1.1.2空间向量的数量积运算课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.2 空间向量的 数量积运算 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 复习 1.空间中两向量共线的充要条件： 2.空间中三向量共面的充要条件： 对任意两个空间向量 ，(≠)，∥的充要条件是存在实数λ， 使＝λ . 两个向量，不共线，那么向量 与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得 ＝x+y. P与A,B 共线 P与A,B,C 共面 （平面向量基本定理） 平面向量及其线性运算 空间向量及其线性运算 推 广 平面向量的数量积运算 空间向量的数量积运算 导入 问题 学习平面向量时，我们是如何研究它的数量积运算的？ 夹角→ 数量积的定义→ 运算律→ 应用 空间向量的夹角 问题1 什么是平面向量的夹角？能类比给出空间向量夹角的概念吗？ 授新 一、 空间向量的夹角 1、定义：如图，已知两个非零向量在空间任取一点，作 ，则叫做向量的夹角，记作. 2、向量夹角范围： 当 时，与同向； 当 时，与反向. 当 时，与垂直，记作. 共起点！ . O α A B 空间向量的数量积 问题2 平面向量的数量积是什么？能类比给出空间向量数量积的运算吗？ 授新 二、 空间向量的数量积 已知两个非零向量与，它们的夹角为，我们把数量叫做向量与的数量积(或内积)，记作，即. 特别地，零向量与任何向量的数量积等于0. 即0. . O A B ①“·”不能省略不写，也不能写成“×”. 注意: ② 数量积的结果为实数，不是向量. （数量积运算是非线性运算） 5 空间向量的数量积的性质 追问1 向量的数量积有哪些性质？ 设,是非零向量，它们的夹角是θ，是与方向相同的单位向量，则 判断两向量垂直 求向量的长度(模) 求两向量的夹角 6 A B A1 D C B1 . O N M M1 ＝||cos<,> 向量在向量上的投影向量： . O α 平面： 空间： 追问2 我们学习了平面向量的投影，你能把它推广到空间向量中吗？ 在空间,可以先将向量平移到同一个平面α内,进而利用平面上向量的投影,得到向量在向量上的投影向量： ＝||cos<,> 7 (2) A B (3) 类似地，可以将向量向直线投影(图(2)) ； 8 (平面)/空间向量的数量积运算律 ① (λ) ·＝λ(·)， λ∈R； ② ·＝·（交换律）; ③ ·(＋)＝·＋·（分配律）. 授新 三、 空间向量的数量积运算律 注：若，则，不一定成立 ; ，不一定成立 ; 由不能得到(或) . 向量没有除法运算 9 例2 如右图，在平行六面体ABCD－A'B'C'D'中, AB = 5， AD = 3, AA'= 7, ∠BAD = 60°, ∠BAA'= ∠DAA'= 45°. 求：(1)；(2) AC'的长. 例题 解:(1); (2) . (3) 变式：求的长. 用已知向量表示所求向量，再由数量积运算求模长，是立体几何中求线段长度的常用向量方法. 例2 如右图，m，n是平面α内的两条相交直线. 如果 l⊥m， l⊥n，求证： l⊥平面α. m n l α 例题 g 证明： 在α内作任意一条直线g， 分别在直线l, m, n, g上取非零向量. 因为直线m与n相交，所以向量不平行， 由向量共面的充要条件可知，存在唯一的有序实数对(x,y)， 使. 将上式两边分别与向量作数量积运算，得 m n l α 例题 g 证明： 将上式两边分别与向量作数量积运算，得 ∵，， ∴. 所以. 这就证明了直线垂直于平面内的任意一条直线，所以. 例2 如右图，m，n是平面α内的两条相交直线. 如果 l⊥m， l⊥n，求证： l⊥平面α. 用向量表示直线，用 向量数量积为零刻画直线的垂直，是立体几何中的常用向量方法. m n l α g 练习 书本P8 1. 如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，若 ，则AB1与BC1 所成角的大小为( ). (A) 60° (B) 90° (C) 105° (D) 75° A C B A1 C1 B1 ∴AB1与BC1所成角为90°. B 15 练习 书本P8 B D A C 16 练习 书本P9 3. 如图, 在平行六面体ABCD-A′B′C′D′中, AB=4, AD=3, AA′=5, ∠BAD=90°, ∠BAA′=∠DAA′=60°. 求: (1) ；(2) AB′的长； (3) AC′的长. A C D B C′ D′ B′ A′ 17 练习 书本P9 4. 如图，线段AB，BD在平面α内，BD⊥AB，AC⊥α，且AB=a，BD=b，AC=c，求C，D两点间的距离. 18 练习 书本P10 9、如图，在四面体中，，，求证：. (法1) (法2) 19 (1) 空间向量的夹角及数量积运算的定义； (2) 空间向量数量积运算的运算律； (3) 空间向量数量积运算的应用. 总结 1 空间向量的数量积运算 2 类比平面向量的研究方法 类比 猜想 证明或转化 推广 20 $$