1.1.1空间向量及其线性运算课件-2024-2025学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

1.1.1 空间向量 及其线性运算 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 请注意： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 1 导入 我们已经学习过平面向量的概念和线性运算，你能类比平面向量研究空间向量吗？ 飞行员在滑翔过程中，会受到来自不同方向、大小各异的力，例如绳索的拉力、风力、重力等。显然，这些力不在同一个平面内。联想用平面向量解决物理问题的方法，能否把平面向量推广到空间向量，从而利用空间向量研究滑翔运动呢? 平面向量的概念 空间向量的概念 问题1 平面向量是什么？你能类比平面向量给出空间向量的概念吗？ 平面内，既有大小又有方向的量，称为平面向量，平面向量的大小叫做向量的长度或模， 记作 或 ||. 空间中，既有大小又有方向的量，称为空间向量，空间向量的大小叫做向量的长度或模， 记作 或||. 授新 一、 空间向量的相关概念 3 平面向量的表示法 空间向量的表示法 (1)有向线段 (1)有向线段 A (起点) B (终点) a (2)字母 a，b，c，… (3)坐标表示：a＝(x，y) (2)字母 a，b，c，… (3)坐标表示：a＝(x，y，z) a c b 印刷体： a 手写体： 追问1 如何表示平面向量？你能类比平面向量的表示，给出空间向量的表示吗？ 印刷体： a 手写体： 4 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 零向量： 单位向量： 相等向量： 相反向量： 追问2 从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念. 你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？ 模为 0 的向量，记作 ；零向量的方向任意； 模为 1 的向量； 模和方向都相同的两个向量，记作 ＝； 模相同，方向相反的两个向量，记作＝－ ； 5 平面向量的相关概念 空间向量的相关概念 追问2 从平面向量的概念出发，我们又学习了不少新的概念. 你还记得有哪些吗？你能把这些概念推广到空间向量中吗？ 共线向量：方向相同或相反的两个非零向量，叫做共线向量或平行向量，记作 ∥； 规定，零向量和任意向量共线. 共线向量：若表示空间向量的 有向线段所在直线平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量，记作 ∥； 规定，零向量和任意向量共线. 6 练习 判断正误： （1）空间中任意两个单位向量必相等. （2）若，则的方向相同或相反 （3）若，，则有. （4）若，，则有. × × × √ 7 问题2 在学习完平面向量的相关概念以后，我们研究了平面向量的线性运算.你能类比平面向量，研究空间向量的线性运算吗？ 授新 追问1 平面向量的线性运算有哪些？我们如何研究这些运算？ 平面向量的线性运算有加法、减法和数乘运算. 先研究它们的定义及运算法则，再研究它们的运算律. 二、 空间向量的线性运算 8 转化 平面向量的线性运算 空间向量的线性运算 a b . O α 授新 二、 空间向量的线性运算 9 追问2 平面向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则分别是什么？你能类比它们得出空间向量的加法、减法和数乘运算的定义及运算法则吗？ 平面向量、空间向量的线性运算 法则：三角形和平行四边形法则； b (1) (2) 1.加法： 2.减法： 10 平面向量、空间向量的线性运算 b 向量不等式： 反向 同向 同向 向 推广：__________. 11 平面向量、空间向量的线性运算 3.数乘运算：实数λ与平面向量的积是一个向量，记作λ，其长度和方向规定如下： ① |λa|＝|λ||a|； ②若λ > 0，λa与a的方向相同； 若λ < 0，λa与a的方向相反； 若λ＝0，λa＝. 12 平面向量、空间向量的线性运算及运算律 与平面向量一样，空间向量的线性运算满足以下运算律 （其中）： 交换律： 结合律： 分配律： 13 a c b 追问3 如何证明空间向量的加法结合律呢？ a c b 在平行六面体 ABCD－A'B'C'D'中，记 则 所以有：. 追问3 如何证明空间向量的加法结合律呢？ 15 一般地，对于三个不共面的向量 ，，，以任意点 O为起点，，为邻边作平行六面体，则++等于以O为起点的平行六面体对角线所表示的向量. a c b 授新 16 练习 书本P5 A C D B C′ D′ B′ A′ • E • F 17 练习 书本P5 A C D B C′ D′ B′ A′ 18 练习 书本P5 C D B F E A 4.如图，已知四面体ABCD，E，F分别是BC，CD的中点，化简下列表达式，并在图中标出化简结果的向量. = 19 练习 书本P5 5.如图，已知正方体ABCD−A'B'C'D'，E，F分别是上底面A'C'和侧面CD'的中心，求下列各式中x，y的值. B D C A′ B′ C′ D′ A E • • F 20 问题3 平面向量的线性运算可以解决平面中的很多问题，空间向量的线性运算是否可以解决空间中的相关问题呢？ 授新 追问1 对任意两个空间向量，如果，与 有什么位置关系？反过来，，有什么位置关系时，? 平面向量共线定理 空间向量共线定理 对任意两个平面向量，(≠)，∥的充要条件是存在实数λ， 使＝λ . 对任意两个空间向量 ，(≠)， ∥的充要条件是存在实数λ， 使＝λ . 三、 向量共线定理 21 授新 向量共线定理 题型：判断向量共线或三点共线 推论：若三点共线，为直线外一点，， 则__. 1 对任意两个空间向量 ，(≠)，∥的充要条件是 存在实数λ，使＝λ . 22 授新 四、 直线的方向向量 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量， 我们把与向量平行的非零向量称为直线的方向向量. 这样，直线上任意一点都可以由直线上的一点和它的方向向量表示，也就是说，直线可以由其上一点和它的方向向量确定. 如图，是直线上一点，在直线上取非零向量，则对于直线上任意一点，由数乘向量的定义及向量共线的充要条件可知，存在实数，使得. • • 说明： (1) 直线的方向向量一定是非零向量； (2) 一条直线的所有方向向量都互相平行. 23 授新 五、 共面向量 向量平行于直线： 如果表示向量的有向线段所在的直线与直线平行或重合，那么称向量平行于直线. 向量平行于平面： 如果直线平行于平面或在平面内， 那么称向量平行于平面. 共面向量： 平行于同一个平面的向量，叫做共面向量. 追问1：共面向量所在直线是何位置关系？ 平行、重合、相交或异面 24 追问2 任意两个空间向量都可以通过平移，移到同一平面内，三个向量呢？ 任意两个空间向量总是共面的，但三个空间向量既可能共面，也可能不共面. a b . O α c p 如何判断三个向量是否共面呢？ 25 追问3 你还记得平面向量基本定理的内容吗？它和三个空间向量共面有什么关系？ a b . O α p ＝x+y a b . O α p 若 在α内，则有 ＝x +y； p 若 ＝x +y，则在α内. 26 平面向量基本定理 空间向量共面的充要条件 若向量，是平面α内两个不共线的向量，则α内任意一个向量，存在唯一的有序实数对 (x，y) ，使得： ＝ +y. 两个向量，不共线，那么向量 与向量，共面的充要条件是存在唯一的有序实数对 (x，y)，使得： ＝x+y. A B C 27 授新 向量共面定理 题型：判断三向量共面或四点共面 推论：对于不共线的三点A,B,C和面ABC外一点O， 空间一点P在平面ABC内的充要条件是 +，且__. 1 对空间任意两个不共线的向量，，向量 与向量 共面充要条件是存在唯一的有序数对(x，y)，使 =x+y. A B P C O 28 总结 A，B，P三点共线的充要条件是什么？ P与A,B,C 共面 P与A,B 共线 P与A，B，C四点共面的充要条件是什么？ 29 例1 如右图，已知平行四边形ABCD，过平面AC外一点O作射线OA ，OB ，OC ，OD，在四条射线上分别取点E ，F ，G ，H，使 . 求证： E ，F ，G ，H 四点共面. 例题 30 追问1 如何证明E ，F ，G ，H 四点共面？ 追问2 如何证明这三个向量共面？ 根据向量共面的充要条件，用 表示 即可. 可以通过证明 这四点构成的三个向量，如 共面，来证明这四点共面. 四点共面→有公共起点的三个向量共面 31 证明:因为四边形ABCD是平行四边形， 所以 . 因此， 因此， 共面，即 四点共面. 因为 ，所以 32 选择恰当的向量表示问题中的几何元素，通过向量运算得出几何元素的关系，是用向量解决立体几何问题的常用方法. 总结 证明空间三向量共面或四点共面的三种思路 33 巩固 1、在下列命题中正确命题的个数为(　　) ①若、共线，则、所在的直线平行； ②若、所在的直线是异面直线，则、一定不共面； ③若、三个向量两两共面，则三个向量一定也共面； ④已知两向量、，则空间任意一个向量， 总可以唯一表示为＝x＋y. A.0 B.1 C.2 D.3 A 或重合 任意两个向量必共面 34 巩固 2、已知非零向量不共线，如果，，，求证：四点共面. 证明：令， 则 因为不共线，所以解得. 所以，所以四点共面. 35 巩固 4、如图，已知E，F，G，H，分别为四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四点共面. 书本P10 36 (1) 空间向量的概念： 定义；表示法；相关概念. (2) 空间向量的线性运算： 加、减、数乘运算及其运算律. (3) 线性运算的应用： 直线的方向向量；向量共面. 类比 猜想 证明或转化 推广 总结 1 空间向量及线性运算 2 类比平面向量的研究方法 37 (2)空间一点P在平面ABC内的充要条件是存在有序实数组(x，y，z)使得eq \o(OP,\s\up15(→))＝xeq \o(OA,\s\up15(→))＋yeq \o(OB,\s\up15(→))＋zeq \o(OC,\s\up15(→))(其中x＋y＋z＝1)． (3)四点中任意两点的方向向量与另外两点的方向向量共线，如eq \o(PA,\s\up15(→))∥eq \o(BC,\s\up15(→)). (1)存在有序实数对(x，y)，使得eq \o(AP,\s\up15(→))＝xeq \o(AB,\s\up15(→))＋yeq \o(AC,\s\up15(→)). $$