精品解析：甘肃白银市第六中学2026-2027学年度第一学期第一次学情自测 八年级数学

白银六中2026-2027学年度第一学期月考试卷 科目：数学 年级：八年级 （考生注意：本卷满分120分，考试时间为100分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 实数包括有理数、无理数和0 B. 无理数就是无限循环小数 C. 有理数和数轴上的点一一对应 D. 无理数可以用数轴上的点表示 2. 以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是（ ） 甲：16的平方根是 乙：的平方等于5 丙：的平方根是 丁：4的算术平方根是2 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 3. 下列说法中错误的是( ) A. 在中，，则是直角三角形 B. 在中，，则是直角三角形 C. 在中，，，则是直角三角形 D. 在中，，则是直角三角形 4. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 8和9之间 5. 如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为( ) A. (2+2)m B. (4+2)m C. (5+2)m D. 7m 6. 如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A. 67 B. 34 C. 98 D. 73 7. 如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为．若将正方形绕点逆时针旋转，使点落到数轴上的点处，则点在数轴上所对应的数为（ ） A. B. C. D. 8. 赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ） A. B. C. D. 10. 一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．把答案写在答题卡中的横线上． 11. 有理数这个概念最早源自《几何原本》，在，，0，，，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，有理数有______个． 12. 若能与最简二次根式合并同类二次根式，则x的值为______． 13. 已知y，则的算术平方根是______． 14. 在如图所示的方格纸上，若点A，B，C均为格点，则的度数是______． 15. 对于任意不相等的两个实数，定义运算“”如下：．例如：，则______． 16. 如图，在四边形中，，，，，E是上的一点．若沿折叠，使B，D两点重合，则的面积为______． 17. 如图，无盖长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短路程为______cm. 18. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得 ______． 19. 如图，点E在的边DB上，点A在内部，，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②；③；④．其中正确的是__________． 20. 如图，在中，，，，是边上的一点．连接，作，则的最小值是________． 三、计算题：本大题共4小题，共18分．解答时，应写出必要的演算步骤． 21. 解方程 （1）； （2）． 22. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 四、解答题：本大题共5小题，共42分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知正数的两个不相等的平方根分别为和，的立方根是，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 24. 如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 阅读材料：像，，（）……这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： 解答下列问题： （1）与________互为有理化因式，将分母有理化得________； （2）计算． （3）已知有理数、满足，求的值． 26. 如图，校园里有一块四边形的空地，，，，．过点修两条小路和，且，点恰好是的中点． （1）求小路和的长． （2）求这块空地的面积． 27. 阅读理解: 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积 + 4个直角三角形的面积，从而得数学等式： ；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理： 【初步运用】 （1）如图1，若b=2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a= 4，b= 6此时空白部分的面积为 ； 【迁移运用】 如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程. 知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y ：斜边x＝定值k 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 白银六中2026-2027学年度第一学期月考试卷 科目：数学 年级：八年级 （考生注意：本卷满分120分，考试时间为100分钟） 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分． 1. 下列说法中，正确的是（ ） A. 实数包括有理数、无理数和0 B. 无理数就是无限循环小数 C. 有理数和数轴上的点一一对应 D. 无理数可以用数轴上的点表示 【答案】D 【解析】 【分析】先由实数与数轴的对应关系判断C、D选项，再结合实数分类和无理数定义验证A、B选项． 【详解】解：实数分为有理数和无理数，属于有理数，故A错误． 无理数是无限不循环小数，故B错误． 实数与数轴上的点一一对应，故C错误，D正确． 2. 以下是甲、乙、丙、丁四位同学对相关知识的描述，其中描述错误的是（ ） 甲：16的平方根是 乙：的平方等于5 丙：的平方根是 丁：4的算术平方根是2 A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据平方根和算术平方根的性质依次判断即可． 本题主要考查了平方根和算术平方根的性质：正数有两个平方根，它们互为相反数，其中正的平方根叫做算术平方根；负数没有平方根；0的平方根是0．熟练掌握平方根和算术平方根的性质是解题的关键． 【详解】解：16的平方根是，故甲的描述正确； 乙：的平方等于5，故乙的描述正确； 丙：没有平方根，故丙的描述错误； 丁：4的算术平方根是2，故丁的描述正确． 故选：C． 3. 下列说法中错误的是( ) A. 在中，，则是直角三角形 B. 在中，，则是直角三角形 C. 在中，，，则是直角三角形 D. 在中，，则是直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理和三角形的内角和定理是解题的关键．根据勾股定理和三角形内角和定理即可判断． 【详解】解：A、在中，，， ，故是直角三角形，不符合题意； B、在中，， 设，， ， ， ， ，故是直角三角形，不符合题意； C、在中，，， ， ，故是直角三角形，不符合题意； D、在中，， 设，，， ， 不能构成三角形，则不是直角三角形故符合题意； 故选：D． 4. 在量子物理的研究中，科学家需要精确计算微观粒子的能量、已知某微观粒子的能量可以用公式表示．当，时，该微观粒子的能量的值在（ ） A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 8和9之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了估算无理数大小．首先根据题意可知该微观粒子的能量，结合，易得，即可获得答案． 【详解】解：当，时， ， ∵， ∴， ∴该微观粒子的能量的值在6和7之间． 故选：C． 5. 如图，架在消防车上的云梯AB长为10m，∠ADB=90°,AD=2BD，云梯底部离地面的距离BC为2m，则云梯的顶端离地面的距离AE为( ) A. (2+2)m B. (4+2)m C. (5+2)m D. 7m 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理列式求出BD，则AD可求，AE也可求. 【详解】解：由勾股定理得：AD2+BD2=AB2，4BD2+BD2=100，BD=2，则AD=2BD=4， AE=AD+DE=4+2 . 故答案为B 【点睛】本题考查了勾股定理，灵活应用勾股定理求线段长是解题的关键. 6. 如果正整数a、b、c满足等式，那么正整数a、b、c叫做勾股数．某同学将自探究勾股数的过程列成下表，观察表中每列数的规律，可知的值为（ ） a b c 3 4 5 8 6 10 15 8 17 24 10 26 … … … x 14 y A. 67 B. 34 C. 98 D. 73 【答案】C 【解析】 【分析】依据每列数的规律，即可得到，，，进而得出的值． 【详解】解：由题可得，，，， ，，，（且n为正整数） 当时， 解得：， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了勾股数，满足的三个正整数，称为勾股数． 7. 如图，面积为2的正方形的顶点在数轴上，且表示的数为．若将正方形绕点逆时针旋转，使点落到数轴上的点处，则点在数轴上所对应的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，根据正方形的面积为2，求出边长为，再根据两点间的距离公式，求解即可． 【详解】解：正方形的边长， ∴点在数轴上所对应的数为， 故选：B． 8. 赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图”是他研究勾股定理的重要成果．古人有记载“勾三，股四，则弦五”的定理．图是北京国际数学家大会的会标，它取材于“弦图”，．若图中大正方形的面积为，小正方形的面积为，现将这四个直角三角形拼成图，则图中大正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，正方形和三角形的面积公式，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【详解】解：如图，直角三角形的两直角边为、，斜边为， ∵图中大正方形是由四个全等的直角三角形拼成且大正方形的面积为， ∴， ∵小正方形的面积为， ∴， ∴， ∵将这四个直角三角形拼成图， ∴图2中最大的正方形的面积为：． 故选：A． 9. 如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿与蜂蜜相对的点处，则蚂蚁从外壁处到内壁处的爬行最短路线长为（杯壁厚度不计）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点，可得即为最短距离，在直角中，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，将该圆柱的侧面展开，作关于的对称点， 则， 连接，则即为最短距离， 在直角中，由勾股定理得：． 10. 一般地，如果（为正整数，且），那么叫作的次方根.例如：∵，，∴16的四次方根是．则下列结论：①3是81的四次方根；②任何实数都有唯一的奇次方根；③若，则的三次方根是；④当时，整数的二次方根有4050个．其中正确的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据a的n次方根的定义结合平方差公式和绝对值的意义逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴3是81的四次方根，①正确； ②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确； ③∵ ， 则S的三次方根是，③正确； ④由已知得：， 即数轴上数a到数和数2025的距离和为4048， 又由， 故整数， 则整数a的二次方根有，共4051个，④不正确； 故应选：C． 【点睛】本题主要考查对a的n次方根的定义的阅读理解能力，平方差公式与绝对值的几何意义是难点． 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．把答案写在答题卡中的横线上． 11. 有理数这个概念最早源自《几何原本》，在，，0，，，，，（相邻两个3之间0的个数逐次加1）中，有理数有______个． 【答案】 【解析】 【分析】根据有理数的定义，逐个判断所给数的类型，统计有理数的个数即可． 【详解】解：整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都属于分数，无限不循环小数是无理数，逐个判断：是分数，属于有理数； 是有限小数，属于有理数； 是整数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 中是无限不循环小数，因此是无理数； 是有限小数，属于有理数； 是负整数，属于有理数； （相邻两个之间的个数逐次加）是无限不循环小数，属于无理数；统计可得，有理数共有个． 12. 若能与最简二次根式合并同类二次根式，则x的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】先化简，根据同类二次根式的定义得到被开方数相等，列出等式求解即可． 【详解】解：能与最简二次根式合并同类项，且，二者为同类二次根式， 被开方数相等，即， 解得． 13. 已知y，则的算术平方根是______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件得出x的值，再求出y的值，得到结果． 【详解】解：由题意得： 解得＝2 ∴＝3，， ∴的算术平方根为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件、代数式求值和一元一次不等式组，属于基础题目，熟练掌握基本知识是解题的关键． 14. 在如图所示的方格纸上，若点A，B，C均为格点，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】利用勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的判定，解答即可． 【详解】解：连接，设格点正方形的边长为1，根据勾股定理，得，，， 且， 故，， 故． 15. 对于任意不相等的两个实数，定义运算“”如下：．例如：，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题目给出的新定义，将对应数值代入计算即可． 【详解】解：． 16. 如图，在四边形中，，，，，E是上的一点．若沿折叠，使B，D两点重合，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形的面积，勾股定理，设，由折叠的性质得到，根据勾股定理列方程求得，于是得到的面积．熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【详解】解：设，由折叠的性质得到， ∵， ∴， 即， 解得：， ∴， ∴的面积 故答案为：． 17. 如图，无盖长方体盒子的长为15cm，宽为10cm，高为20cm，若，一只蚂蚁沿着盒子的表面从A点爬到B点，需要爬行的最短路程为______cm. 【答案】25 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平面展开－最短路径问题，解题的关键是将图形展开，转化为直角三角形利用勾股定理解决问题．要求长方体中两点之间的最短路径，由于这是无盖长方体盒子，即无长方体的上表面，所以最短路径只能经过右面和前面，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答． 【详解】由于这是无盖长方体盒子，即无长方体的上表面，所以最短路径只能经过右面和前面，两面展开如下图所示： 两点之间线段最短，此时． 故最短路程为． 18. 实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示，则化简得 ______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数轴，化简绝对值和求一个数的算术平方根，先根据数轴得到，，，据此化简绝对值和计算算术平方根，再根据整式的加减计算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ∴原式 ， 故答案为：． 19. 如图，点E在的边DB上，点A在内部，，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：①BD=CE；②；③；④．其中正确的是__________． 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】只要证明，利用全等三角形的性质即可一一判断． 【详解】 ,故①正确； ,故②正确； ，即,故③正确； ,故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． 20. 如图，在中，，，，是边上的一点．连接，作，则的最小值是________． 【答案】9.6 【解析】 【分析】本题考查的是轴对称，熟练掌握轴对称性质，面积法求三角形高，作出轴对称图形，是解答此题的关键． 作点A关于直线的对称点F，连接， ，A、C、F三点共线，根据，当E、D、F三点共线时，的最小值为，根据，即得． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴, 作点A关于直线的对称点F，连接， 则， ∴， ∴A、C、F三点共线， ∵， ∴当E、D、F三点共线时， 的值最小， 最小值为， ∵， ∴． 故答案为：9.6． 三、计算题：本大题共4小题，共18分．解答时，应写出必要的演算步骤． 21. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）先移项、系数化为1，再直接开平方，转化为一元一次方程求解； （2）直接对等式两边开立方，化简得到一元一次方程，求出未知数的值． 【小问1详解】 解： 移项，得， 系数化为1，得， 直接开平方，得， 当时，；当时，． ． 【小问2详解】 解： 两边同时开立方，得， ， 解得． 22. 计算 （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解：； 【小问3详解】 解：； 【小问4详解】 解：． 四、解答题：本大题共5小题，共42分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 已知正数的两个不相等的平方根分别为和，的立方根是，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）利用平方根的性质求出的值，即得的值，利用立方根的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解； （）利用无理数的估算方法求出的值，进而求出的值，再根据平方根的定义解答即可求解； 本题考查了平方根，立方根，无理数的估算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵正数的两个不相等的平方根分别为和， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵是的整数部分， ∴， ∴， ∴的平方根为． 24. 如图，在中，，平分交于点，点为上一点，，连接． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：平分， ∴， 又∵，， ∴， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，证明是解题的关键． （1）利用证明得到，则由勾股定理可证明结论； （2）由全等三角形的性质得到，由勾股定理可得，设，则，由勾股定理可得，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ． 在中，由勾股定理可得， 设，则， 在中，由勾股定理可得， ∴． 解得，即的长为． 25. 阅读材料：像，，（）……这样两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如与，与，与等都互为有理化因式． 在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如： 解答下列问题： （1）与________互为有理化因式，将分母有理化得________； （2）计算． （3）已知有理数、满足，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）7 【解析】 【分析】（1）根据题意可以得到所求式子的分母有理化因式，并将题目中的二次根式化简； （2）根据分母有理化的方法可以化简题目中的式子； （3）根据分母有理化的方法，将变形为，求得a、b的值，进而即可求解． 【小问1详解】 解：与互为有理化因式， 将分母有理化得：； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：， ， ，， ，， ． 26. 如图，校园里有一块四边形的空地，，，，．过点修两条小路和，且，点恰好是的中点． （1）求小路和的长． （2）求这块空地的面积． 【答案】（1）， （2）这块空地的面积为 【解析】 【分析】（1）根据题意可得垂直平分，推出，，再根据勾股定理求，即可求解； （2）根据勾股定理的逆定理可得，则，即可求解． 【小问1详解】 解：，点恰好是的中点， 垂直平分， ，， ； 【小问2详解】 解：，，， ，， ， ， ， 即这块空地的面积为． 27. 阅读理解: 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？ 【探索新知】 从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积＝小正方形的面积 + 4个直角三角形的面积，从而得数学等式： ；（用含字母a、b、c的式子表示）化简证得勾股定理： 【初步运用】 （1）如图1，若b=2a ，则小正方形面积：大正方形面积＝ ； （2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a= 4，b= 6此时空白部分的面积为 ； 【迁移运用】 如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图3的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程. 知识补充：如图4，含60°的直角三角形，对边y ：斜边x＝定值k 【答案】[探索新知]：； [初步运用]：（1）5：9；（2）28； [迁移运用] ：，证明： 由补充知识可得大正三角形的高为，小正三角形的高为，全等三角形的高为，则由大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积可得 ∴ 【解析】 【分析】[探索新知] 分别表示出大正方形，小正方形，直角三角形面积，再由面积关系可得关系式； [初步运用] （1）将b=2a代入可推出，即小正方形面积为 大正方形面积=，可求出比值； （2）空白部分面积为小正方形面积减去2个直角三角形面积； [迁移运用] 大正三角形面积=三个全等三角形面积+小正三角形面积，分别求出面积代入关系式化简即可. 【详解】[探索新知] 大正方形边长为，所以面积＝，小正方形的边长为，所以面积=, 直角三角形的面积=,由大正方形的面积＝小正方形的面积 + 4个直角三角形的面积可得 [初步运用] （1）将b=2a代入得，∴，即小正方形面积为 大正方形面积=， ∴ 小正方形面积：大正方形面积＝：=5:9 （2）∵a= 4，b= 6 ∴小正方形面积=，直角三角形面积= ∴空白部分面积=小正方形面积－两个直角三角形面积= [迁移运用] 略 【点睛】本题考查勾股定理的证明和应用，根据图形得出面积关系是解题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $