解】解：如图，设杯口所在圆的圆心为O，的中点为M，的中点为N， 连接，，则，，且过圆心O， ∴，， 由题意，得，设， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴纸杯的直径为． 故答案为：． 12. 如图，在中，，点P是边上一个动点，点D是边的中点，连接，将沿DP翻折，使点A落在点处，当平行于其中一条直角边时，的长为______． 【答案】1或3或9 【解析】 【分析】本题考查轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意平行于其中一条直角边，分类讨论进行计算求解． 【详解】解：， ， ∵D为的中点， ， 如图（1），当时，， 由折叠可知，， ， ， 如图（2），当时，点在点P左侧时，， ， ， ， ， ∴， ∴，即， 解得， 由折叠可知， ， ， ， ∴， ∴， 即， 解得， ； 如图（3），当，点在点P右侧时，取的中点E， 连接，则，． ， ， ，， ∴， ， 由折叠可知， ， ， ． 综上所述，的长为1，3或9， 故答案为：1或3或9． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：． （2）如图，在平行四边形中，E，F分别在上，连接，，求证：． 【答案】（1）3； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∴． ∴． ∴． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和平行四边形．熟练掌握实数混合运算的顺序和法则，平行四边形的性质与判定定理，是解题的关键． （1）先化简算术平方根，0指数幂，30度的正弦，再乘，加减； （2）首先根据平行四边形的性质得到； 由，可得四边形是平行四边形，得，即可得解． 【详解】解：（1）原式． （2）略 14. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，通过分式通分、约分和有理化完成化简与求值，需注意分母的有效性验证．首先将括号内的两个分式通分并合并，然后将除法转换为乘法，约分后得到最简形式．最后代入给定的值进行计算，并注意分母有理化． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 15. 如图是的正方形网格，点A，B均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图（1）中，作出，使得且点C在格点上； （2）在图（2）中，作出，使得且点P在格点上． 【答案】（1） 如图，即为所求： （2） 如图，即为所求： 【解析】 【分析】本题主要运用等腰直角三角形的性质以及构造直角三角形的方法，利用网格的特殊性来作出特定角度和正切值的角． （1）利用等腰直角三角形的性质，借助网格构造等腰直角三角形来确定点C的位置，从而作出； （2）以为斜边，根据正切函数的定义，构造直角边长之比为1：3的直角三角形，从而确定点P的位置，作出． 【小问1详解】 无刻度的直尺以A为顶点，从A出发，向右数4个格，再向下数2个格，确定一个格点C，连接，设网格中每个小正方形的边长为1，与所在直角三角形的直角边长度均为，，根据勾股定理可得，，即，所以是等腰直角三角形，所以； 【小问2详解】 以A为顶点，通过观察网格，找到合适的格点，从A出发，向右数1个格，再向下数1个格，确定一个格点P，连接，，，，即，因此是直角三角形，满足． 16. 为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”活动，诵读材料有《论语》《孟子》《大学》《中庸》，小明和小刚从这四部著作中随机抽取一本诵读． （1）小明抽中《大学》是______事件；（填“不可能”“必然”或“随机”） （2）请用列表或画树状图的方法，求出小明和小刚抽到相同著作的概率． 【答案】（1）随机 （2） 【解析】 【分析】此题考查了用事件的分类和用列表或画树状图的方法求概率，熟练掌握用列表或画树状图的方法求概率是解题的关键． （1）根据事件的分类进行解答即可； （2）《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为，由列表可知，共有16种等可能的情况，小明和小刚抽到相同著作的情况数为4种，根据概率公式即可求出答案． 【小问1详解】 解：诵读材料有《论语》《孟子》《大学》《中庸》，小明和小刚从这四部著作中随机抽取一本诵读．小明抽中《大学》是随机事件； 故答案为：随机 【小问2详解】 《论语》《孟子》《大学》《中庸》分别记为， 列表如下， 由列表可知，共有16种等可能的情况，小明和小刚抽到相同著作的情况数为4种，故小明和小刚抽到相同著作的概率为． 17. 某校举行运动会，计划购买A，B两种奖品，已知购买A种奖品和B种奖品各1个共需65元，购买A种奖品3个和B种奖品2个共需160元． （1）求A，B两种奖品的单价分别是多少元； （2）某校若计划用不超过4000元购买A，B两种奖品共120个，请问至少购买A种奖品多少个． 【答案】（1）A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为35元 （2）至少购买A种奖品40个 【解析】 【分析】本题考查列方程和不等式解决实际问题，需注意解方程时的代入法和解不等式时符号的变化． （1）通过设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元，建立二元一次方程组求解A，B两种奖品的单价； （2）通过设购买A种奖品m个，建立一元一次不等式，结合总数量限制，求解至少购买A种奖品的数量． 【小问1详解】 解：设A种奖品的单价为x元，B种奖品的单价为y元． 依题意可得，解得， 答：A种奖品的单价为30元，B种奖品的单价为35元． 【小问2详解】 解：设购买A种奖品m个． 由题意可得， 解得． 答：至少购买A种奖品40个． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，将点向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点B，点B恰好也落在反比例函数的图象上，轴于点C，交于点D． （1）求反比例函数的解析式； （2）连接，，求的面积． 【答案】（1） （2）9 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数解析式的求解，直角坐标系中坐标的平移，正比例函数解析式的求解，正确求解出点A的坐标是解决本题的关键． （1）先根据坐标平移表示出点B的坐标，再根据点A与点B均在反比例函数上可求解m的值，进而可知点A与点B的坐标，代入函数解析式即可求解． （2）先求出直线的解析式，再求解出点D的坐标，由三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 解：将点向右平移3个单位长度， 此时坐标为， 再向下平移4个单位长度得到点B， 由平移可知． ∵点与均在反比例函数的图象上， ∵，解得． 将代入， 得，解得， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， 把代入，得， ∴直线的解析式为． 又∵，， ∴点D的纵坐标为4． 令，解得， ∴， ∴． 又∵点C到的距离为， ∴． 19. 如图（1）是一款重型订书机，其结构示意图如图（2）所示．其主体部分为矩形，由支撑杆垂直固定于底座上，且可以绕点D旋转．压杆与伸缩片连接，点M在上，压杆可绕点M旋转，，，． （1）不使用时，，测得，求此时的长度； （2）使用时如图3，按压使得，此时点F落在上，测得，求此时伸缩片缩短了多少．（结果精确到，参考数据：） 【答案】（1）的长度为 （2）缩短了 【解析】 【分析】此题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定和性质等知识． （1）过点Q作于点S，于点T，则，求出．在中，，即可得到答案； （2）过点Q作于点J，于点K．求出．，得到，即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图（1），过点Q作于点S，于点T，则， ∵， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． 又∵， ∴， ∴在中，， ∴． 答：此时的长度为． 【小问2详解】 解：如图（2），过点Q作于点J，于点K． ∵， ∴． 又∵， ∴ ∵， ∴． 在中，． 即， ∴． ∵， ， ∴， ∴四边形为矩形， ∴． ∵， ∴． 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ． ∴伸缩片缩短了． 20. 如图，在中，以为直径的与交于点D，延长交于点E，连接，点F为线段上一点，连接，且满足． （1）求证：是的切线； （2）若，，求的半径． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， 又∵为的直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵为的直径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的判定，解直角三角形； （1）由和圆周角定理得到，再根据为的直径，得到，推出，即可证明是的切线； （2）先证明，则，可设，则，根据，解得，则，再根据，可设，则，根据，解得，则直径，即可求出半径． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴可设，则， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴可设，则， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴． ∴的半径为． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 2024年3月22日是第32届世界水日，为了解同学们对节约和保护水资源知识的掌握情况，学校开展了节约和保护水资源的知识竞赛，从全校1500名学生中随机抽取部分学生的竞赛成绩进行调查分析，并将成绩（满分：100分）绘制成如下不完整的统计图表． 答题得分频数分布表 组别 成绩x/分 频数（人数） A 12 B a C 48 D c 答题得分扇形统计图 试根据以上信息解答下列问题： （1）______，______，______； （2）扇形统计图中D所在扇形对应的圆心角的度数为______； （3）所抽取学生成绩的中位数落在______组； （4）估计该校有多少名学生的测试成绩不低于80分？ 【答案】（1）36，40，24 （2） （3）C （4）900名 【解析】 【分析】（1）先通过A组的频数和频率求出总人数，再根据总人数和各部分的频率或关系求出的值； （2）根据D组的频率求出其圆心角的度数； （3）根据中位数的定义判断中位数所在的组； （4）根据组的频率和总人数估计成绩不低于80分的学生人数． 【小问1详解】 解：总人数为人， ， ，即， ； 故答案为：36，40，24； 【小问2详解】 D组频率为， D组所在扇形对应的圆心角的度数为； 【小问3详解】 总人数为120人， 中位数是第60、61个数的平均数， A组12人，B组36人，两组共人；C组48人，， 中位数落在C组； 【小问4详解】 成绩不低于80分的频率为， 成绩不低于80分的学生人数为名． 【点睛】本题考查了频数分布表、扇形统计图、频率与频数的关系、圆心角的计算、中位数的确定及用样本估计总体等知识点，解题的关键在于准确理解并运用这些概念，通过已知数据推算未知量，特别是利用频率与频数的关系求解总人数及各组具体人数，进而计算圆心角、确定中位数位置和估算总体数量． 22. 课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理： 对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小华同学画出了图形（如图（1）），并写出了“已知”和“求证”，请你完成证明过程． 已知：在中，对角线． 求证：是矩形． 知识应用 （2）如图（2），已知四边形为平行四边形，点E是延长线上一点，延长到点F，使，连接，恰好平分，点H为的中点，连接交于点G． ①求证：平行四边形为矩形； ②当，时，求的长． 【答案】 （1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形． （2）证明：∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵四边形为平行四边形， ∴四边形是矩形； 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质和已知条件判定，推出，利用平行线的性质得到，即可判定是矩形； （2）①先由平行四边形的性质得，则，再由角平分线的性质得，则，，进而得，再根据矩形的判定即可证明； ②方法一：如图（1），取的中点P，连接，先由勾股定理得，则，，再根据中位线的判定和性质得，，则，利用相似三角形的判定与性质得到，再求得，，最后由勾股定理可求的长； 方法二：如图（2），延长，交于点M，证明得，，由勾股定理求出、的值，进而可得答案． 【详解】（1）略 （2）①略 ②方法一：如图（1），取的中点P，连接， ∵，，四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵点P是的中点，点H是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴在中，； 方法二：如图（2），延长，交于点M， ∵H为的中点， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，，四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，平行线的性质，相似三角形的判定与性质，三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 六、解答题（本大题共12分） 23. 二次函数（）的图象交轴于原点及点． （1）求点的坐标． （2）若二次函数（）的图象经过，求该二次函数的解析式． （3）在（2）的条件下，二次函数的图象记为，将绕点旋转后的图象记为，将，合起来得到的图象记为，完成以下问题： ①抛物线的函数解析式为______（不用写自变量的取值范围）． ②若直线与有三个交点，把这三个交点的横坐标从左至右依次记为与，且，求的值． ③若点，在上，且，请直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）；或；③ 或 【解析】 【分析】（1）求二次函数与轴交点，二次函数，令对所得到的代数式进行因式分解，求解，即可得出结果； （2）将点代入到二次函数解析式，即可得出； （3）利用顶点关于对称，且开口大小相同，方向相反即可得到解析式； 分别讨论、和三种情况，然后，对等式去绝对值进行计算，即可得出结果； 点，横坐标相距单位长度，结合和的对称轴和分别讨论点的横坐标位置，即可得出的取值范围． 【小问1详解】 解：令， 得， ． 【小问2详解】 二次函数（）的图象经过， ，解得， 该二次函数的解析式为． 【小问3详解】 ① （或） 由（2）知，的函数解析式为， 的顶点坐标为． ∴由绕点旋转得到， ∵与的顶点关于点对称，且与的开口大小相同、方向相反， ∴的顶点坐标为， ∴的函数解析式为． ② 直线与有三个交点， 由图象可知． 当时，由图象可知直线与的三个交点的横坐标为与均大于， 不妨记这三个点从左至右依次为 ， ． 由图象可知点，在上，点在上， 由抛物线的对称性可知， ， ． 当时，由图象可知直线与的三个交点的横坐标为， 与均大于，不妨记这三个点从左至右依次为 ． ， 由图象可知点在上，点在上， 由抛物线的对称性可知， ， ． 当时，易知， ，不符合题意，舍去． 综上所述，或． ③ 或 方法一：结合图象可知， 当点均在上时， ，的对称轴为直线，的开口向上， 点到直线的距离大于点到直线的距离， 且点在直线的左侧． 当点在直线的左侧时， 由二次函数的性质可得，符合题意，此时，即． 当点在直线的右侧时，，即． 故当点均在上时，． 当点均在上时， ，的对称轴为直线，的开口向下， 点到直线的距离小于点到直线的距离， 且点在直线的右侧， 当点在直线的右侧时，由二次函数的性质可得，符合题意，此时． 当点在直线的左侧时，，即． 故当点均在上时，． 当点在上，点在上时，易知，不符合题意． 综上，的取值范围为或． 方法二：结合图象可知，当点均在上时， ，的对称轴为直线， 点连线的中点在直线的左侧， ，即． 当点均在上时， ，的对称轴为直线， 点连线的中点在直线的右侧， ，即． 当点在上，点在上时，易知，不符合题意． 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题关键是掌握二次函数图象的特征，开口方向、对称轴、顶点和图象与轴交点，注意求解过程中运用分类讨论的方法． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $