1.1 1.1.1 第2课时 共线向量与共面向量-【正禾一本通】2025-2026学年高二数学选择性必修第一册同步课堂高效讲义配套课件（人教A版）

该高中数学课件聚焦空间向量与立体几何，通过合作探究任务导入，结合知识梳理夯实基础，典例解析深化理解，构建从概念到应用的学习支架，帮助学生衔接前后知识。 其亮点在于PPT支持任意编辑便于教师个性化教学，合作探究任务培养数学思维和探究意识，课后分层练落实应用意识。例如探究任务引导学生抽象空间向量关系，分层练习适配不同水平，助力学生发展理性思维，教师提升教学效率。

《正禾一本通》 高中同步高效导学案 数学（人教）·选择性必修一 1 第一章 空间向量与立体几何 2 《正禾一本通》PPT均可实现任意编辑，方法如下： 在PPT编辑模式中，双击需编辑内容，呈现word文档，编辑后关闭word文档即可。 目 录 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 合作探究·思维进阶 学以致用·课堂评价 课后分层练 32 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1．1　空间向量及其运算 1．1．1　空间向量及其线性运算 第2课时　共线向量与共面向量 学习目标　1.掌握共线向量定理，会证明空间三点共线，以培养数学抽象、逻辑推理能力．(重点)　2. 掌握共面向量定理，会证明空间四点共面，以提升数学抽象、逻辑推理能力．(重点、难点) 　 共线向量 如图，在同一个平面内的三个非零向量a，b，c是一组共线向量，任作一条与向量a所在直线平行的直线l，在l上任取一点O，则可在l上分别作出＝c，则向量b，c都可以平移到直线l上．这说明同一平面内，一组共线向量的有向线段所在的直线互相平行或重合． 问题1　平面向量共线的充要条件是什么？你能类比得出空间向量共线的充要条件吗？ 提示：对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 问题1　平面向量共线的充要条件是什么？你能类比得出空间向量共线的充要条件吗？ 提示：对任意两个平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 1．定义 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 ，那么这些向量叫做 或平行向量． 2．两个空间向量共线的充要条件 对任意两个空间向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. 3．直线l的方向向量 在直线l上取非零向量a，把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量． 平行或重合 共线向量 温馨提示 (1)直线可以由其上一点和它的方向向量确定． (2)非零向量a，b共线时，表示向量a，b的两条有向线段不一定在同一条直线上. 例1　如图，四边形ABCD和ABEF都是平行四边形，且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，则与是否共线？ 解：方法一　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴.① 又∵，② ①＋②得2，∴∥，即与共线． 方法二　∵M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD和ABEF都是平行四边形， ∴－＝＝＝. ∴∥，即与共线. 类题通法 1．判断向量a，b共线的方法 (1)定义法，即证明a，b所在直线平行或重合． (2)利用“a＝λb⇒a∥b”判断． 2．证明空间三点P，A，B共线的思路 (1)． (2) (3) 【迁移运用】 1.(1)已知A，B，P三点共线，O为直线外空间任意一点，若，求证：α＋β＝1. 证明：由A，B，P三点共线，得， 即＝t，整理得＝(1－t). 又因为， 所以α＝1－t，β＝t，所以α＋β＝1. (2)如图所示，已知四边形ABCD是空间四边形，E，H分别是边AB，AD的中点，F，G分别是边CB，CD上的点，且.求证：∥. 证明：因为E，H分别是边AB，AD的中点， 所以， 则＝＝＝，所以∥. 　空间向量的共面问题 问题2　空间任意两个向量是共面向量，则空间任意三个向量是否共面？ 问题3　对两个不共线的空间向量a，b，如果p＝xa＋yb，那么向量p与向量a，b有什么位置关系？反过来，向量p与向量a，b有什么位置关系时，p＝xa＋yb? 提示：不一定，如图所示，空间中的三个向量不共面． 提示：共面；共面． 1．共面向量定义：平行于 的向量． 2．共面向量定理：如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 . 同一个平面 p＝xa＋yb 角度一　 共面的判断 例2　如图所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，点M，N分别在对角线BD，AE上，且BM＝AE.求证：向量共面． 证明：因为M在BD上，且BM＝BD， 所以. 同理. 所以. 又与不共线， 根据向量共面的充要条件可知共面． 类题通法 证明三个向量共面，就是证明其中一个向量由另外两个向量 的线性运算得出． 2.证明四点P，M，A，B共面的等价结论 . 　 【迁移运用】 2.如图所示，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，M为DD1的中点，N∈AC，且AN∶NC＝2，求证：A1，B，N，M四点共面． 证明：设＝c，则＝b－a， 因为M为DD1的中点，所以， 又因为AN∶NC＝2， 所以(b＋c)， 所以(b＋c)－a＝(b－a)＋＝， 所以为共面向量． 又因为三个向量有相同的起点A1，所以A1，B，N，M四点共面． 角度二　由共面求参数 例3　平面α内有五点A，B，C，D，E，其中无三点共线，O为空间一点，满足，则x＋3y等于(　　 ) A． B． C． D． 解析：选B．由点A，B，C，D共面得x＋y＝ eq \f(1,2)，又由点B，C，D，E共面得2x＋y＝ eq \f(2,3)，联立方程组解得x＝ eq \f(1,6)，y＝ eq \f(1,3)，所以x＋3y＝ eq \f(7,6). 类题通法 若已知点P在平面ABC内，则有，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系数法求出参数. 【迁移运用】 3.对于不共线的三点A，B，C和平面ABC外的一点O，空间一点P满足关系式，求证：点P在平面ABC内的充要条件是x＋y＋z＝1. 证明：①充分性： ∵可变形为＝(1－y－z)， ∴＝y＋z， ∴， ∴点P与A，B，C共面． ②必要性： ∵点P在平面ABC内，不共线的三点A，B，C， ∴存在有序实数对(m，n)使＝m＋n， ∴＝(1－m－n)， ∵，点O在平面ABC外， ∴不共面， ∴x＝1－m－n，y＝m，z＝n，∴x＋y＋z＝1. 1．下列命题中正确的是(　　 ) A．若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 B．向量a，b，c共面，即它们所在的直线共面 C．若两个非零空间向量与满足＝0，则∥ D．若a∥b，则存在唯一的实数λ，使a＝λb 解析：选C．A中，若b＝0，则a与c不一定共线，故A错误； B中，共面向量的定义是平行于同一平面的向量，表示这些向量的有向线段所在的直线不一定共面，故B错误； C中，∵＝0，∴，∴与共线，故∥，故C正确； D中，若b＝0，a≠0，则不存在λ，使a＝λb，故D错误． 2．(易错题)对于空间的任意三个向量a，b，2a－b，它们一定是(　　 ) A．共面向量 B．共线向量 C．不共面向量 D．既不共线也不共面的向量 解析：选A．由向量共面定理可知，三个向量a，b，2a－b为共面向量． 3．已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，有，则x的值为(　　 ) A．1 B．0 C．3 D． 解析：选D．∵，且M，A，B，C四点共面，∴x＋＝1，∴x＝. 4.设a，b是空间中两个不共线的向量，已知 ＝a－2b，且A，B，D三点共线，则实数m＝________． 解析：因为＝a－2b， 所以＝－2a－b－(a－2b)＝－3a＋b， 因为A，B，D三点共线， 所以存在实数λ，使得即9a＋mb＝λ(－3a＋b)． 因为a与b不共线，所以解得m＝λ＝－3. 答案：－3 空间中P，A，B，C四点共面的充要条件 (链接教材P4“探究”栏目) (1)存在有序实数对(x，y)，使(A，B，C三点不共线)或对空间任意一点O，有(A，B，C三点不共线)． (2)对空间任意一点O(O∉平面ABC)，存在有序实数组(x，y，z)，使(A，B，C三点不共线)，其中x＋y＋z=1. 【基础巩固】 1．(2025·福州高二检测)已知空间向量a，b，且＝7a－2b，则一定共线的三点是(　　 ) A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 解析：选A．因为＝a＋2b，所以，所以A，B，D三点共线． 2．在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，向量是(　　 ) A．有相同起点的向量 B．等长向量 C．共面向量 D．不共面向量 解析：选C．因为，且，所以，即.又因为与不共线，所以三向量共面． 3．(多选)下列命题为真命题的是(　　 ) A．若∥，则A，B，C，D四点共线 B．若∥，则A，B，C三点共线 C．若e1，e2为不共线的非零向量，a＝4e1－e2，则a∥b D．若向量e1，e2，e3是三个不共面的向量，且满足等式k1e1＋k2e2＋k3e3＝0，则k1＝k2＝k3＝0 解析：选BCD．根据共线向量的定义，若∥，则AB∥CD或A，B，C，D四点共线，故A错； 因为∥且有公共点A，所以B正确； 由于a＝4e1－e2＝－4＝－4b，所以a∥b，故C正确；易知D也正确． 4．如图所示，已知A，B，C三点不共线，P为一定点，O为平面ABC外任一点，下列能表示向量的为________．(填序号) ①； ②； ③； ④. 解析：因为A，B，C，P四点共面，所以可设，即，由题图可知x＝3，y＝－2. 答案：③ 5．设e1，e2是空间两个不共线的向量，已知＝2e1－e2，且A，B，D三点共线，则k＝________． 解析：由已知得＝(2e1－e2)－(e1＋3e2)＝e1－4e2， ∵A，B，D三点共线， ∴与共线，即存在λ∈R，使得. ∴2e1＋ke2＝λ(e1－4e2)＝λe1－4λe2， ∵e1，e2不共线，∴∴k＝－8. 答案：－8 6．已知A，B，C三点共线，O为直线外任意一点，若，则m＋n＝________． 解析：由于A，B，C三点共线，所以存在实数λ，使得，即＝λ，所以＝(1－λ)，所以m＝1－λ，n＝λ，所以m＋n＝1. 答案：1 7．空间四边形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，则和的关系是________．(填“平行”“相等”或“相反”) 解析：设G是AC的中点，连接EG，FG(图略)， 则， 所以2， 从而∥. 答案：平行 8．如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，点E在A1D1上，且，点F在A1C上，且.求证：E，F，B三点共线． 证明：设＝c. 因为， 所以， 所以， ＝＝， 所以. 又－c， 所以，所以∥. 又与有公共点E， 所以E，F，B三点共线． 9．已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足. (1)判断三个向量是否共面； (2)判断点M是否在平面ABC内． 解：(1)由题意，知3，所以＝＋，即，故共面． (2)由(1)知，共面且过同一点M，所以M，A，B，C四点共面，从而点M在平面ABC内． 【综合运用】 10．(数学文化)(2025·广东东莞模拟)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱．如图，在堑堵ABC­A1B1C1中，M，N分别是A1C1，BB1的中点，G是MN的中点，若，则x＋y＋z＝(　　 ) A．1 B． C． D． 解析：选A．连接AM，AN， 因为G是MN的中点，所以， 因为ABC­A1B1C1是底面为直角三角形的直棱柱，所以四边形AA1B1B，BCC1B1，ACC1A1为长方形， 又因M，N分别是A1C1，BB1的中点， 所以， 则＝＋＝， 又因，所以可得解得 所以x＋y＋z＝＝1. 解析：选A．连接AM，AN， 因为G是MN的中点，所以， 因为ABC­A1B1C1是底面为直角三角形的直棱柱，所以四边形AA1B1B，BCC1B1，ACC1A1为长方形， 又因M，N分别是A1C1，BB1的中点， 所以， 则＝＋＝， 又因，所以可得解得 所以x＋y＋z＝＝1. 11．已知a＝3m－2n－4p(a≠0)，b＝(x＋1)m＋8n＋2yp，且m，n，p不共面，若a∥b，则x＋y＝________． 解析：∵a∥b且a≠0，∴b＝λa， 即(x＋1)m＋8n＋2yp＝3λm－2λn－4λp， 又m，n，p不共面，∴ eq \f(x＋1,3)＝ eq \f(8,－2)＝ eq \f(2y,－4)， 则x＝－13，y＝8，x＋y＝－5. 答案：－5 12．设e1，e2是平面内两个不共线的向量，＝(a－1)e1＋e2，＝be1－2e2，a>0，b>0.若A，B，C三点共线，则的最小值是________． 解析：若A，B，C三点共线， 则可设， 即(a－1)e1＋e2＝x(be1－2e2)， 因为e1，e2是平面内两个不共线的向量， 所以 解得x＝－b， 即a＋b＝1， 因为a>0，b>0， 则＝＝1＋1＋＝2＋2＝4， 当且仅当，即a＝，b＝1时，取等号，故的最小值为4. 答案：4 解析：若A，B，C三点共线， 则可设， 即(a－1)e1＋e2＝x(be1－2e2)， 因为e1，e2是平面内两个不共线的向量， 所以 解得x＝－b， 即a＋b＝1， 因为a>0，b>0， 则＝＝1＋1＋＝2＋2＝4， 当且仅当，即a＝，b＝1时，取等号，故的最小值为4. 答案：4 答案：4 13．(一题多解)如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N分别是AC，BF的中点，判断与是否共线． 解：方法一：因为M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，四边形ABEF都是平行四边形，所以. 又因为，以上两式相加得， 所以∥，即与共线． 方法二：因为四边形ABEF为平行四边形，所以连接AE时，AE必过点N， 所以＝2＝2，所以∥，即与共线． 【创新探索】 14．已知H为四棱锥P­ABCD的棱PC的三等分点，且PH＝HC.点G在AH上，AG＝mAH，四边形ABCD为平行四边形．若G，B，P，D四点共面，求实数m的值. 解：如图，连接BD，BG， 因为，且， 所以. 因为， 所以. 因为，所以. 又因为， 所以. 因为＝m，所以. 因为， 所以＝＋. 又因为B，G，P，D四点共面， 所以1－＝0，解得m＝. $