精品解析：广西百色市县级市2024-2025学年八年级下学期期中检测数学试题

2025年春季学期期中教学质量监测试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答选择题时，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时请用黑色水笔将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效； 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回； 3．答题前，请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 2. 下列根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 若一元二次方程的常数项是3，则它的二次项系数是（　　） A. B. 2 C. D. 3 4. 下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（　　） A. B. C. D. 7. 某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知为方程的一个根，则代数式的值为（　　） A. B. C. 2 D. 5 10. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 4米 11. 关于的一元二次方程有两个实数根，若其中一个根为1，则这两根之和为（　　） A. B. C. D. 12. 已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 比较大小：______3（填“”“”或“”） 14. 若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为___________． 15. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=2，AE=3，则正方形ODCE的边长等于________. 16. 如图，长方体中，长，宽，高，现在有一只蚂蚁从点出发，先后经过面，面和面爬到点那么这只蚂蚁爬行的路线的最小值为______． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 【阅读理解】已知在平面内两点的坐标为，，则该两点间的距离公式为．同时，当两点在同一条直线上，所在直线平行于轴或垂直于轴时，两点间的距离公式可化简成或． 【方法运用】 （1）若已知两点，，试求A，B两点间的距离； （2）已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为，点N的纵坐标为3，试求M，N两点间的距离； 【拓展运用】 （3）已知一个三角形各顶点的坐标为，，，你能判断此三角形的形状吗？试说明理由． 20. 小军在求等边三角形的面积时，发现图中未出现直角．老师提示小军可以构造直角三角形． （1）请根据老师的提示，续写解答过程： 如图1，已知等边的边长为4，求的面积．解：过点作于点，．．． （2）如图2，在中，，，，请类比（1）中的解题方法，求的面积． 21. 某市政府响应国家卫健委提出的实施体重管理年的号召，准备采购若干套健身器材免费提供给社区居民使用，经考查，某公司有两种型号的健身器材可供选择． （1）该公司2023年每套型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2025年每套售价为1.6万元，求每套型健身器材售价的年平均下降率； （2）2025年市政府经过招标，决定年内采购并安装该公司两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过108万元．采购合同规定：每套型健身器材售价为1.6万元，每套型健身器材售价为万元．则型健身器材至少需购买多少套？ 22. 【综合实践】如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止．设点的运动时间为秒． 【尝试运用】 （1）求的长； （2）求斜边上的高； 【拓展运用】 （3）①当点在上时，求的长；（用含的代数式表示）②若点在的角平分线上，求的值． 23. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春季学期期中教学质量监测试卷 八年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 注意事项： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分．答选择题时，请用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；答非选择题时请用黑色水笔将答案写在答题卡上，在本试卷上作答无效； 2．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回； 3．答题前，请认真阅读试卷和答题卡上的注意事项． 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一项是符合要求的．） 1. 若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是　　 A. x<1 B. x≤1 C. x>1 D. x≥1 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件列出关于x 的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】解：由题意得，x－1≥0， 解得x≥1． 故选：D． 【点睛】本题主要考查二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握要使二次根式有意义，其被开方数应为非负数． 2. 下列根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：A、，不是最简二次根式，不符合题意； B、，不是二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 3. 若一元二次方程的常数项是3，则它的二次项系数是（　　） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式，掌握一元二次方程的一般形式是，其中为二次项系数，为一次项系数，为常数项是解题关键．先把方程化成一元二次方程的一般形式，且使常数项为3，再找出二次项系数即可． 【详解】解：， 整理，得， 所以二次项系数是， 故选：A． 4. 下列各图是以直角三角形各边为边在三角形外部画正方形得到的．每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积，其中S的值恰好等于5的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正方形的性质和勾股定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积， 每个正方形中的数字以及字母S表示所在正方形的边长的平方， A、由勾股定理得：S=9+4=13，故选项A不符合题意； B、由勾股定理得：S=9－4=5，故选项B符合题意； C、由勾股定理得：S=4+3=7，故选项C不符合题意； D、由勾股定理得：S=4－3=1，故选项D不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查勾股定理和正方形的性质，熟练掌握勾股定理和正方形的性质是解题的关键． 5. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的计算、最简二次根式以及同类二次根式，对选项依次判断即可． 【详解】A、，和不是同类二次根式，不能合并，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，已经是最简二次根式，选项错误，不符合题意； 故选：C． 6. 若关于的一元二次方程的两个根为，则这个方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系判断即可． 【详解】解：关于的一元二次方程的两个根为， 则对于一元二次方程， ， 即， ∴关于的一元二次方程为． 故选：C． 7. 某村为提高当地“村”总决赛的热度，发起了邀请好友转发海报得门票的活动．小方从公众号转发链接给自己后，又转发给个好友，收到链接的每个好友又转发给个互不相同的人，此时小方的这条链接共被转发133次，刚好满足领取门票的资格，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用——传播问题，个好友转发给个互不相同的人时，转发了次，加上小方转给自己的1次和转给好友的次，共133次，由此可列方程． 【详解】解：由题意得，， 故选B． 8. 如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，则这支铅笔在笔筒内部的长度的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的运用，根据题意，当笔斜放时，运用勾股定理可得的最大值，当笔竖立时可得最小值，由此即可求解． 【详解】解：当笔竖立时，； 当笔斜放时，， ∴， 故选：A ． 9. 已知为方程的一个根，则代数式的值为（　　） A. B. C. 2 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，整体思想的运用，根据题意得到，变形为，将变形为，整体代入即可求解． 【详解】解：∵m是方程的一个根， ∴， ∴， ∴． 故选B． 10. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索AB的长度为5米，若将它沿水平方向向前推进3米（即米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为（ ） A. 1米 B. 1.5米 C. 2米 D. 4米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作，求出即可． 【详解】解：如图所示：作 由题意得： ∴ ∴ 即：木马上升的高度为1米 故选：A 11. 关于的一元二次方程有两个实数根，若其中一个根为1，则这两根之和为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查根与系数的关系，设另一个根为，根据根与系数的关系得到，进而求出两根之和即可，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：设另一个根为，由题意，可知：， ∴， ∴两根之和为； 故选D． 12. 已知，当分别取时，所对应值的总和是（　　） A. 2022 B. 2024 C. 2026 D. 2028 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查化简二次根式，先求出x取1，2时对应的值，当x取时，， ，代入化简得，由此可解． 【详解】解：当x取1时，， 当x取2时，， 当x取时，， ， 所以对应值的总和是：， 故选D． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分．） 13. 比较大小：______3（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查无理数的估算，实数的大小比较，熟练地掌握无理数的估算是解决问题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 若正比例函数的图象经过第一、三象限，则关于的方程根的情况为___________． 【答案】有两个不相等的实数根 【解析】 【分析】本题考查正比例函数，一元二次方程根的判别式．由正比例函数的象经过一、三象限，可得，再根据的值判断一元二次方程的根的情况． 【详解】解：正比例函数的图象经过第一、三象限， ， 为一元二次方程， ， 有两个不相等的实数根． 故答案为：有两个不相等的实数根． 15. 我国古代伟大的数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，得到一个恒等式.后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理，如图所示的就用了这种分割方法，若BD=2，AE=3，则正方形ODCE的边长等于________. 【答案】1 【解析】 【分析】设正方形ODCE的边长为x，则CD=CE=x，根据全等三角形的性质得到AF=AE，BF=BD，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：设正方形ODCE的边长为x， 则CD=CE=x， ∵△AFO≌△AEO，△BDO≌△BFO， ∴AF=AE，BF=BD， ∴AB=2+3=5， ∵AC2+BC2=AB2， ∴（3+x）2+（2+x）2=52， ∴x=1， ∴正方形ODCE的边长等于1， 故答案为1． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，全等三角形的性质，正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 16. 如图，长方体中，长，宽，高，现在有一只蚂蚁从点出发，先后经过面，面和面爬到点那么这只蚂蚁爬行的路线的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将长方形的盒子沿面，面和面展开，得到矩形，求出矩形的对角线的长即可得出答案． 【详解】解：将长方形的盒子沿面，面和面展开，如图 ∵长，宽，高， ∴AD=5+3+5=13dm，， 在直角三角形中，根据勾股定理得： 故答案为： 【点睛】本题考查了最短路线问题，关键是将长方体侧面展开，然后利用两点之间线段最短、勾股定理解答． 三、解答题（本大题共7小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）先进行二次根式的乘除计算，并化简二次根式，再进行加减计算； （2）分别计算二次根式的乘法，负整数指数幂，化简绝对值，再进行加减计算． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键是掌握一元二次方程的解法：直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法等． （1）利用直接开平方法计算即可． （2）利用因式分解法计算即可． 【小问1详解】 解： 解得； 【小问2详解】 解： 解得． 19. 【阅读理解】已知在平面内两点的坐标为，，则该两点间的距离公式为．同时，当两点在同一条直线上，所在直线平行于轴或垂直于轴时，两点间的距离公式可化简成或． 【方法运用】 （1）若已知两点，，试求A，B两点间的距离； （2）已知点M，N在平行于y轴的同一条直线上，点M的纵坐标为，点N的纵坐标为3，试求M，N两点间的距离； 【拓展运用】 （3）已知一个三角形各顶点的坐标为，，，你能判断此三角形的形状吗？试说明理由． 【答案】（1）； （2）7； （3）为等腰直角三角形．理由如下： 点，，， ，，， ， 又，， ， 为等腰直角三角形． 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中两点之间的距离公式，等腰三角形判定和勾股定理的逆定理，正确理解题意及掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）根据定义直接计算即可； （2）根据定义直接计算即可； （3）根据两点间的距离公式分别计算，，的长，可得，可知是等腰三角形，进一步推理可得，可知是直角三角形，即得答案． 【详解】解：（1）点，， ， 即A，B两点间的距离为； （2）点M，N在平行于y轴的同一条直线上， ， 即M，N两点间的距离为7； （3）略 20. 小军在求等边三角形的面积时，发现图中未出现直角．老师提示小军可以构造直角三角形． （1）请根据老师的提示，续写解答过程： 如图1，已知等边的边长为4，求的面积．解：过点作于点，．．． （2）如图2，在中，，，，请类比（1）中的解题方法，求的面积． 【答案】（1）解：续写解答过程如下： 由题意可得， ∵于点， ∴， 在Rt中，由勾股定理得， ∴． （2） 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、勾股定理、三角形面积公式等知识点，熟练掌握勾股定理以及三角形面积求法是解题的关键．小问1，根据等边三角形的特殊内角，以及三线合一的性质，并利用勾股定理求出高线，最后代入三角形面积公式求解即可．小问2，根据面积公式，画出相应的高线或，利用勾股定理，设未知数求解高线或，最后代入三角形面积公式求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解法一：如图2，过点作交的延长线于点， 设，则． ∵， ∴在Rt和Rt中， ， ∴， 即， 解得，即， ∴， ∴． 解法二：如图2，过点作于点， 设，则． 在和中， ，， ∴， 即， 解得，即， ∴， ∴． 21. 某市政府响应国家卫健委提出的实施体重管理年的号召，准备采购若干套健身器材免费提供给社区居民使用，经考查，某公司有两种型号的健身器材可供选择． （1）该公司2023年每套型健身器材的售价为2.5万元，经过连续两年降价，2025年每套售价为1.6万元，求每套型健身器材售价的年平均下降率； （2）2025年市政府经过招标，决定年内采购并安装该公司两种型号的健身器材共80套，采购专项经费总计不超过108万元．采购合同规定：每套型健身器材售价为1.6万元，每套型健身器材售价为万元．则型健身器材至少需购买多少套？ 【答案】（1）每套型健身器材售价的年平均下降率为 （2）型健身器材至少需购买50套 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的应用，一元一次不等式的应用，正确列出方程和不等式是解题的关键． （1）根据下降前后售价列一元二次方程，解方程即可； （2）设型健身器材需购买套，则购买型健身器材套，根据专项经费总计不超过108万元，列一元一次不等式，求出不等式的最小整数解即可． 【小问1详解】 解：依题意得， 解得（不合题意，舍去）. 答：每套型健身器材售价的年平均下降率为. 【小问2详解】 解：设型健身器材需购买套，则购买型健身器材套， ， 解得． 答：型健身器材至少需购买50套． 22. 【综合实践】如图，在Rt中，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，运动到点时停止．设点的运动时间为秒． 【尝试运用】 （1）求的长； （2）求斜边上的高； 【拓展运用】 （3）①当点在上时，求的长；（用含的代数式表示）②若点在的角平分线上，求的值． 【答案】（1）8（2）斜边上的高为（3）①② 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的性质和判定，列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，数形结合并熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理求出的值， （2）设斜边高为h，由面积法可求得答案； （3）①根据P在上时，P的运动长度为可得； ②当点P在的角平分线上，过点P作，可证，再在中由勾股定理得到关于t的方程，进而可以求解． 【详解】解：（1）在中，，，， ∴， （2）设边上的高为h， 则， ∴， ∴，即斜边上的高为； （3）①当点P在上时，点P的运动长度为， ∴， 故答案为：； ②若点P在的角平分线上时，过点P作， 如图： ∵平分，，， ∴， 由①知：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 23. 如图，学校在教学楼后面搭建了两个简易的矩形自行车车棚，一边利用教学楼的后墙（可利用墙长为），其他的边用总长的不锈钢栅栏围成，左右两侧各开一个1m的出口后，不锈钢栅栏状如“山”字形．（备注信息：距院墙7米处，规划有机动车停车位） （1）若设车棚宽度为，则车棚长度为______m； （2）若车棚面积为，试求出自行车车棚的长和宽； （3）若学校拟利用现有栅栏对车棚进行扩建，请问能围成面积为的自行车车棚吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）自行车车棚的宽为，自行车车棚的长为 （3） 解：不能，理由如下： 要围成面积为的自行车车棚，则由（1）可得： ， 整理得：， ， 故此方程没有实数根， 不能围成面积为的自行车车棚． 【解析】 【分析】本题考查用代数式表示式，一元二次方程的应用，根的判别式，正确理解题意找到等量关系列出方程是解题关键． （1）根据题干条件可得自行车车棚由三条宽和一条长构成，且左右两条宽边需要开出一个的出口，然后根据自行车车棚不锈钢栅栏总长减去三条宽边长即可得出长边的长； （2）根据（1）结果即可列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，解出一元二次方程即可得出自行车车棚的长和宽，需注意的是一元二次方程的解需满足自行车车棚的长不超过，宽不超过7米； （3）根据（2）中方法列出关于自行车车棚面积的一元二次方程，再利用根的判别式判断，即可解题． 【小问1详解】 解：搭建自行车车棚为矩形，车棚宽度为，左右两侧各开一个的出口， 不锈钢栅栏总长，不锈钢栅栏状如“山”字形， （）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：由（1）可得，车棚面积为： 解得：或， 又距院墙7米处，规划有机动车停车位， ，将代入得：，满足题干条件， 自行车车棚的宽为：， 自行车车棚的长为：； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $