广西部分学校2025-2026学年高二上学期开学质量检测数学试卷

2025年秋季学期高二开学质量检测卷 数学参考答案 1.B由题意得：=2i-2i=2+2i,则1z|=√22+2=22. 2.D设该扇形的圆心角为a,半径为r,则扇形面积S= 2ar2、3 a=3,解得a-2. 3.A由余弦定理得AC=√32+4-2×3×4×(-号)=37. 4.C易得OC⊥OA,OC=OC'=4,OA=20'A'=26,则S=OC·OA=4×2√6=86. 5.C如图，连接AC交BD于点E.易得AC⊥BD,AC⊥DD1,DD,∩BD= D,所以AC⊥平面BDD,B1,所以AE的长即为直线AA1到平面BDD1B1A, 的距离.因为AC=√（√2）2+(2)2=2，所以AE=1. B由图您可得9停o。ne-之 1 2cosa,即4V3cosa= 5sina,所以tana sin a 43 cos a 5 7.B画出示意图，如图所示，则PM=40海里，∠PMC=90°一75°= 15°，∠MPC=90°+45°=135°，所以∠PCM=180°-135°-15=30°， 根据正弦定理可得一，解得流=反MP=10海里。 M 则乙船前往支援M处的甲船需要航行的最短距离是40√2海里， 8.D易得A-店+脉=店+B武=A店+号AC-A)=A店+号C-号A币+ 吉正.因为D,F,E三点共线，所以号十号=1所以十y-5 m一4=0， 9.ABD若之为实数，则一m=0,即m=0,A正确.若之为纯虚数，则 解得m=4.B 一m≠0， 正确.若复数z的实部与虚部相等，则m一4=一m,解得m=2,则z=一2一2i,z=一2十2i,C fm-4>0, 错误.若：在复平面内对应的点位于第一象限，则( 不等式组无解，所以x在复平面 一m>0, 内对应的点不可能位于第一象限，D正确。 10.BCD 由图可知A=25.号1MN1=23,则1MN-号-2习 ×2=4,得T=2红=8，解得 【高二数学·参考答案第1页（共6页）】 。一于，A错误.因为线段MN的中点坐标为(3,0)，所以平×3十g=受+2kxk∈Z,解得 9=一开+2kxk∈D.因为g<受，所以9=-开，B正确.因为f(7)=25sim(-开) =25sin=-25,所以直线x=7为f(x)图象的一条对称轴，C正确.了(x+2)= 25sin(子x+经-)=25sm(竿x+).D正确. 1L.ACD根据题意可得直线AH与直线DD1所成的角为∠AHD,则 m∠AHD-品-an手=1，所以AD=DH,因为AD=AB=4,所以 DH DH=4,A正确.连接AD.VcA,H=VHA,C=VHA,D=VcA,HD=3 号×4×4X4-号，B错误连接AC.因为A,AL底面ABCD,所以直线 B A:C与底面ABCD所成的角为∠A,CA,cos∠A,CA=A 42 AC√42)+8 3C正确. 取BB1的中点M,连接A,M,MC,HM,易得A,M∥HC,A,HMC,所以四边形AMCH 即为平面A,HC截正四棱柱ABCD-A,B,C,D1所得的截面，且四边形A,MCH的面积为 A,C·MH-号×V8+1+X4反=165，D正确 12.√2设球O的半径为R,则4πR2=8π，解得R=√2 13.9根据题意可得BC·BP=BC1BP1·cos∠CBP=BC12=9. (方法一)设角A,B,C所对的边分别为a,b,c.根据题意不妨设中线AM=2,中线BN =2. 易得4一2十红一2·么 2·ccos A=c2+6-6+C二4，得2a2+2c2-b2=16.① 4 2 4=c2+g :号osB=+号-a2+得6+2-a=16日 4 由①②可得a=b,a2=16-2c2.因为△4BC的面积S=号 2acsin B. 所以s-smB=:1-osB)-ae-oe(tc-ac-信 4 2ac 16-2)=c-号}+g当且仅当a=6-婴e-号时，等号 【高二数学·参考答案第2页（共6页）】 648 成立，故△ABC面积的最大值为√9=了 (方法二)根据题意不妨设中线AM与BN交于点O,AM=2,BN=2,根据重心性质可得 OM=0B-号×2=号，则Sr=3S2u=3·20A·0B·sn∠A0B-号m∠A0B,当 8 sin∠AOB=1时，△ABC的面积取得最大值，最大值为了 15.解：(1)由题意得a一b=(x一1，一x),… …1分 则(x-1)2十(x)2=1,即2x(x一1)=0，…2分 解得x一1或0…3分 因为a为非零向量，所以x≠0，所以x=1.…4分 (2)由(1)得a=(1,0),b=(1,1),所以a=1,b=√2，a·b=1,…6分 所以cos(a,b)= a·b=1-2 lalbl2 2 …8分 因为a,b)∈[0，]，所以(a,b)=于，即向量a,b的夹角为无 9分 (3)向量a在b方向上的投影向量的模为a:h=上-2 1b122 …13分 16解：因为品是+A-_,所以2+e+ sin C'sin B bc ,…2分 则b2十3ac=a2十c2.… …4分 由余弦定理可得cosB=a十c2-b 2ac 2· …6分 又因为0<B<π，所以B=T 6 …8分 (2)证明：因为sinA=/3sinC,所以a=√3c,…10分 又b2+√5ac=a2十c2,所以b2+3c2=3c2+c2,即b=c,…13分 所以△ABC为等腰三角形.…… …15分 141 17.解：(1)tan(a-B)-1+tan atan 3+7 …3分 1+3×(-》 (2)1-cos2a_1-(1-2sin'a) =tan a=3. …7分 sin 2a 2sin acos a 【高二数学·参考答案第3页（共6页）】 (3(方法一油1)得1ama-)=2,则1am(2a-2p》=二ama 2tan(a-B) 1 4 1一 3，… …9分 41 所以tan(2a-B)=tan(2a-23+B》=1=tan(2a-29)·tanB tan(2a-23)+tan B 37 1, 1-x(-) …12分 因为ana-号<1，所以ae(0,》,2a∈(0，)， …13分 因为B(受，x,所以-B∈(-元，-），所以2a一B∈(-元，0，…14分 所以2a-B= 3π …15分 2 (方法二)因为tana=3,所以tan2a 2tan a 1-tan'a …9分 1-(3) -(》) 所以a2a一p中m2a·月1+2×(-）月 …12分 因为ana=号<1.所以a∈(o,)2a∈(o,, …13分 因为B∈（受，）所以-B∈(-元，一），所以2a一Be(一元，0)，…14分 所以2a-日=系 …15分 18.(1)证明：连接AD1.因为AA1⊥底面ABCD,所以AA1⊥CD.…1分 因为底面ABCD是正方形，所以AD⊥CD,又AD∩AA,=A,所以CD⊥平面A,D,DA, …2分 因为AEC平面AD1DA,所以CD⊥AE.…3分 易得AD1=√AA+AD=√/48+16=8，则AD,=AD,因为E为侧棱DD1的中点，所 以AE⊥DD1,…4分 因为CD∩DD1=D,所以AE⊥平面CDD1C.…5分 (2)解：过点E作EM∥AA1,EM∩AD=M,过点M作MK⊥AC,垂足为K,连接EK. 【高二数学·参考答案第4页（共6页）】 因为AA1⊥底面ABCD,所以EM⊥平面ABCD,所以EM⊥AC.…6分 因为MK⊥AC,EM∩MK=M,所以AC⊥平面MEK.…7分 因为EKC平面MEK,所以AC⊥EK,则∠MKE为二面角E-AC-D的平面角.·8分 因为EM=25.MK=×号BD=3E. …9分 EM√6 所议an/MKE-派=3，即三面角EACD的正切值为 …10分 (3)解：在线段D,C上存在点H,使得平面BHD⊥平面AEC,且 DH 1 HC2· 11分 证明如下： 取AD的中点O,连接OC交BD于点N,连接HN,OD 易得D,O∥A,A,因为AM1⊥底面ABCD,所以DO⊥平面 ABCD. …12分 因为-C-号-所以D,O/N,所以HNL平面ABCD.13 因为ACC平面ABCD,所以HN⊥AC.…14分 因为底面ABCD是正方形，所以BD⊥AC,…15分 因为HN∩BD=N,所以AC⊥平面BHD,…16分 因为ACC平面AEC,所以平面BHD⊥平面AEC,所以在线段D,C上存在点H,使得平 面HDL平面ABC,且-分 …17分 19.解：1)由题意，得(x-)+g(x-）=cos(x-)+sinm(x-) =sinx-cosx,… …1分 h(x)=(cos x+sin x (sin x-cos x)=sin'x-cos'x=-cos 2x, …3分 由x∈[-意]，得2x∈[-]， …4分 则os2x∈[小 …5分 故h)的值域为[-1.-] 6分 (2)()=[lcos al-sin x]I sin xl+cos ]=sin xcosx+cos xlcos xl-sin xIsin sin .rc0Sx.…7分 【高二数学·参考答案第5页（共6页）】 ①当x∈[2kx,2kx+受](k∈ZD时，simx≥0，cosx≥0. 则k(x）=cos2x一Sin2x=c0s2x,k(x)单调递减，…8分 所以k(x)m=g(2k元+交）=-1，k(x)m=k(2kx)=1.…9分 ②当：x∈[2kx+,2kx十x](k∈ZD时，sinx≥0，cosx<0 则k)=-2inx6osx-cosr-simz=-m2r-1.k()在[2kx+受，2kx+]∈ 上单调递增，在[2kr十32kx十元]k∈Z上单调递减，…10分 所以k（x)m=(2k+受)=k(2kx十x)=-1,g)=g(2kx+3）=0 。…11分 ③当xe[2kx十x,2kx+经](k∈2时，m1≤0.os≤0， 则k(x)=sin2x一C0s2x=一c0s2.x,k(x)单调递增，…12分 所以kc)=k(2kx十x)=-1,k(x）m=k(2kx+3）-1.…13分 ④当x∈[2kx+,2kx+2x]k∈Z时.sinx<0,cosx≥0， )=-2 sine+simx+osr=1-sin2,k(x)在[2kx+跨，2kr+7]∈2 上单调递增，在[2kx+,2kx十2]（∈上单调递减… …14分 所以k(x)=k(2kx+）=k(2kx+2x)=1,k(x)m=(2kx十）=2.…15分 因为a,b∈R,Hc∈R,k(a)≤k(c)≤k(b),所以k(a)=k(x)n=-1,k(b)=k(x)mx=2, 所以当a一-6取最小值时.a-61=牙-x-平 …17分 ▣▣ 【高二数学·参考答案第6页（共6页）】2025年秋季学期高二开学质量检测卷 数 学 住意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名，考生号，考场号，座位号填四在客题卡上 二其容这释题时，选出每小题落案后，用铅笔肥答延中上对应题日的签案标号擦 黑。如需放动，用娘皮擦干净日，再达像其修著案标号。回答非选择起时，将客案写在 答超卡上，在本其卷上无效， 表考试结表后，将本试卷和答题卡一并交国。 4木甘卷主要考试内容：北幅大版多修第二导 一，遗择题：本愿共8小题，每小题5分，共的分，在每小题给出的四个选项中.只有一预是符食 题目要求的 1.若复数=1一节，期= A./ 我22 C.2 五4 2已知半径为5的帛形面积为3，则扇形的圆心角为 A./3 B吉 C1 L在△AC中，∠ABC-号AB=3:C=4,用AC= A 且√/国 C.3I b./is 4.如图，平行圆边形OAB'C是水平数置的四边悬QABC的直浅图O'C=4,0A'一√居，则国 边形OC的面积S一 A.4 鼠8万 C8,8 n16/6 5已年正方体ABCD-A,B:CD,的长N经，离直线AM:到平面DD,B,的师真为 A.2 B2 CI D.22 6,已翎em(e+)=m(e+》,测ana A a c-目 n哈 [流二数学第1两（共4直）】 了，位于灯暗P的正西方向且相距40海里的M处有一艘甲船，圈要海上加油，使于灯塔P的东 北方向的C处有一粮乙船在甲船的虚偏东5方向上，侧乙船输往支缓M址的甲船需要前 行的最虹距真是 A20w2海里 且40-豆海黑 C0.万海里 D30海里 么如函，设酒-A心心-A正，线撞D呢与C交于点F,且-或，则十y一 A4 且3 c 且 二，选释恩：本盟共3小盟，每小题6分，共18分，在每小蹈给出的必顶中，有多项符合题目要 求全部透对的得6分，留分选对的得图分分，有选罐的得·分 且若复数a一用一4一用(mE),则 A当：为实数时，群一0 B当E为韩遗数时m4 C当±的实那与虚部相等时，一一 B:在复平面内对应的点不可能位于第一象限 n,已知雨数f化)-Ana十g(A>-0am>0,e<受)的常分图象 如图所示，其中△CN为等边三角形.点M的坐标水1,0)，则 Ae=晋 B=-日 G直线x=7是(：)图象的一条对称轴 D将f红)的图象闻左平移？个单位长度后，所得圆象与函数g工)一2，m(票工十)的 图象重合 11在正四棱桂AD-A:B,CD中，AA,=2AB一s,点H在棱DD,上，且直线AH与直线 DD:所或的角为于，则 ADH-4 且三战集CA,B,H韵体职务， C直线A,C与底面ABCD所成角的余盘值为得 D平面A:HC藏正四棱柱AD-A,B,CD,所得戴寅的面积为1万 1高一数学第西共4)门 三，填空：本共3小用，每小原5分，共15分 12若球O的表面积为，用流球的率径为▲ 1点在矩形ABD中，BC-5P为边CD上一点，影B配，币=▲ 14若△AC的两条中规长均为2，则△ABC面积的最大值为A 四、解答题：本累共5小题，满？7分.解苦应写出文字说明、证期过程成演其步厘 1513分) 已知非等%层a=x,),=(1,x),且a一1=1， 们)求士的值： (2)求向量。与的夹角1 《3)求向量“在◆方向上的投影向量的模 16.15分 在C中角AB,C所对边分为6，且是台-芒 (1)求B的大小， (2)已知nAnC,证明：△AB以C是等模三角形 真二数华第3两共4所 11(15分) 已知m。一号m一子且ae(o受引0E(货以. (1)求mn(a户的植： 田球'品。的 (3求2经一具 18,(17分) 在再棱台ABCD A出，C,D,中，AA⊥靠面ACD,密面ABD是正方乖，E为州较DD 的中点，AD=4:A,D1=4,AA1=4y (ID证用：AE⊥平面CDD,C: (2求二面角EACD的王货值 D H 3)在线段D,C上是香存在点H,使得平面BD上平面BC?如装存在，求C韵值：如 暴不存在，请说明建由。 1织17分) 已知函数f代z》一e0g据士)自 i设通数ae)=r)tg]:[Va一)+-是】a∈[-音]求Ae的 值城 2)设质数x)-fx川-gx)】·[fx)+1x)门已知，beR,V:∈翼，4(a≤ (:众（仙），求a一的最小值 克二数学第4因（共4】