精品解析：江西省南昌市第二中学2025-2026学年高一上学期开学考试数学试卷

南昌二中新高一入学试卷（数学） 一、单项选择题：每题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，沿线段将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（ ） A. 三角形 B. 正方形 C. 扇形 D. 圆 【答案】C 【解析】 【分析】利用圆锥侧面展开图特征判断即可. 【详解】将圆锥的侧面沿母线剪开并展平，得到圆锥的侧面展开图是扇形. 故选：C 2. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用二次根式的定义求出范围即可. 【详解】式子有意义，则，解得， 所以实数的值可以是2，D正确，ABC错误. 故选：D 3. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由积的乘方法则进行计算. 【详解】. 故选：C. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别在数轴上表示两个不等式，取其公共部分. 【详解】由得，数轴上处是实心点，对应数轴上右侧的数； ，数轴上是空心点，对应数轴上左侧的数； 所以不等式组的解集表示正确的是C. 故选：C. 5. 一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至多有1个球是红球 B. 至少有1个球是红球 C. 至多有1个球是黑球 D. 至少有1个球是黑球 【答案】B 【解析】 【分析】根据摸球的可能结果判断. 【详解】从袋中任意摸出个球，可能情况有：①三个都是红球；②恰有2个红球和1个黑球；③恰有1个红球和2个黑球. 所以摸出个球中“至少有1个是红球”是必然事件. 故选：B. 6. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征求解即可. 【详解】因为反比例函数的， 所以反比例函数图象分布在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， 因点在第二象限，所以， 又因为在第四象限，且，所以， 所以. 故选：D 7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】作出辅助线，由勾股定理求出，从而得到. 【详解】由勾股定理得， 在上取点，使得，连接，格点的左边格点为， 因为，故，即⊥， 由勾股定理得， 故. 故选：A 8. 如图，在中，，，平分，，为垂足，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设出，利用角平分线的性质可得，结合三角形相似和勾股定理可得答案. 【详解】设，由题意则，， 因为平分，所以，即; 因为，所以，. 因为，所以与相似， 所以，整理得，即； 在直角三角形中，, 所以. 故选：A 二、多项选择题：每题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴.我国出土汉代玉器的下列纹样，是轴对称图形或中心对称图形的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义即可判断. 【详解】对于A，沿中间竖直直线折叠，直线两旁部分完全重合，故为轴对称图形； 对于B，沿多条直线（如水平、竖直、两条对角线方向）折叠，直线两旁部分完全重合，故为轴对称图形，绕图形中心旋转后，能与自身重合，也是中心对称图形； 对于C，绕中心点旋转后，能与自身重合，是中心对称图形； 对于D，既不是轴对称图形也不是中心对称图形， 故选：ABC 【点睛】 10. 如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】由抛物线与轴的交点位置可判断的符号；由抛物线的开口结合对称轴的位置可判断B； 由抛物线与轴的交点个数可判断的符号；由图象上横坐标为的点的位置可判断的符号. 【详解】根据图象得： 当时, .故A不正确； 当时, .故D正确； 由图象与轴有两个交点，得.故C不正确； 由抛物线的开口向下，∴；又因为对称轴， ∴，即.故B正确. 故选：BD. 11. 如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个选项，则正确的有（ ） A. 与的面积一定相等 B. 与的面积可能相等 C. 一定是锐角三角形 D. 可能是等边三角形 【答案】AD 【解析】 【分析】通过设点坐标，利用反比例函数表达式求出相关线段长度，进而计算三角形面积来判断各选项的正确性. 【详解】设点坐标为，点坐标为， 则， ，， ， ， ，故A正确； ， ， 当与的面积相等时，，即， 当时，重合，与题意不符，故B错误； 当在的同侧时，可能是钝角三角形，C错误； 等边三角形和反比例函数都是轴对称图形，当且对称轴都为直线，可能是等边三角形，D正确； 如图： 故选：AD. 三、填空题：每题5分，共15分. 12. 分解因式：______. 【答案】 【解析】 【分析】利用提取公因式和平方差公式因式分解即可. 【详解】由， 故答案为： 13. 如图，将三角形纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为.若的面积为，的面积为，则______. 【答案】. 【解析】 【分析】根据题意，由折叠的性质可得，所以的面积为，由面积关系可求解. 【详解】由题意，的面积为，的面积为， 所以的面积为， 因为将三角形纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为， 所以，所以的面积为， 所以. 故答案为：. 14. 如图，在平行四边形中，，，点在的延长线上，且，过点作直线分别交边于点.若直线将平行四边形的面积平分，则线段的长为______. 【答案】 【解析】 【分析】连接交于点，根据平行四边形的性质依次证明得到和，进而得到等式，将题目所给条件代入，即为一个关于的方程，解方程即可得到答案. 【详解】如图所示，连接交于点， 因为为平行四边形的对角线，且直线将平行四边形的面积平分， 所以为的中点，为平行四边形的中心，即， 因为四边形是平行四边形，即， 所以，， 又因为，，， 所以，， 可得， 因为，，， 所以，即，解得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤. 15. 某社团计划开展手工制作活动，制作需使用两款材料包，购买3份款材料包和2份款材料包需84元，购买2份款材料包和3份款材料包需86元. （1）问购买一份款材料包和一份款材料包各需多少元？ （2）该社团打算购买两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买款材料包多少份？ 【答案】（1）一份A款材料包需元，一份B款材料包需元 （2） 【解析】 【分析】（1）设出未知数，从而列出方程组，求出答案； （2）设购买A款材料包份，从而得到不等式，结合a为整数，得到a最小为. 【小问1详解】 设购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元， 则，解得， 答：购买一份A款材料包和一份B款材料包各需元和元. 【小问2详解】 设购买A款材料包份，则， 解得，∵a为整数，∴a最小为， 答：至少购买A款材料包份. 16. 某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市停车场内停车一次的时长（简称：停车时长）的情况.超市的管理部门随机采集了该停车场的60个停车时长数据（单位：分钟），并将数据整理，绘制了统计图表： 组别 停车时长/分钟 组内平均停车时长/分钟 15 47 80 105 200 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图；这60个数据的中位数落在______组； （2）求本次采集的这60个数据的平均数； （3）如果超市想对停车时长不超过60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内1000辆车中，有多少辆车免收停车费？ 【答案】（1）作图见解析， （2）65分钟 （3）600辆 【解析】 【分析】（1）先算出组的频数即可补全条形统计图，再根据中位数的定义求解即可； （2）根据平均数的定义求解即可； （3）根据60个数据中不超过60分钟的车辆所占比例求解即可. 【小问1详解】 组的频数为， 补全条形统计图如下： 中位数是数据从小到大排列后第30个和31个数据的平均数，第30个和31个数据都在组， 这60个数据的中位数落在组. 【小问2详解】 这60个数据的平均数为（分钟）. 【小问3详解】 估计该停车场内1000辆车中，有辆车免收停车费 17. 如图，，点在上，与相切于点，与的交点分别为.作，与交于点，作，垂足为，连接并延长，交于点. （1）求证：； （2）若，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将问题转化证明即可； （2）过点作于点，首先证明，求出，再证明，求出，最后利用勾股定理求出. 【小问1详解】 如图，连接， 与相切于点，，， 是的直径，， ，，， ，； 【小问2详解】 如图，过点作于点， ，， 四边形是矩形，， ，，， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴，∴，∴， ∵∴， ∴同上可得：， ， ，∴， ，，， ，， . 18. 如图1，将Rt绕直角顶点旋转至，点的对应点分别为.连接，直线与交于点. （1）与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； （2）如图2，连接，若的中点分别为.求证：三点共线； （3）已知，随着及旋转角的变化，若存在以为顶点的四边形，其面积为，求的最大值. 【答案】（1），理由见解析 （2）证明见解析 （3）25 【解析】 【分析】（1）过作于，过点C作的延长线于，求证即可证明； （2）延长至，使得，求证四点共圆，进而得出，再求证四边形是菱形，四边形是平行四边形，最后得出，结合即可求证； （3）化简得，进而放缩为，利用不等式即可求出最值. 【小问1详解】 ，理由如下： 由旋转的性质可得， 过作于，过点C作的延长线于， 则， 因，则，则， 故， 又因，则，则， 则； 【小问2详解】 延长至，使得，连接， 因为中点，则为的中位线，则， 由旋转的性质可得，， 则，， 则，则，则四点共圆， 故， 连接， 因在中，点是的中点，则，同理可得， 又在中，点是的中点，则，同理可得， 则，则四边形是菱形，则， 则， 则四边形是平行四边形，故， 又，故P，Q，R三点共线； 【小问3详解】 由（1）得，由旋转的性质可得， 则 ，等号成立时， 因，则，等号成立时， 中，，则， 则S的最大值为25. 19. 已知二次函数过点. （1）求二次函数解析式； （2）已知在二次函数图象上不同的两个点. （i）若，求证：； （ii）若的值为整数，求的所有可能取值. 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii） 【解析】 【分析】（1）由关于直线对称，可得，再代点即可求得，进而求解即可； （2）（i）结合韦达定理可得，且，，进而求证即可； （ii）化简得，进而结合题设分析求解即可. 【小问1详解】 因为二次函数过点， 而关于直线对称，所以，则， 代入点得到，所以，即二次函数解析式为. 【小问2详解】 （i）因为在二次函数的图象上， 所以是方程的不相等的两个根， 即是方程的不相等的两个根， 则，即， 且，， 所以， 因为，所以，则； （ⅱ）因为 ， 由（i）知，，，， 可得， 所以， 因为为整数，故是的因数， 则的值可能有， 则的值可能为，又因为， 所以的所有可能取值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南昌二中新高一入学试卷（数学） 一、单项选择题：每题5分，共40分.在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 如图，沿线段将该圆锥的侧面剪开并展平，得到的圆锥的侧面展开图是（ ） A. 三角形 B. 正方形 C. 扇形 D. 圆 2. 若在实数范围内有意义，则实数的值可以是（ ） A. -2 B. -1 C. 0 D. 2 3. 计算：（ ） A B. C. D. 4. 不等式组的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同.从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ） A. 至多有1个球是红球 B. 至少有1个球是红球 C. 至多有1个球是黑球 D. 至少有1个球是黑球 6. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1.若点都在格点上，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，平分，，为垂足，则的值为（ ） A. 2 B. C. D. 二、多项选择题：每题6分，共18分.在每小题的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 传统纹样作为中华传统文化的一部分，具有深厚的底蕴.我国出土汉代玉器的下列纹样，是轴对称图形或中心对称图形的有（ ） A B. C. D. 10. 如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是（ ） A. B. 2 C. D. 11. 如图，在平面直角坐标系中，，分别是横、纵轴正半轴上的动点，四边形是矩形，函数的图象与边交于点，与边交于点（不重合）．给出下面四个选项，则正确的有（ ） A. 与的面积一定相等 B. 与的面积可能相等 C. 一定是锐角三角形 D. 可能是等边三角形 三、填空题：每题5分，共15分. 12. 分解因式：______. 13. 如图，将三角形纸片折叠，使点落在边上的点处，折痕为.若的面积为，的面积为，则______. 14. 如图，在平行四边形中，，，点在延长线上，且，过点作直线分别交边于点.若直线将平行四边形的面积平分，则线段的长为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字证明、证明过程或演算步骤. 15. 某社团计划开展手工制作活动，制作需使用两款材料包，购买3份款材料包和2份款材料包需84元，购买2份款材料包和3份款材料包需86元. （1）问购买一份款材料包和一份款材料包各需多少元？ （2）该社团打算购买两款材料包共50份，总费用不超过830元，则至少购买款材料包多少份？ 16. 某大型超市为优化停车收费标准，需了解车辆在本超市的停车场内停车一次的时长（简称：停车时长）的情况.超市的管理部门随机采集了该停车场的60个停车时长数据（单位：分钟），并将数据整理，绘制了统计图表： 组别 停车时长/分钟 组内平均停车时长/分钟 15 47 80 105 200 根据以上信息，解答下列问题： （1）请补全条形统计图；这60个数据的中位数落在______组； （2）求本次采集的这60个数据的平均数； （3）如果超市想对停车时长不超过60分钟的车辆免收停车费，试估计该停车场内1000辆车中，有多少辆车免收停车费？ 17. 如图，，点在上，与相切于点，与的交点分别为.作，与交于点，作，垂足为，连接并延长，交于点. （1）求证：； （2）若，求的长. 18. 如图1，将Rt绕直角顶点旋转至，点的对应点分别为.连接，直线与交于点. （1）与的面积存在怎样的数量关系？请说明理由； （2）如图2，连接，若中点分别为.求证：三点共线； （3）已知，随着及旋转角变化，若存在以为顶点的四边形，其面积为，求的最大值. 19. 已知二次函数过点. （1）求二次函数解析式； （2）已知在二次函数图象上不同的两个点. （i）若，求证：； （ii）若的值为整数，求的所有可能取值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $