陕西省西安市灞桥区铁一中陆港初级中学2024-2025学年七年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年陕西省西安市灞桥区铁一中陆港初级中学七年级（下）第一次月考数学试卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.碳纤维复合材料是制作宇森机器人的主要材料，是一种含碳量达的复合材料，我们知道一个碳原子的半径约为把用科学记数法表示为(    ) A. B. C. D. 2.如果一个角的余角是，那么这个角的补角的度数是(    ) A. B. C. D. 3.如图，要把河里的水引到A点，村民选择线段AB，理由是(    ) A. 垂线段最短 B. 两点之间的所有连线中线段最短 C. 经过两点有且只有一条直线 D. 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4.下列图形中、为对顶角的是(    ) A. B. C. D. 5.已知是完全平方式，则m的值为(    ) A. 2 B. 4 C. 8 D. 16 6.下列运算正确的是(    ) A. B. C. D. 7.将一块含有、、的三角尺如图放置，点A、B分别在直线m、n上，下列条件中：①，②，③，④，⑤，能判断的有(    ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8.下列各式能用平方差公式计算的是(    ) A. B. C. D. 9.若，则a的值为(    ) A. B. C. 5 D. 7 10.已知m满足，则(    ) A. 5 B. C. 6 D. 二、填空题：本题共10小题，共38分。 11.计算：      . 12.如图所示的五个角中，的同位角是      . 13.对于任意有理数a、b、c、d，定义一种新运算：，按照这种新运算方式化简，结果是      . 14.如图，将木条a，b与c钉在一起，，，要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是______. 15.已知，则的值为      . 16.如图，两个正方形的边长分别为a、，已知，则图中阴影部分的面积为      . 17.比较       18.已知，则      ，      . 19.代数式的最小值为      ；代数式的最大值为      . 20.将一副三角板中的角和的角叠放在一起，使点C重合，如图所示，其中、、，将三角尺ECD绕点C旋转，当点E在直线AC的下方时，这副三角板会存在一组边互相平行，则的度数为      . 三、计算题：本大题共1小题，共8分。 21.利用乘法公式计算： ； 四、解答题：本题共7小题，共44分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 22.本小题12分 计算 ； ； ； 23.本小题4分 先化简，再求值：，其中， 24.本小题4分 如图，已知直线AB和CD与MN相交，点E是AB上一点，请用尺规作图法在CD上求作一点F，使得保留作图痕迹，不写作法 25.本小题4分 请将解题过程补充完整： 如图，，垂足为D，F是BC上的一点，，垂足为E，且，试说明 解：， ______ ______， ______ 等量代换 ______ 26.本小题5分 某中学为了帮助在校师生妥善安放篮球，在一块长为米、宽为米的小篮球场的边缘修建长方形的篮筐和一个正方形的安全督察岗，其余面积阴影面积进行塑胶场地的修复. 请用m、n表示阴影面积结果化为最简 如果修复费用为200元/平方米，已知米，米，那么修复完毕的塑胶场地需要费用多少元？ 27.本小题6分 如图，直线AB，CD相交于点O，于点 若，求证： 若，求，的度数. 28.本小题9分 光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图1，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由. 七年级同学在一次研学中，发现天花板上有两盏三角形的灯在做旋转运动，如图2所示，已知，，灯ABM绕点A以2度/秒的速度、灯CDN绕点C以5度/秒的速度同时顺时针转动，设时间为t秒，在灯CDN转动一周的时间内，是否存在某时刻，使得边CD与边AB平行？若存在，求出所有满足条件的时间 答案和解析 1.【答案】C  【解析】解： 故选： 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数． 此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 2.【答案】D  【解析】解：一个角的余角是，则这个角为， 这个角的补角的度数是 故选： 先根据题意求出这个角的度数，再根据补角的定义求解即可． 本题考查了余角和补角的定义，解题时牢记定义是关键． 3.【答案】A  【解析】解：根据题意可知，要把河里的水引到A点，村民选择线段AB，理由是垂线段最短． 故选： 根据垂线段最短进行判断即可． 本题考查垂线段最短，理解垂线段最短是正确解答的关键． 4.【答案】C  【解析】解：与，一个角的两边不是另一个角两边的反向延长线，故选项A不符合题意； B.与没有公共顶点，故选项B不符合题意； C.与，一个角的两边是另一个角两边的反向延长线，故选项C符合题意； D.与，一个角的两边不是另一个角两边的反向延长线，故选项，D不符合题意． 故选： 根据对顶角定义解答即可． 本题考查了对顶角，掌握对顶角定义是解题的关键． 5.【答案】D  【解析】解：是完全平方式， 故选： 根据完全平方公式的结构特点求出4的平方即可． 本题考查了完全平方公式的运用，熟练掌握完全平方公式的结构特点是求解的关键． 6.【答案】C  【解析】解：A、，故此选项不符合题意； B、，故此选项不符合题意； C、，故此选项符合题意； D、与不是同类项，不能合并，故此选项不符合题意； 故选： 根据同底数幂的除法法则、幂的乘方与积的乘方法则、单项式乘单项式法则、合并同类项法则分别计算判断即可． 本题考查了单项式乘单项式、幂的乘方与积的乘方、同底数幂的除法、合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 7.【答案】C  【解析】解：，， 不一定等于， 和n不一定平行，故①不符合题意； ，， 不一定等于， 和n不一定平行，故②不符合题意； 过点C作， ， ，， ， ， ，故③符合题意； ， ， ，故④符合题意； ，，， ， ， 故⑤符合题意； 故选： 根据平行线的判定方法和题目中各个小题中的条件，可以判断是否可以得到，从而可以解答本题． 本题考查平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 8.【答案】D  【解析】解：，不满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则A不符合题意， ，不满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则B不符合题意， 不满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则C不符合题意， ，满足两个数的和与这两个数的差相乘的形式，则D符合题意， 故选： 平方差公式：两个数的和与这两个数的差相乘，等于这两个数的平方差，据此进行判断即可． 本题考查平方差及完全平方公式，同底数幂乘法，熟练掌握其表现形式是解题的关键． 9.【答案】A  【解析】解： ， 则， 故选： 将利用多项式乘多项式法则计算后即可求得答案． 本题考查多项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 10.【答案】B  【解析】解：设，， 则， ， 故选： 设，，得到和的值，再完全平方公式求得ab的值，即是答案． 本题考查了整式的混合运算与化简求值，解题的关键是根据运算法则来计算． 11.【答案】4y  【解析】解：原式， 故答案为： 利用单项式除以单项式法则计算即可． 本题考查整式的除法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12.【答案】  【解析】解：由图可得的同位角是 故答案为： 根据同位角的定义判断即可． 本题考查了同位角，内错角，同旁内角等知识点，能熟记同位角的定义是解此题的关键． 13.【答案】  【解析】解：根据新运算的规则， 可得： ， 故答案为： 根据新运算的规则，可得：，再根据整式的混合运算法则计算即可． 本题考查的是整式的混合运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． 14.【答案】  【解析】解：根据平行线的判定定理可知，当时，， ，， ， 所以要使木条a与b平行，木条a旋转的度数至少是时，， 故答案为： 根据同位角相等，两直线平行，求解即可． 此题考查了平行线判定，解题的关键是掌握平行线判定的方法． 15.【答案】36  【解析】解：， ， 故答案为： 将原式利用平方差公式变形后代入数值计算即可． 本题考查平方差公式，将原式进行正确地变形是解题的关键． 16.【答案】14  【解析】解：由题意得，， 故答案为： 根据代入计算即可． 本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． 17.【答案】>  【解析】解：，， ， 故答案为： 把写成，写成，即可比较大小． 本题考查了有理数大小比较以及有理数的乘方，掌握幂的乘方运算法则是解答本题的关键． 18.【答案】 0   【解析】解：因为， 若，代入方程可得：，等式不成立， 所以， 方程两边同时除以x，得： ， 移项可得：， ； 由得：， 故答案为：； 对于第一个空，我们通过对已知方程变形，构造出与所求分式相关的形式，再代入计算；对于第二个空，同样根据已知方程对所求代数式进行变形，然后整体代入求值． 本题考查了因式分解的应用、分式的值，解决本题的关键是将式子进行变形，利用整体代入思想解决问题． 19.【答案】2 3   【解析】解：由题意得， 对于任意实数m都有， 当时，代数式取最小值为 又， 当时，代数式取最大值为 故答案为：2； 依据题意得，，从而可得当时，代数式取最小值为2；又，从而可得当时，代数式取最大值为3，进而得解． 本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． 20.【答案】或或  【解析】解：、、， ， 如图1，， ， ， ， ， 当或时，都有； 如图2，， ，，， ， ； 如图3，点E在BC上，则， ， ， ， ， 综上所述，的度数为或或， 故答案为：或或 由、、，可知，再分三种情况讨论，一是，则，求得，由，得；二是，则，求得；三是点E在BC上，则，由，证明，此时，于是得到问题的答案； 此题重点考查旋转的性质、平行线的性质、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地进行分类讨论并且画出相应的图形是解题的关键． 21.【答案】解：原式； 原式  【解析】此题考查了平方差公式，以及完全平方公式，熟练掌握公式是解本题的关键． 原式变形后，利用完全平方公式展开即可得到结果； 原式变形后，利用平方差公式化简，去括号合并即可得到结果． 22.【答案】10；  ；   ；     【解析】； ； ； ； 先算乘方，再算乘法，最后算加法； 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以这个单项式，再把所得的商相加； 先算乘法，再算加法； 先算完全平方式，再算乘法，最后算减法． 本题考查了整式的混合运算、零指数幂、负整数指数幂，解决本题的关键是按照计算法则和计算顺序计算． 23.【答案】解：原式 ， 当，时， 原式  【解析】原式中括号第一项利用平方差公式化简，合并后利用多项式除以单项式法则计算得到最简结果，将x与y的值代入计算即可求出值． 此题考查了整式的混合运算-化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 24.【答案】见解析．  【解析】解：如图，直线EF即为所求． 作，射线EF交CD于点F，直线EF即为所求． 本题考查作图-复杂作图，平行线的判定，解题的关键是熟练掌握五种基本作图． 25.【答案】垂直的定义  2  同角的余角相等  内错角相等，两直线平行  【解析】解：，， 垂直的定义， ，， 同角的余角相等， ， 等量代换， 内错角相等，两直线平行 故答案为：垂直的定义；2；同角的余角相等；内错角相等，两直线平行． 根据平行线的判定和性质，补齐各步骤的结论和推理依据即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 26.【答案】平方米；   66000元  【解析】 平方米， 即阴影面积为平方米； 当，时， ， 则元， 即修复完毕的塑胶场地需要费用66000元． 利用大长方形的面积减去2块空白部分的面积即可； 将已知数值代入中所得代数式中计算，然后再与200相乘即可． 本题考查整式的混合运算-化简求值，理解题意并列得正确的算式是解题的关键． 27.【答案】见解析；   ，  【解析】证明：， ， ， ， ，即， ， 的度数为， ； 解：， ， ， ，即， 解得， ， 根据垂直定义可得，，结合已知可得，再根据与互补，即可解答； 根据，可得，再根据，，从而求出的度数，即可求出和的度数． 本题考查了垂线，对顶角、邻补角，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键． 28.【答案】光线a与光线b平行， 理由：， 平角的定义， 又， 等式的性质， 根据“内错角相等，两直线平行”，可得光线光线b；   存在某时刻使得边CD与边AB平行，满足条件的时间t为10秒或70秒  【解析】光线a与光线b平行， 理由：， 平角的定义， 又， 等式的性质， 根据“内错角相等，两直线平行”，可得光线光线b； 求满足的时间t， 灯CD转动一周的时间为秒，所以， 情况一：AB和CD在直线EF两侧时， 根据“内错角相等，两直线平行”， 可得， 移项得：， 即， 解得，不符合，舍去， 情况二：AB和CD在直线EF同侧时， 当AB转动的角度比CD转动的角度少因为，且满足平行时，， 移项得：， 即， 解得，符合， 当AB转动超过，CD也转动超过一定角度时， 因为CD转动一周是，超过一周后角度可表示为， 移项得：， 即， 解得，符合， 综上，存在某时刻使得边CD与边AB平行，满足条件的时间t为10秒或70秒． 要判断光线a与光线b是否平行，可通过寻找内错角相等的关系．利用已知的，，结合平角为，推导出内错角相等． 灯AB绕点A以2度/秒的速度、灯CD绕点C以5度/秒的速度同时顺时针转动，分AB和CD在直线EF两侧、同侧两种情况，根据平行线的性质同位角相等、内错角相等列方程求解，同时注意灯CD转动一周的时间为秒，时间t的范围是 本题主要考查了平行线的判定与性质，一元一次方程的应用，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$