1.1.2 空间向量的数量积运算-课后达标检测-【优学精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册教用课件（人教A版）
2025-12-02
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27页
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教辅
资源信息
| 学段 | 高中 |
|---|---|
| 学科 | 数学 |
| 教材版本 | 高中数学人教A版选择性必修第一册 |
| 年级 | 高二 |
| 章节 | 1.1.2 空间向量的数量积运算 |
| 类型 | 课件 |
| 知识点 | - |
| 使用场景 | 同步教学-新授课 |
| 学年 | 2025-2026 |
| 地区（省份） | 全国 |
| 地区（市） | - |
| 地区（区县） | - |
| 文件格式 | PPTX |
| 文件大小 | 1.79 MB |
| 发布时间 | 2025-12-02 |
| 更新时间 | 2025-12-02 |
| 作者 | 拾光树文化 |
| 品牌系列 | 优学精讲·高中同步 |
| 审核时间 | 2025-12-02 |
| 下载链接 | https://m.zxxk.com/soft/55202810.html |
| 价格 | 3.00储值（1储值=1元） |
| 来源 | 学科网 |
摘要：
该高中数学课件聚焦空间向量及其应用，涵盖数量积运算、夹角计算及空间几何体中的向量表示，从基础异面直线向量垂直问题入手，逐步过渡到四面体、正方体、正三棱锥等复杂几何体的综合应用，搭建由易到难的学习支架，帮助学生构建知识脉络。
其亮点在于通过分层检测题（基础达标、最后五题检测等），结合数学思维（如四面体中向量分解推导夹角的推理能力）和数学语言（规范的向量符号表达与运算过程），培养学生空间观念与运算能力。例如第3题用向量分解求∠BAC，第8题通过模长不等式求解参数范围，教师可用于分层教学，学生能逐步提升解决复杂问题的能力。
内容正文：
课后达标检测
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1.已知，是异面直线，，，分别为直线， 上的单位向量，且
，，，则实数 的值为( )
A. B.6 C.3 D.
解析：选B.由题意得，，则，因为 ，所以
，即 ，所以
，所以，解得 .
√
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2.在四面体中，， , ，
则 ( )
A. B. C. D.
解析：选C.由题知，， ,所以
，解得
,又 ,所以 .
√
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3.如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱， 是一条侧棱，
是上底面上其余的八个点，则集合, ,
2,3, , 中的元素个数是( )
A.7 B.5 C.3 D.1
√
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解析：选D.方法一：由题图可知， ，则
，因为正方体棱长为1，
，所以， ，故
集合，,2,3, , 中的元素个数为1.
方法二：由向量数量积的几何意义知， ,同理知
，所以所求集合中的元素个数是1.
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4.如图，在平行四边形 中，
， ,沿着它
的对角线将 折起，当二面
A.2 B. C. D.
解析：选B.根据垂直关系，与的夹角，即为二面角 的平
面角，且，，， ，
所以 .
角的大小是 时，则, 两点间的距离为( )
√
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5.在正三棱锥中，是的中心， ，则
( )
A. B. C. D.
√
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解析：选D.
在正三棱锥中，为 的中心，
， ，因为
平面，而， 平面 ，于是
，，且在 中，
，所以
.
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6.（多选）已知正方体的中心为， ，则满足
的 可以是( )
A. B. C. D.
解析：选 .
由 ，正方体如图所示，根据
向量数量积的几何意义有 ，
，
， ,
综上，满足的可以是, .
√
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7.已知点在以为直径的球面上，若，则 ____.
解析：方法一：由点在以为直径的球面上，得 ，所以
，所以 .
方法二：由题意得，因为在上的投影向量为 ，
所以,即 .
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8.已知空间三个向量,,的模均为1，它们相互之间的夹角均为 .若
，则 的取值范围为___________________.
解析：因为，，的模均为1，它们之间的夹角均为 ，所以
，.又 ,所以
,即,解得或 .
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9.正三棱柱中，底面边长为，侧棱长为，若 ，
则 ____.
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解析：如图,
由题意,，且, ，
,,则， ，
又，即，所以 ，即
.
，解得 ，即
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10.（13分）已知不共面的三个单位向量,, 两两之间的夹角均为
, ， .
（1）求证： ；（6分）
解：证明：因为，所以，所以，即 .
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（2）求, .（7分）
解：因为 ，
，
.
所以， .
所以, .
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11.（多选）在正方体 中，下列结论正确是( )
A.
B.
C.与的夹角为
D.正方体的体积为
√
√
√
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解析：选.设正方体的棱长为 ，
对于A，
正确；
对于B，
，A
，B正确；
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对于C，由于是等边三角形，所以与的夹角为 ，C正
确；
对于D， ，所以D错误.
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12.如图所示，已知 平面， ， ，
则向量在向量 上的投影向量是 _____.
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解析：在 中，由余弦定理得
，，而 平面，，故 ，
，在中， ，
即 ，
得,所以,,故向量在向量 上的投影向量
是 .
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13.（13分）如图，在空间四边形中，， 分
别为，的中点，点为 的重心，设
，， .
（1）试用向量，，，表示向量 ；（5分）
解：
.
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（2）若，， ，求
的值.（8分）
解：
，
，
.
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14.（15分）如图，正三棱柱中，底面边长为 .
（1）设侧棱长为1，求证： ；（7分）
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证明：由已知得，，因为 平面
，, 平面 ,
所以， ，
又因为是正三角形，所以,, ,
所以 ，
，
所以，即 .
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（2）设与的夹角为 ，求侧棱的长.（8分）
解：由（1）得, ，
又 ，
，
所以，，解得 或0
（舍去），所以侧棱长为2.
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15.如图，这是缠线用的线拐子，在结构简
图中，线段与线段 所在直线异面垂
直，，分别为， 的中点，且
， .使用线拐子时使丝线
A. B. C. D.
从点出发，依次经过，，，又回到点 .这样一直循环，丝线缠好后
从线拐子上脱下，这称为“束丝”.若图中 ，则丝线
缠一圈的长度为( )
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解析：选A.由题意可知，， ，所以
，因为，所以 ，
所以，同理可得，， ，所以
丝线缠一圈的长度为 .
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