精品解析：广西南宁市第一中学2026届新高三开学摸底诊断性检测数学试题

广西2026届新高三年级开学摸底诊断性检测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数虚部是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知向量，，若，则等于（ ） A. 3 B. C. D. 4. 《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则值为（ ） A. 15 B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. 20 B. 21 C. 100 D. 101 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. D. 10. 已知是双曲线的右焦点，为的左顶点，为右支上一点，则（ ） A. 点到的渐近线的距离为1 B. （点为坐标原点） C. 当轴时， D. 若为圆上一点，则的最小值为1 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最小值为 C. 函数在点处的切线方程为 D. 在区间上的最大、最小值分别记为，则的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列是公比为的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则的值为___________. 13. 4个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为___________种. 14. 如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的表面积为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的值. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有最大值且为.则求的值. 17. 如图，正方形的边长为4，、分别为和的中点，在五棱锥中，为的中点，平面与棱、分别相交于点、. （1）求证：； （2）若平面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长. 18. 设椭圆左焦点为，短轴上端点为，为坐标原点，，且长轴长为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆左焦点的直线，倾斜角为. （i）当时，直线与椭圆交于、两点，求线段的长； （ii）对任意，直线与椭圆交于、两点，求三角形面积的最大值. 19. 设，有个罐子和个小球，球和罐子均以1至编号.现在按号码递增的顺序依次将球放入罐子中，1号球可不受限制地随意等可能放入个罐子中的任意一个；对于，只要号罐子空着，就把号球放入到号罐子里；否则，就随意等可能放入一个空罐中.如此下去，显然号球就只有一种放法.将号球放入号罐子中的事件记为.例如，当时，显然1号球放入到1号罐子里的概率为，也就是. （1）当时，求和； （2）对于确定的，记.例如，表示的是按照规则将4个球放入到4个罐子里，最终4号球落入4号罐子里的概率.显然，，求证：在时，，并求出数列的通项公式； （3）对于确定的，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广西2026届新高三年级开学摸底诊断性检测 数学 （本试卷满分150分，考试时间120分钟） 注意事项： 1.答题前，务必将自己的姓名、班级、准考证号填写在答题卡规定的位置上. 2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号. 3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上. 4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由集合M中元素的特征，对元素进行判断. 【详解】且，则；且，则，所以. 故选：A 2. 在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数虚部是（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，结合共轭复数的定义求解 【详解】已知复数对应的点的坐标是， 所以. 所以. 所以的虚部为1. 故选：A. 3. 已知向量，，若，则等于（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用的坐标表示求出参数，计算的坐标，再用向量模的坐标表示即可. 【详解】因为向量，，且， 所以，解得， 即， 所以. 所以， 故选：C. 4. 《九章算术》中有如下问题：“今有女子善织，日益功，疾，初日织五尺，今一月织七匹三丈，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了七匹三丈，问每天增加多少尺布？”若这一个月有29天，记该女子一个月中的第天所织布的尺数为，则值为（ ） A. 15 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题干信息，可得数列是首项为5的等差数列，再结合等差数列的性质和前项和公式，即可求解. 【详解】根据题意，知数列是首项为5的等差数列， 设数列中所有奇数项的和为，则， 设数列中所有偶数项的和为，则， 又由等差数列的性质，知， 所以. 故选：D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用诱导公式化为，再结合二倍角公式进一步化简求值即可. 【详解】因为，所以 . 故选：B 6. 已知事件互斥，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件以及对立事件得概率公式计算即可. 【详解】由题可知：事件互斥，则，又， 所以，则. 故选：D 7. 如图是某高一学生晨练时离家距离与行走时间之间的函数关系的图像.若用黑点表示该学生家的位置，则该同学散步行走的路线可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定的图象，结合选项判断得解. 【详解】观察函数图象知，有一段时间该同学离家距离保持不变， 选项ABC中，路线上的点离家距离是变化的，选项D中的路线符合要求. 故选：D 8. 已知数列满足，则的最小值为（ ） A. 20 B. 21 C. 100 D. 101 【答案】D 【解析】 【分析】结合基本不等式和对勾函数的单调性确定的最小值后可得结论． 【详解】，当且仅当时取等号， 由对勾函数性质知时，是关于的单调增函数， 所以，，依此类推，， 所以的最小值是， 故选：D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列运算正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据对数的运算依次判断选项即可. 【详解】A选项，，故A错误； B选项，，故B正确； C选项，，故C正确； D选项，，故D正确. 故选：BCD. 10. 已知是双曲线的右焦点，为的左顶点，为右支上一点，则（ ） A. 点到的渐近线的距离为1 B. （点为坐标原点） C. 当轴时， D. 若为圆上一点，则的最小值为1 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，利用之间的关系求出，再求渐近线方程并利用点到直线距离公式点到的渐近线的距离，判断A；对于B，设，求，判断的正负，即可判断B；对于C，求点的坐标，结合三角形面积公式求，判断C；对于D，由双曲线的定义可得，由圆的性质可得 ，由此判断D. 【详解】设双曲线的半焦距为，因为为双曲线的右焦点， 所以，所以， 所以双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为和， 点到渐近线的距离， 点到渐近线的距离， 所以点到的渐近线的距离为，A错误； 设，则，， 所以，， 所以，当时取等号，即当的坐标为时等号成立， 故，所以，B正确； 若轴，则，所以，又点的坐标为， 所以，C正确； 圆的圆心的坐标为，半径为， 易知为双曲线的左焦点，则， 则， 当为线段与圆交点时等号成立， 所以的最小值为，D正确． 故选：BCD. 11. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的最小值为 C. 函数在点处的切线方程为 D. 在区间上的最大、最小值分别记为，则的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】由图可得.对于A，由周期计算公式可判断选项正误；对于B，由正弦函数单调性可判断选项正误；对于C，由导数知识可得切线斜率，即可得切线方程；对于D，问题等价于求在上最大值与最小值的差值，分类讨论t的取值结合正弦函数单调性可判断选项正误. 【详解】由图，，，因，则. 又由图可得. 设的最小正周期为T，则， 则取，得，则. 对于A，最小正周期为：，故A正确； 对于B，时，， 因函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，的最小值为，故B错误； 对于C，易得，，， 则切线方程为：，即，故C正确； 对于D，， 注意到，则令， 则问题相当于求在上最大值与最小值的差值. 由周期性，则只需要研究在上的相关性质. 若，由正弦函数单调性，结合和差化积公式 可得； ，则此时； 若，此时， 即，因时，， 从而，则此时； 若，由正弦函数单调性，结合和差化积公式 可得. ，则此时； 若，则， 则， 则，因时，， 则，则此时. 综上可得，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 数列是公比为的等比数列，.若数列的连续四项构成集合，则的值为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据条件，得到数列的连续四项或，再结合，即可求解. 【详解】因为数列是等比数列，且连续四项构成集合， 则连续四项可能为，此时，或，此时， 又，则， 故答案为：. 13. 4个家长和3个儿童去爬山，7个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为___________种. 【答案】 【解析】 【分析】先从4个家长中选2个家长排在排头和排尾，将剩余的5人全排即可. 【详解】第一步，先从4个家长中选2个家长排在排头和排尾，共有种排法； 第二步，将剩余的5人排在队伍中间，共有种排法. 所以，满足条件的排法种数有种. 故答案为： 14. 如图，某圆台形台灯灯罩的上、下底面圆的半径分别为5cm，12cm，高为17cm，则该灯罩外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】如图，设圆台上下底面圆心为，上下底面圆周上两点为E，F.上下底面圆半径为，外接球半径为.分球心在如图，，可分别得关于R的方程，即可得答案. 【详解】如图，设圆台上下底面圆心为，上下底面圆周上两点为E，F.上下底面圆半径为，外接球半径为. 若球心在如图，则， 整理得：，不合题意； 若球心在如图，则， 整理得：， 则，从而外接球面积为：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角的对边分别为，且. （1）求角的大小； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再通过三角函数的运算即可求出； （2）结合余弦定理得到关于和的关系，最后利用正弦定理即可求得. 【小问1详解】 由，正弦定理可得， 即， 展开上式可得， 移项得， 根据两角和的正弦可得， ，， 则，那么， ，， 故等式两边同时除以，得，解得， 又，. 【小问2详解】 由（1）可知，又， 将两式代入余弦定理，得， 化简得，即， ，，即， 根据正弦定理，可得， 将代入，得. 16. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）若有最大值且为.则求的值. 【答案】（1）答案见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）分类讨论求导数，根据导数正负判断函数单调性； （2）求导数得出函数单调性再根据最大值求参数. 【小问1详解】 由题意可得的定义域为，且． 当时，恒成立，则在上单调递增； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减． 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减． 【小问2详解】 由（1），当时，在上单调递增，则无最大值，即不符合题意． 当时，在上单调递增，在上单调递减， 则， 由已知 则，令， 则， 当时，，在上单调递增， 当时，令，则， 所以在上单调递减，，即， 则在上单调递增， 又， 所以是的唯一解， 综上，． 17. 如图，正方形的边长为4，、分别为和的中点，在五棱锥中，为的中点，平面与棱、分别相交于点、. （1）求证：； （2）若平面，且，求直线与平面所成角的大小，并求线段的长. 【答案】（1）证明见解析 （2）直线与平面所成角为； 【解析】 【分析】（1）利用线面平行的判定定理、性质定理可得答案； （2）以点为坐标原点，所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系，求出平面的一个法向量，由线面角的向量求法可得直线与平面所成角；利用点面距离的向量求法可得. 【小问1详解】 因为，平面，平面， 所以平面，又平面， 平面平面， 所以； 【小问2详解】 若平面，平面, 则，以点为坐标原点， 所在的直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设为平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 设直线与平面所成角为，则 ， 因为，所以. 点到平面的距离 ， 所以. 18. 设椭圆左焦点为，短轴上端点为，为坐标原点，，且长轴长为4. （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆左焦点的直线，倾斜角为. （i）当时，直线与椭圆交于、两点，求线段的长； （ii）对任意，直线与椭圆交于、两点，求三角形面积的最大值. 【答案】（1）； （2）（i）；（ii）. 【解析】 【分析】（1）设椭圆的半焦距为，由条件列关于的方程，解方程求可得结论； （2）由（1）可得的坐标，（i）求直线的方程，联立方程组化简可得，设，，，解方程求，结合弦长公式求结论；（ii）说明，设直线的方程为，联立方程组，设，，利用设而不求法表示的面积，结合导数方法求其最大. 【小问1详解】 设椭圆的半焦距为， 因为为椭圆的左焦点，短轴的上端点 所以的坐标为，的坐标为，，， 故，又为直角三角形，为直角， 所以， 因为，椭圆的长轴长为4， 所以，，故， 所以椭圆的标准方程为， 【小问2详解】 由（1），椭圆的标准方程为，， 故， （i）若直线的倾斜角，则直线的方程为，即， 联立，消元可得， 化简可得， 设，，， 则，， 所以， 所以线段的长为； （ii）若，直线直线与椭圆交于点，， 点，和点三点共线，无法构成三角形，故舍去， 若，可设直线的方程为， 联立，消元可得， 所以， 方程的判别式， 设，，则，， 因为，故， 又， 所以， 所以， 令，则，， 设，， 则，所以函数在上单调递增， 所以当时，， 所以当时，取最大值，最大值为 所以当，即时，面积取最大值，最大值为， 19. 设，有个罐子和个小球，球和罐子均以1至编号.现在按号码递增的顺序依次将球放入罐子中，1号球可不受限制地随意等可能放入个罐子中的任意一个；对于，只要号罐子空着，就把号球放入到号罐子里；否则，就随意等可能放入一个空罐中.如此下去，显然号球就只有一种放法.将号球放入号罐子中的事件记为.例如，当时，显然1号球放入到1号罐子里的概率为，也就是. （1）当时，求和； （2）对于确定的，记.例如，表示的是按照规则将4个球放入到4个罐子里，最终4号球落入4号罐子里的概率.显然，，求证：在时，，并求出数列的通项公式； （3）对于确定的，求. 【答案】（1）， （2）证明见解析； （3） 【解析】 【分析】（1）当时，分两类情况，利用互斥事件的和事件概率加法公式（全概率公式）求解可得； （2）按1号球放入罐子号分类，利用由互斥事件的和事件概率加法公式（全概率公式）求解递推关系；再构造作差求通项即可. （3）根据全概率公式计算求解. 【小问1详解】 当时，由题意，事件“将号球放入号罐子中”， 即前个球放置后号罐子为空，、号球不能放入号罐子， 共如图两类情况： 第一类：号球放入号罐子，其概率为，且之后放法确定. 因为号罐子空，号球必放入号罐子， 然后因为号罐子空，则号球必放入号罐子； 第二类：号球放入号罐子，概率为， 然后因为号罐子不空，则号球放入号罐子的概率为， 之后由于号罐子空，则号球放法确定，必放入号罐子； 则由概率乘法公式可知，此类情况概率为. 因为两类事件互斥，则由互斥事件的和事件概率加法公式可得 所以； 由事件“号球不放入号罐子，且号球放入号罐子”，即上述第二类情况， 故. 【小问2详解】 表示的是按照规则将个球放入到个罐子里，最终号球落入号罐子里的概率， 其中，且由题意，由（1）可知. 当时，事件共有以下情况： 第1类：号球放入号罐子，其概率为，且依序各罐子都空，故之后放法确定， 即任意号球都必放入号罐子； 第2类：号球放入号罐子，其概率为， 然后将剩余号共个球放入共个罐子中，且号球必须放入号罐子， 现不妨将号罐子重新编号为“新”号罐子，即将个球放入“新”共个罐子中，且号球必须放入号罐子，其概率为， 故由概率乘法公式可知，此类情况概率为该类情况的概率即为； 第类：号球放入号罐子，其概率为， 因为号罐子空，号球放法确定，必放入号罐子， 然后将剩余号共个球放入共个罐子中， 且号球必须放入号罐子， 现不妨将号罐子重新编号为“新”号罐子， 即将个球放入“新”共个罐子中， 且号球必须放入号罐子，其概率为， 故由概率乘法公式可知，此类情况的概率为； 同理依次分类下去，，直至第类， 第类：号球放入号罐子，其概率为， 因为号罐子均为空，所以号球依次放入对应编号的罐子中 然后将球与号球两个球放入号共个罐子中即可，且号球必须放入号罐子， 同理可知此类情况的概率为； 因为这类事件互斥，则由互斥事件的和事件概率加法公式可得 所以， 则有①，得证. 由所证式子可得②， 由得， 化简可得，又， 故可得. 【小问3详解】 现按照规则将个球放入到个罐子里，其中， 由题意事件“号球放入号罐子中”， 则由全概率公式可得， 且，，， 且由（2）知， 代入公式可得， 解得. 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $