2025年广东省深圳市龙岗区亚迪学校中考数学二模试卷

2025年广东省深圳市龙岗区亚迪学校中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下列几种著名的数学曲线中，不是轴对称图形的是(    ) A. 蝴蝶曲线 B. 笛卡尔心形线 C. 科赫曲线 D. 费马螺线 2.如图，已知且AB与EF不垂直，则与相等的角有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3.据专业数据统计，截止4月14日16时01分，电影《哪吒之魔童闹海》上映76天，全球票房亿，距离全球影史TOP4《泰坦尼克号》不到8亿.数据亿用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 4.下列选项中的尺规作图，能推出的是(    ) A. B. C. D. 5.适量的运动有助于身体健康.经常运动的人在静息状态下心率的范围是次/分、某班班主任随机测量了15名学生的心率，统计结果如下表所示： 心率次/分 60 68 70 73 80 人数/名 2 5 5 1 2 这15名学生的心率的中位数是(    ) A. 65次/分 B. 次/分 C. 70次/分 D. 次/分 6.在一个不透明的箱子里装有m个球，其中红球4个，这些球除颜色外都相同，每次将球搅拌均匀后，任意摸出一个球记下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到红球的频率在，那么可以估算出m的值为(    ) A. 8 B. 12 C. 15 D. 20 7.如图，在长为20，宽为15的长方形中，有形状、大小完全相同的5个小长方形，若求阴影部分的面积，应先求一个小长方形的面积，设小长方形的长为x，宽为y，根据题意，下列方程组正确的是(    ) A. B. C. D. 8.航天员也能“点外卖”：北京时间2024年11月15日23时13分，搭载天舟八号货运飞船的长征七号遥九运载火箭，在我国文昌航天发射场点火发射，约10分钟后，天舟八号货运飞船与火箭成功分离并进入预定轨道，之后飞船太阳能帆板顺利展开，发射取得圆满成功.当天火箭从地面到达点A处时，在P处测得A点的仰角为，A与P两点的距离为10千米；它沿铅垂线上升到达B处时，此时在P处测得B点的仰角为，则天舟二号从A处到B处的距离AB的长为参考数据： A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 9.写出一个以为根的一元二次方程：______. 10.若是一个整数.则n可取的最小正整数是      . 11.如图，在矩形ABCD中，，，以点A为圆心，AD的长为半径画弧交边BC于点E，则图中阴影部分的面积是______结果保留 12.如图，两块直角三角尺叠放于平面直角坐标系中，，反比例函数恰好经过点C，若的面积为，则      . 13.如图，在中，，，，先将沿AC翻折到处，再将沿翻折到处，过点C作交于点D，则CD的长是______. 三、计算题：本大题共1小题，共6分。 14.计算： 四、解答题：本题共6小题，共55分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题7分 先化简，再求值：，其中 16.本小题8分 2024年秋季学期伊始，深圳市教育局在全市义务教育阶段3年级年级部分学校扩展至初中阶段推出了“每周半天计划”，巧妙融合校外课程与深度阅读，旨在深化教育内涵，全方位促进学生健康成长与全面发展.开设一段时间后，为了解对课程的期待情况，对下列课程进行了抽样调查：A甘坑小凉帽制作；B梧桐山生态寻踪；C蛇口母港探索海洋奥秘；D东江环保科普基地；E百草园认识中草药材.收回所有的问卷后，将有关数据进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图. 根据图中信息，回答下面问题： 本次调查的学生人数为______； 在一个学期中，某街道共有10800名学生准备参加“每周半天计划”，请估计喜欢“梧桐山生态寻踪”的学生人数； 甲学校准备从A、B、D三门课程中随机选择一门开展“每周半天计划”，乙学校从B、D、E三门课程中随机选择一门开展“每周半天计划”，用表格或树状图求他们选择相同课程的概率. 17.本小题8分 新课标中，数学课程要培养的学生核心素养是“用数学的眼光观察现实世界，用数学的思维思考现实世界，用数学的语言表达现实世界”，这集中体现了数学课程的育人价值，也说明数学和实际生活密不可分.数学老师给小明小组布置了一项数学与实际的作业，让他们到菜市场进行调研，并利用所学的数学知识对销售提出合理化建议.小明小组经调研发现，某店铺蔬菜的售卖情况大致遵循以下规律. 规律一 当每千克蔬菜的售价为8元时，每天能销售80千克. 规律二 当每千克蔬菜的售价每降低元，每天的销售量就会增加10千克. 经小组讨论，发现里面可能存在函数关系，考虑用已学的函数知识帮助店家解决问题. 【建立模型】 设每天销售这种蔬菜的销售额为y元，每千克蔬菜降价x元，求y与x的函数关系式； 【设计方案】 当每千克蔬菜降价多少元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多？最多为多少元？ 【实际需求】 若该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，求这个蔬菜应参考的售价范围. 18.本小题8分 如图，圆内有一点M，弦AB与点M分别位于圆心的异侧. 尺规作图：作过点M的弦CD，使得不写作法，保留作图痕迹； 在中，若该圆的半径为6，，，求圆被弦AB与CD所夹的面积. 19.本小题12分 如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA，A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系.水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 柱子OA的高度是______米，喷泉最高点距离地面______米； 求喷泉在左侧喷出抛物线的解析式； 如图所示，为了增强喷泉的喷射效果，在距离O点米处安装一个高度为米的石柱柱子的宽度忽略不计，可以看作一条直线，石柱上安装开关G点，当喷泉水流接触到开关时，G点将会喷射出和A点处相同强度的水流点处喷射出的抛物线的大小形状与A点喷射抛物线大小形状相同； ①求此时水池的半径至少为______米，才能使喷出的水流不至于落在池外？水池的半径要求整数； ②若要在O点装射灯射灯照射出来的光线为一条直线，要求射灯照射出的光线穿过三段水流来增加喷泉的观赏性，请写出射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围______. 20.本小题12分 【定义】平行四边形边上一动点与它所在边的对边的两个端点所形成的折线，叫做平行四边形的“对动线”. 例如，如图1，在平行四边形ABCD中，E是AB边上一动点，连接CE、DE，则折线CED叫做平行四边形ABCD的“对动线”.折线CED的长叫做对动线的长. 如图1，菱形ABCD的边长为5，，当时，对动线CED的长为______. 如图2，当时，设此时对动线CED的长为l，菱形的边长为a，当时，求l与a满足的数量关系. 平行四边形ABCD一边的长度为，，E是平行四边形ABCD边上一动点，当E将所在的边分为1：3且满足对动线的夹角与平行四边形的一个内角相等时，直接写出平行四边形另外一边的长度. 答案和解析 1.【答案】D  【解析】解：选项A、B、C均能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 选项D不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 故选： 根据轴对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合． 2.【答案】C  【解析】解：， ， ，， ， 故选： 根据平行线的性质及对顶角相等求解即可． 此题考查了平行线的性质，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 3.【答案】A  【解析】解：亿 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 4.【答案】B  【解析】解：， 点为AC的垂直平分线的上的点． 故选： 利用垂直平分线的性质和基本作图进行判断． 本题考查了作图-基本作图：熟练掌握5种基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线 5.【答案】C  【解析】解：共有15名学生，中位数是第8个数， 这15名学生心率的中位数是70次/分； 故选： 根据中位数的定义直接求解即可． 本题考查了确定一组数据的中位数的能力．一些学生往往对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数． 6.【答案】A  【解析】解：大量重复试验后发现，摸到红球的频率在， 任意摸出一个球，摸到红球的概率为， ， 经检验， 是方程的解，且符合题意． 故选： 根据红球的个数除以总数等于频率，求解即可． 本题主要考查了模拟实验，概率公式，解答本题的关键要明确：在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近． 7.【答案】C  【解析】解：大矩形的长为20， ； 观察图形，可知：， 根据题意可列方程组， 故选： 根据大矩形的长及其内小长方形各边间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题的关键． 8.【答案】D  【解析】解：由题意得：， 在中，，千米， 千米，千米， 在中，， 千米， 千米， 天舟二号从A处到B处的距离AB的长约为千米， 故选： 根据题意可得：，然后在中，利用含30度角的直角三角形的性质可得千米，千米，再在中，利用锐角三角函数的定义求出BD的长，最后进行计算即可解答． 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，含30度角的直角三角形，准确熟练地进行计算是解题的关键． 9.【答案】答案不唯一  【解析】解：形如的一元二次方程都有一个根是2， 当，时，可以写出一个一元二次方程：，即， 故答案为：答案不唯一 根据题意写出一个以为根的一元二次方程即可求解． 本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是关键． 10.【答案】5  【解析】解：是一个整数， 是一个整数， 最小正整数n的值为： 故答案为： 直接利用二次根式的性质化简，再利用二次根式乘法运算法则求出答案． 此题主要考查了二次根式的性质，正确化简二次根式是解题关键． 11.【答案】  【解析】解：在矩形ABCD中，，， ， 在中，， ， ， ， 故答案为： 用矩形的面积减去扇形ADE的面积即可求得阴影部分的面积． 本题考查了扇形的面积的计算及矩形的性质，能够了解两个扇形构成半圆是解答本题的关键，难度不大． 12.【答案】4  【解析】解：过点C作轴，垂足为E， 的面积为， 设，则， ， ， ， ，，， ， 在中，，即， 在中，即，，即， ， 故答案为： 依据题意，过点C作轴，垂足为E，由的面积为，则，设，从而，然后解含角的直角三角形，依次求出OB，OC的长，再求出的度数，求出点C的坐标，即可求得k的值． 本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标和解直角三角形，解题的关键是掌握解含有角的直角三角形，求函数图象上点的坐标． 13.【答案】  【解析】解：在中，，，， ， 由翻折可知，，，， 如图，过C作于点M， 则， ， 在中，， ， 过D作于点N，则， 设，则， ， ， ，即， ， ， 又， ， ， 故答案为： 根据折叠的性质可知，，，，进而可以求出，又可知，，最后解即可． 本题主要考查了折叠的性质、解三角形、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 14.【答案】解：原式   【解析】利用二次根式的性质，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义解答即可． 本题主要考查了实数的运算，二次根式的性质，零指数幂的意义，特殊角的三角函数值和绝对值的意义，正确使用上述法则进行运算是解题的关键． 15.【答案】解： ， 当时，原式  【解析】先把括号里的第一项约分，再通分相加，最后计算除法；然后把字母的值代入化简后的式子中计算出值即可． 本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则与运算顺序是关键． 16.【答案】200人；  1080人；   【解析】本次调查的学生人数为人 故答案为：200人． 由题意得，扇形统计图中C的百分比为， 扇形统计图中B的百分比为， 估计喜欢“简单烹饪”的学生人数约人 列表如下： B D E A B D   共有9种等可能的结果，其中他们选择相同课程的结果有2种， 他们选择相同课程的概率为 用条形统计图中A的人数除以扇形统计图中A的百分比可得本次调查的学生人数． 先求出扇形统计图中B的百分比，再根据用样本估计总体，用10800乘以扇形统计图中B的百分比，即可得出答案． 列表可得出所有等可能的结果数以及他们选择相同课程的结果数，再利用概率公式可得出答案． 本题考查列表法与树状图法、条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体、概率公式，能够读懂统计图，掌握列表法与树状图法、用样本估计总体、概率公式是解答本题的关键． 17.【答案】；  当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元；  这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元  【解析】由题意，每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克， 设降价为x元，则销量增加量为千克 总销量为千克． 又此时售价变为元/千克， 销售额y与x的函数关系式为： 由题意，结合 当时，y取最大值，最大销售额为720元． 答：当每千克蔬菜降价2元时，该店铺每天销售这种蔬菜的销售额最多，最多为720元． 由题意，令， 或 又二次函数的图象开口向下， 该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，则 对应售价为：元至元，即这个蔬菜应参考的售价范围是3元至8元． 依据题意，由每千克蔬菜的售价为8元时，销量为80千克，每降价元，销量增加10千克，则可设降价为x元，故销量增加量为千克，从而总销量为千克，又此时售价变为元/千克，进而可以计算得解； 依据题意，结合，从而可以结合二次函数的性质判断得解； 依据题意，令，则或，又二次函数的图象开口向下，结合该店铺老板希望每天销售这种蔬菜的销售额不低于540元，进而可以判断得解． 本题主要考查了二次函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． 18.【答案】图形见解答；     【解析】如图1：CD为所求； 如图2，过O点作于Q点，于P点，连接OA、OB、OD、OC， 则，， 在中，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， 同理可得， 该圆位于AB和CD之间的图形的面积 延长AM交于F点，再作交于E点，然后延长EC交于D点，则DE满足条件；过O点作于Q点，于P点，连接OA、OB、OD、OC，根据垂径定理得到，，再利用勾股定理计算出OP，所以，于是可判断，然后证明，同理可得，然后根据扇形的面积公式，利用该圆位于AB和DC之间的图形的面积进行计算即可． 本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了平行线的判定与性质、垂径定理和全等三角形的判定与性质． 19.【答案】，；   喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为：；   ①4； ②  【解析】当时，； y最大， 故答案为：，； 方法一：水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，y轴右侧的抛物线的解析式为：，左侧抛物线与右侧抛物线关于y轴对称， 将x换为， 喷泉在左侧喷出抛物线的解析式为：； 方法二：已知抛物线对称轴为直线， 设左侧抛物线解析式为， 左侧抛物线与右侧抛物线关于y轴对称， 顶点坐标是，且， ； ①对于右侧原抛物线， 令，则等式两边同乘4得，即， 根据一元二次方程求根公式其中，，，可得： ， ， ， 当在距离O点米处安装石柱后， 设G点处抛物线为 点高度为米， 把代入可得， 即 当时，， 即， 解得， 取较大值，  比较和，更大， 水池半径要求整数，且要保证水流不落在池外， 水池半径至少为4米． ②设过O点的直线解析式为， 当直线过和右侧原抛物线与x轴正半轴交点时， 斜率， 分母有理化并取绝对值后，，当直线过 和G点喷射抛物线的顶点时， 斜率，取绝对值后， 射灯照射出的光线与水平线夹角正切值的取值范围是 代入，求得y的值，以及y的极值即可； 抛物线关于y轴对称，对于右侧抛物线，将x换为，即可得到左侧抛物线的解析式； ①先求出右侧原抛物线与x轴正半轴的交点，再求出G点喷射抛物线与x轴正半轴的交点，比较两个交点的横坐标，结合整数要求确定水池半径； ②设过O点的直线解析式为，分别求出直线过特殊点原抛物线与x轴交点、G点喷射抛物线顶点时的k值，进而得到正切值的范围． 本题主要考查 二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系、直线与抛物线的位置关系，解题的关键是对于抛物线解析式的求解与变换，要熟练掌握抛物线的对称性，利用对称性来推导不同位置抛物线的解析式；在求抛物线与x轴交点时，能熟练运用一元二次方程的求根公式或因式分解等方法求解方程；分析直线与抛物线的位置关系时，准确找到特殊点如顶点、与x轴交点等，通过这些特殊点确定直线的斜率，进而解决与夹角正切值相关的问题，本题考查知识点较多，难度较大． 20.【答案】    或或或或或或或  【解析】，， 在中，设，由得， ，即，则， 在中，根据菱形的性质， 对动线CED长为： 故答案为： 如图，延长DE和CB交于点 ， ， ， ， ， 和a的数量关系为： 当，时，设，如图，根据点E的分为两种情况：； 过点E作 ①，则， 由可得， ∽， ，即 解得： 在中，，， 解得： 由勾股定理可得：， 即： 解得：， 故 ②，则，， 同理由∽可得， 由和可得，， 由勾股定理可得：，求解关于n的方程可得： 则 故AB的长度为或 当，时，如图： 同理可求BC的长度为：或 当，时，如图： 同理由∽，可求出AB的值为或 当，时，如图： 同理由∽，可求出BC的值为或 综上，平行四边形另外一边的长度为： 或或或为或或或 先根据题意得出，在中根据勾股定理求出EC的长度，进而在中由勾股定理求出DE的长度，即可求出答案． 通过延长DE和CB交于点先根据题意推出，再由平行线分线段成比例求得， 即可由求出结论． 根据题意分类讨论：，；，；，；，由题意得到由“对动线”围成的三角形的相似三角形，再根据相似三角形对应边成比例，结合勾股定理即可求出答案． 本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，平行线分线段成比例等知识点，分类讨论是本题的难点． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$