精品解析：甘肃省酒泉市肃州区酒泉第六中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

酒泉第六中学2025-2026学年度第一学期 九年级数学开学适应性检测试卷 一、选择题（本题共10小题，共30分．） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若分式的值为零，则x的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 3. 若分式中的，的值同时扩大到原来的2倍，则此分式的值（ ） A. 扩大到原来的4倍 B. 扩大到原来的2倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 4. 如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD等于（　 　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 7. 已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 8. 学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（　　） A. ﹣=100 B. ﹣=100 C. ﹣=100 D. ﹣=100 9. 如果不等式组无解，那么m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 10. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B'处，此时，点A的对应点A'恰好落在BC的延长线上，下列结论正确的是（　　） A. ∠BCB'=∠ACA' B. ∠ACB=2∠B C. ∠B'CA=∠B'AC D. B'C平分∠BB'A' 二、填空题（本题共8小题，共24分） 11. 函数y＝的自变量x的取值范围是_____． 12. 已知a＞b，则___（填＞、＜或＝）． 13. 已知，要想用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．我们需要先假设_________． 14. 已知不等式组的解集为，则的值为_______． 15. 已知，则代数式的值为______． 16. 如图，点在的平分线上，于点C，点F在，若，，则___________． 17. 如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论： ①CF=AE；②OE=OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形；其中正确结论的是_____________________． 18. 若关于x的方程无解，则m的值为__． 三、解答题 19. 解方程：． 20. 解不等式组：，并写出它的所有的正整数解； 21. 将下列各式因式分解： （1）； （2） 22. 先化简：，然后从－2，－1，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值． 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 24. 如图，一次函数与的图象相交于 （1）求点的坐标及； （2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积. （3）结合图象，直接写出时的取值范围. 25. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 26. 如图，中，，． （1）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）连接，求证：． 27. 某小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.1万元． （1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？ （2）若该小区预计投资金额超过10万元，且地上的停车位要求不少于30个，问共有几种建造方案？ （3）对（2）中的几种建造方案中，哪一个方案的投资最少？并求出最少投资金额． 28. 如图，在△ABC中，∠ACB=，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F. （1）求证：四边形ECBF是平行四边形； （2）当∠A=时，求证：四边形ECBF是菱形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 酒泉第六中学2025-2026学年度第一学期 九年级数学开学适应性检测试卷 一、选择题（本题共10小题，共30分．） 1. 下列图形中，是轴对称图形，但不是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项合题意； B、不轴对称图形，是中心对称图形，故B选项不符合题意； C、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故C选项不合题意； D、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故D选项不合题意． 故选：A． 2. 若分式的值为零，则x的值是（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，根据分式的值为零得到，再计算，即可作答． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， ∴， 故选：B 3. 若分式中的，的值同时扩大到原来的2倍，则此分式的值（ ） A. 扩大到原来的4倍 B. 扩大到原来的2倍 C. 不变 D. 缩小到原来的 【答案】C 【解析】 【分析】x，y都扩大成原来的2倍就是分别变成原来的2倍，变成2x和2y，用2x和2y代替式子中的x和y，看得到的式子与原来的式子的关系． 【详解】把原分式中的x、y换成2x、2y，则，那么分式的值不变． 故答案为：C． 【点睛】考查的知识点是分式的基本性质，解题的关键是抓住分子、分母变化的倍数．解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 4. 如图，在四边形中，已知．添加下列条件不能判定四边形是平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理，结合已知条件，对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A选项，，，一组对边平行，另一组对边相等，该四边形可能是等腰梯形，不能判定四边形是平行四边形，故符合题意； B选项，，，两组对边分别平行的四边形是平行四边形，故不符合题意； C选项，，，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不符合题意； D选项，，，，，，四边形是平行四边形，故不符合题意． 5. 在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，得到的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的平移，掌握点的平移规律是解题的关键． 根据点的平移规律：向下平移时，纵坐标减少，横坐标不变计算新坐标． 【详解】解：∵点向下平移3个单位， ∴横坐标不变，纵坐标减少3， ∴新点坐标为： 故选：D． 6. 如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD平分∠ABC，若AD=6，则CD等于（　 　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】A 【解析】 【分析】由于∠C=90°，∠ABC=60°，可以得到∠A=30°，又由BD平分∠ABC，可以推出∠CBD=∠ABD=∠A=30°，∴BD=AD=6，再30°角所对的直角边等于斜边的一半即可求出结果． 【详解】解：∵∠C=90°，∠ABC=60°， ∴∠A=30°， ∵BD平分∠ABC， ∴∠CBD=∠ABD=∠A=30°， ∴BD=AD=6， ∴CD= BD=6×=3． 故填空答案：A． 【点睛】本题考查的知识点是直角三角形的性质和角的平分线的性质，解题关键是熟记30°直角三角形所对线段是斜边的一半. 7. 已知一个多边形内角和是外角和的4倍，则这个多边形是（ ） A. 八边形 B. 九边形 C. 十边形 D. 十二边形 【答案】C 【解析】 【分析】设这个多边形的边数为n，然后根据内角和与外角和公式列方程求解即可. 【详解】设这个多边形的边数为n， 则（n－2）×180°＝4×360°， 解得：n＝10， 故选C. 【点睛】本题主要考查多边形的内角和定理及多边形的外角和定理，熟练掌握多边形内角和定理是解答本题的关键.n变形的内角和为：(n-2) ×180°， n变形的外角和为：360°；然后根据等量关系列出方程求解． 8. 学校为创建“书香校园”购买了一批图书．已知购买科普类图书花费10000元，购买文学类图书花费9000元，其中科普类图书平均每本的价格比文学类图书平均每本的价格贵5元，且购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本．求科普类图书平均每本的价格是多少元？若设科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为（　　） A. ﹣=100 B. ﹣=100 C. ﹣=100 D. ﹣=100 【答案】B 【解析】 【分析】直接利用购买科普书的数量比购买文学书的数量少100本得出等式进而得出答案． 【详解】解：科普类图书平均每本的价格是x元，则可列方程为： ﹣=100， 故选B． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，弄清题意，找准等量关系列出方程是解题的关键． 9. 如果不等式组无解，那么m的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了不等式组无解问题，因为不等式组无解，即可得出，进行作答． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴， 故选：B． 10. 如图，将△ABC绕点C顺时针旋转，使点B落在AB边上点B'处，此时，点A的对应点A'恰好落在BC的延长线上，下列结论正确的是（　　） A. ∠BCB'=∠ACA' B. ∠ACB=2∠B C. ∠B'CA=∠B'AC D. B'C平分∠BB'A' 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据旋转的性质得到∠BCB′＝∠ACA′，故A正确，根据等腰三角形的性质得到∠B＝∠BB'C，根据三角形的外角的性质得到∠A'CB'＝2∠B，等量代换得到∠ACB＝2∠B，故B正确；等量代换得到∠A′B′C＝∠BB′C，于是得到B′C平分∠BB′A′，故D正确，由三角形内角和可得3∠B+∠A=180°，由三角形外角可得∠BB′C=∠A+∠B'CA，可得4∠A+3∠B'CA=180°，假设∠B'CA=∠B'AC，可求∠A=，∠B=，∠ACB=△ABC形状固定与△ABC不是固定的三角形相矛盾，可判断C不正确． 【详解】解：根据旋转的性质得，∠BCB'和∠ACA'都是旋转角，则∠BCB′＝∠ACA′，故A正确， ∵CB＝CB'， ∴∠B＝∠BB'C， 又∵∠A'CB'＝∠B+∠BB'C， ∴∠A'CB'＝2∠B， ∵△ABC旋转得到△A'B'C， ∴△ABC≌△A'B'C， ∴∠ACB＝∠A'CB'， ∴∠ACB＝2∠B，故B正确； ∵∠A′B′C＝∠B， ∴∠A′B′C＝∠BB′C， ∴B′C平分∠BB′A′，故D正确， ∴∠BCA=∠BB′A′=2∠B=180°-∠B-∠A， ∴3∠B+∠A=180°， ∵∠BB′C=∠A+∠B'CA， ∴4∠A+3∠B'CA=180°， 假设∠B'CA=∠B'AC， ∴7∠A=180°， ∴∠A=，∠B=，∠ACB= ∴△ABC形状固定 与△ABC不是固定的三角形相矛盾， 故C不正确； 故选择ABD． 【点睛】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，等腰三角形的性质，反证法，正确的识别图形是解题的关键． 二、填空题（本题共8小题，共24分） 11. 函数y＝的自变量x的取值范围是_____． 【答案】x≥且x≠3 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式求解即可． 【详解】根据题意得2x＋1≥0，x－3≠0， 解得x≥－且x≠3 故答案为x≥－且x≠3． 【点睛】本题主要考查了函数自变量的取值范围的确定，根据分母不等于0，被开方数大于等于0列式计算即可，是基础题，比较简单． 12. 已知a＞b，则___（填＞、＜或＝）． 【答案】＜ 【解析】 【分析】不等式两边加或减某个数或式子，乘或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式两边乘或除以一个负数，不等号的方向改变． 【详解】解：∵a＞b， ∴， ∴， 故答案为：＜． 【点睛】本题主要考查了不等式的基本性质．不等式的基本性质：（1）不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变；（2）不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 13. 已知，要想用反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角．我们需要先假设_________． 【答案】中有两个角是直角 【解析】 【分析】本题考查了反证法．熟练掌握反证法是解题的关键． 根据反证法作答即可． 【详解】解：由题意知 ，先假设中有两个角是直角， 故答案为：中有两个角是直角． 14. 已知不等式组的解集为，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组，代数式求值，解题的关键是掌握不等式组的解．先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出、的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：， 解不等式①： ， ， ， 解不等式②： ， ， 不等式组的解集为：， 不等式组的解集为， ，， 解得：，， ， 故答案为：． 15. 已知，则代数式的值为______． 【答案】32 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，已知式子的值求代数式的值，先提公因式再完全平方公式进行因式分解，然后把代入，进行计算，即可作答． 【详解】解： ， 把代入，得， 故答案为：32． 16. 如图，点在的平分线上，于点C，点F在，若，，则___________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了角平分线、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角直角三角形的性质，从而完成求解． 根据角平分线的性质，得，再根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案． 【详解】解：如图，作于点G， ∵点在的平分线上， ，， ， ， ． 故答案为：6． 17. 如图，四边形ABCD中，AB=CD，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，连接AF，CE，若DE=BF，则下列结论： ①CF=AE；②OE=OF；③图中共有四对全等三角形；④四边形ABCD是平行四边形；其中正确结论的是_____________________． 【答案】①②④ 【解析】 【详解】解：∵DE=BF，∴DF=BE． 在Rt△DCF和Rt△BAE中，∵CD=AB，DF=BE， ∴Rt△DCF≌Rt△BAE（HL），∴FC=EA，故①正确； ∵AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F，∴AE∥FC． ∵FC=EA，∴四边形CFAE是平行四边形，∴EO=FO，故②正确； ∵Rt△DCF≌Rt△BAE，∴∠CDF=∠ABE，∴CD∥AB． ∵CD=AB，∴四边形ABCD是平行四边形，故④正确； 由以上可得出：△CDF≌△BAE，△CDO≌△BAO，△CDE≌△BAF，△CFO≌△AEO，△CEO≌△AFO，△ADF≌△CBE，△DOA≌△COB等．故③错误． 故答案为①②④． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质与判定以及全等三角形的判定与性质等知识，得出Rt△DCF≌Rt△BAE是解题的关键． 18. 若关于x的方程无解，则m的值为__． 【答案】-1或5或 【解析】 【分析】直接解方程再利用一元一次方程无解和分式方程无解分别分析得出答案. 【详解】去分母得：， 可得：， 当时，一元一次方程无解， 此时， 当时， 则， 解得：或. 故答案为：或或. 【点睛】此题主要考查了分式方程的解，正确分类讨论是解题关键. 三、解答题 19. 解方程：． 【答案】无解 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答． 【详解】解： 整理得 去分母 解得 经检验：当时， 故原分式方程无解 20. 解不等式组：，并写出它的所有的正整数解； 【答案】﹣1<x≤4，正整数解：1、2、3、4 【解析】 【分析】先求出两个不等式的解集，再求其公共解，然后写出范围内的正整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得x≤4 解不等式②得x＞﹣1 解得不等式组的解集是﹣1<x≤4 正整数解：1、2、3、4 【点睛】考查了一元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解．求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）． 21. 将下列各式因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，正确掌握相关知识点是解题的关键． （1）先提公因式进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． （2）先整理原式，再运用平方差公式进行因式分解，最后提公因式进行因式分解，即可作答． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 22. 先化简：，然后从－2，－1，0，1，2中选取一个你喜欢的值代入求值． 【答案】， 时，原式=－2． 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把括号里面的通分，再把除法转化为乘法约分化简，最后选取使分式有意义的x的值代入进行计算即可. 【详解】解：原式 ∵x=﹣2，0，1，2时分母为0，无意义， ∴x只能取﹣1， 当x=﹣1时，原式=﹣1﹣1=﹣2． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握计算法则是解题关键.同时要注意取的数要使分式有意义. 23. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点分别是A（1，3），B（4，4），C（2，1）． （1）把向左平移4个单位后得到对应的A1B1C1，请画出平移后的A1B1C1； （2）把绕原点O旋转180°后得到对应的A2B2C2，请画出旋转后的A2B2C2； （3）观察图形可知，A1B1C1与A2B2C2关于点（　 　，　 　）中心对称． 【答案】（1）A1B1C1即为所求； （2）A2B2C2即为所求；     （3）﹣2，0． 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到平移后的△A1B1C1； （2）依据△ABC绕原点O旋转180°，即可画出旋转后的△A2B2C2； （3）依据对称点连线的中点的位置，即可得到对称中心的坐标． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）由图可得，A1B1C1与A2B2C2关于点成中心对称． 故答案为：﹣2，0． 【点睛】本题考查的是平移，旋转的作图，以及判断中心对称的对称中心的坐标，掌握以上知识是解题的关键． 24. 如图，一次函数与的图象相交于 （1）求点的坐标及； （2）若一次函数与的图象与轴分别相交于点、，求的面积. （3）结合图象，直接写出时的取值范围. 【答案】（1）；（2）9；（3）时的取值范围是． 【解析】 【分析】（1）把代入中，求得n,再代入可得m的值； （2）分别求得B、C的坐标，以及BC的长，再利用面积公式求出答案； （3）观察图象可直接得出结果． 【详解】解：（1）把代入中，则 ∴ 把代入中，则 （2）当时，，，则点坐标为； 当时，，则点坐标为； ∴， ∴的面积； （3）根据图象可知，时的取值范围是． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式，体现了数形结合的思想方法，准确确定出n的值，是解答本题的关键．也考查了待定系数法和三角形的面积． 25. 2022年我国已成为全球最大的电动汽车市场，电动汽车在保障能源安全，改善空气质量等方面较传统汽车都有明显优势，经过对某款电动汽车和某款燃油车的对比调查发现，电动汽车平均每公里的充电费比燃油车平均每公里的加油费少0.6元．若充电费和加油费均为200元时，电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍，求这款电动汽车平均每公里的充电费． 【答案】这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【解析】 【分析】设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元，则燃油车平均每公里的充电费为(x+0.6)元，根据“电动汽车可行驶的总路程是燃油车的4倍”列分式方程，解方程即可求解． 【详解】解：设这款电动汽车平均每公里的充电费为x元． 根据题意，得． 解，得． 经检验，是原方程的根． 答：这款电动汽车平均每公里的充电费为0.2元． 【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键． 26. 如图，中，，． （1）用尺规作图作边上的垂直平分线，交于点D，交于点E．（保留作图痕迹，不要求写作法和证明） （2）连接，求证：． 【答案】（1） 如图，为所作； （2） ∵垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 即平分， ∵，， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了基本作图，线段的垂直平分线的性质，角平分线的性质，等腰三角形的性质等知识点， （1）利用基本作图（作已知线段的垂直平分线）作垂直平分即可； （2）先利用线段垂直平分线的性质得到，则，再证明平分，然后根据角平分线的性质定理可得到结论； 熟练掌握其性质并灵活运用是解决此题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 27. 某小区准备新建50个停车位，以解决小区停车难的问题．已知新建1个地上停车位和1个地下停车位共需0.5万元；新建3个地上停车位和2个地下停车位共需1.1万元． （1）该小区新建1个地上停车位和1个地下停车位各需多少万元？ （2）若该小区预计投资金额超过10万元，且地上的停车位要求不少于30个，问共有几种建造方案？ （3）对（2）中的几种建造方案中，哪一个方案的投资最少？并求出最少投资金额． 【答案】（1）0.4万元（2）四种方案（3）方案四投资最少，最少投资金额为10.1万元 【解析】 【分析】（1）设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元，根据等量关系可列出方程组，解出即可得出答案． （2）设新建地上停车位y个，则地下停车位（50﹣y）个，根据投资金额超过10万元，且地上的停车位要求不少于30个，可得出不等式组，解出即可得出答案． （3）设投资金额为w，表示出w关于y的表达式，从而根据函数的增减性求解即可． 【详解】解：（1）设新建一个地上停车位需x万元，新建一个地下停车位需y万元， 由题意得，， 解得：， 即新建一个地上停车位需0.1万元，新建一个地下停车位需0.4万元； （2）设新建地上停车位y个，则地下停车位（50﹣y）个， 由题意得，， 解得：30≤y＜33， 则有四种方案，①地上停车位30个，地下停车位20个； ②地上停车位31个，地下停车位19个； ③地上停车位32个，地下停车位18个； ④地上停车位33个，地下停车位17个． （3）设投资金额为w， 则w=0.1y+0.4（50﹣y）=﹣0.3y+20， ∵w随y的增大而减小， ∴当x取33时，所需要的投资金额最少，投资金额为：﹣0.3×33+20=10.1（万元）． 答：方案四投资最少，最少投资金额为10.1万元． 【点评】本题考查了一元一次不等式组及二元一次方程组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式的思想进行求解，有一定难度． 28. 如图，在△ABC中，∠ACB=，D，E分别为AC，AB的中点，BF∥CE交DE的延长线于点F. （1）求证：四边形ECBF是平行四边形； （2）当∠A=时，求证：四边形ECBF是菱形. 【答案】 （1）证明：∵D，E分别为边AC，AB的中点， ∴DE∥BC，即EF∥BC． 又∵BF∥CE， ∴四边形ECBF是平行四边形． （2）证法一： ∵∠ACB=，∠A=，E为AB的中点， ∴，． ∴， 又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形, ∴四边形ECBF是菱形． 证法二： ∵∠ACB=，∠A=，E为AB的中点， ∴，∠ABC=， ∴△是等边三角形， ∴． 又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形, ∴四边形ECBF是菱形． 证法三： ∵E为AB的中点，∠ACB=，∠A=， ∴, ∠ABC=， ∴△是等边三角形， ∴. 又由（1）知，四边形ECBF是平行四边形, ∴四边形ECBF是菱形． 【解析】 【分析】（1）根据三角形的中位线定理可得EF∥BC，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可判定四边形ECBF是平行四边形； （2）根据直角三角形中30°的锐角所对的直角边等于斜边的一半和斜边的中线等于斜边的一半可得，，即可得，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形即可判定四边形ECBF是菱形. 【详解】（1）略 （2）略 【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理，平行四边形的判定，菱形的判定，掌握菱形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $