精品解析： 四川省泸州市龙马高中2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试卷

2024-2025学年四川省泸州市龙马高中九年级（下） 第一次月考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形； B、是轴对称图形，是中心对称图形； C、不是轴对称图形，是中心对称图形； D、是轴对称图形，不是中心对称图形． 故选B． 【点睛】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合． 2. 经专家测算，北京的网络速度基本上能够保证在  左右，最高峰值时曾达到  ，将  用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥1时，n是非负数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【详解】解：将106 000 000用科学记数法表示为1.06×108． 故选C． 【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 3. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】解：该几何体的俯视图为： ， 故选：A 【点睛】本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图． 4. 函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，分式有意义的条件，即可求解 ． 【详解】解：根据题意得：， 解得：且． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了求自变量的取值范围，熟练掌握二次根式有意义的条件，分式有意义的条件是解题的关键． 5. 点与点关于轴对称，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】根据点A、B关于y轴对称，则纵坐标相等，横坐标互为相反数，求出a、b的值，即可得到答案． 【详解】解：∵点与点关于轴对称， ∴，， ∴点在第三象限； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了点的坐标性质，根据已知得出两点坐标性质是解题关键． 6. 为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某校对学生的睡眠状况进行了调查，经统计得到个班学生每天的平均睡眠时间（单位：小时）分别为：，，，，，则这组数据的中位数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中位数的定义解答即可． 【详解】把这组数据从小到大排列为：，，，，，， 所以这组数据的中位数为． 故选：B． 【点睛】本题考查中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 7. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式与根的关系解答即可． 【详解】∵一元二次方程即有两个实数根， ∴， 解得：m≠0且m≥﹣1， 故选：B． 【点睛】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式、解一元一次不等式，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答的关键． 8. 已知正六边形的边长为4，则它的内切圆半径为（ ） A. 2 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】如图所示，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于G，先求出∠AOB=60°，得到△OAB是等边三角形，然后根据勾股定理和三线合一定理求出OG的长即可． 【详解】解：如图所示，连接OA、OB，过点O作OG⊥AB于G， ∵六边形ABCDEF是边长为4的正六边形， ∴， ∴△OAB是等边三角形， ∴OA=AB=4， ∵OG⊥AB， ∴， ∴， ∴边长为4的正六边形的内切圆的半径为：2. 故选C． 【点睛】本题主要考查了正多边形和圆，等边三角形的性质与判定，勾股定理，求出∠AOB=60°是解题的关键． 9. 已知关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出不等式组的解集，再根据不等式组的解有且只有整数解即可得到取值范围． 【详解】解：， 解得：， ∴不等式组的解集为：， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴； 故选：． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的解集，能根据不等式的解集和已知条件得出结论是解题的关键． 10. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 【答案】A 【解析】 【分析】首先利用垂径定理的推论得出，，再设的半径为，则．在中根据勾股定理列出方程，求出即可． 【详解】解：是的一部分，是的中点，， ，． 设的半径为，则． 在中，， ， ， ， 即的半径为． 故选：A． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理的应用，设的半径为，列出关于的方程是解题的关键． 11. 如图，正方形的边长为，对角线交于点，点为边上的三等分点，连接，分别交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，由正方形的性质可得，，，即得，进而由可得，得到，同理可得，最后根据线段的和差关系即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵点是的三等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 同理可得，， ∴， 解得， ∴， 故选：． 12. 若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为( ) A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，根据题意巧设“优和点”，再联立新方程是解本题的关键，综合性较强，难度适中．设这个二次函数的“优和点” 坐标为，将点坐标代入二次函数，根据题意分类讨论，再求的范围即可． 【详解】解：设这个二次函数的“优和点”坐标为，将点坐标代入可得： ； 整理得：， 令， 二次函数的“优和点”有且仅有一个， 与x轴只有一个公共点， 第一种情况是与x轴只有一个交点，且在x轴的正半轴上， ，且，解得：，且， ； 第二种情况是与x轴有两个交点，且只有一个交点在x轴的正半轴上， 对称轴在y轴左侧，且交于y轴的负半轴， 且， 解得， 综上，的取值范围为或． 故选：C 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 分解因式：=_______． 【答案】 【解析】 【分析】要将一个多项式分解因式的一般步骤是首先看各项有没有公因式，若有公因式，则把它提取出来，之后再观察是否符合完全平方公式或平方差公式，若是就考虑用公式法继续分解因式． 【详解】解：． 故答案为：. 14. 把一个半径为3cm的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥，那么这个圆锥的高为_____． 【答案】cm 【解析】 【分析】利用勾股定理得出h的值即可，以及把的扇形的弧长等于圆锥底面周长作为相等关系，列方程求解． 【详解】圆锥的底面圆的周长＝＝π； 设半径为r，则有2πr＝π， 解得r＝cm； 根据勾股定理得到：锥高＝＝， 故答案为cm． 【点睛】本题综合考查有关扇形和圆锥的相关计算．解题思路：解决此类问题时要紧紧抓住两者之间的两个对应关系：（1）圆锥的母线长等于侧面展开图的扇形半径；（2）圆锥的底面周长等于侧面展开图的扇形弧长．正确对这两个关系的记忆是解题的关键． 15. 若分式方程-2= 的解为非负数，则m的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】先解分式方程，求出方程的解，根据题意得出不等式，求出不等式的解集即可． 【详解】解：-2=， 方程两边都乘以x-2得：x+1-2（x-2）=m， 解得：x=5-m， ∵分式方程的解为非负数， ∴5-m≥0且5-m≠2， 解得：m≤5且m≠3， 故答案为m≤5且m≠3． 【点睛】本题考查了解分式方程和解一元一次不等式，能根据题意求出关于m的不等式是解此题的关键． 16. 如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为，由 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，可得：的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆，再根据“圆外一定点到圆上任一点的距离，在圆心、定点、动点，三点共线时定点与动点之间的距离最短”，所以当、、三点共线时，的值最小，可求，从而可求解． 【详解】解，如图，连接，将以中心，逆时针旋转，点的对应点为， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 的运动轨迹是以为圆心，为半径的半圆， 如图，当、、三点共线时，的值最小， 四边形是正方形， ，， 是的中点， ， ， 由旋转得：， ， ， 的值最小为． 故答案：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，勾股定理，动点产生的线段最小值问题，掌握相关的性质，根据题意找出动点的运动轨迹是解题的关键． 三、解答题：本题共8小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查实数的混合运算，掌握负指数幂，锐角三角函数的计算，绝对值，二次根式的性质是解题的关键． 根据负指数幂，锐角三角函数的方法，绝对值的性质，二次根式的性质进行化简，再根据实数的混合运算即可求解． 【详解】解： ． 18. 化简：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简，加减乘除混合运算，解题的关键是先对括号内的式子进行通分，再将除法转化为乘法进行约分计算． 先对括号内式子通分计算，再把除法运算转变为乘法运算，最后约分化简． 【详解】原式 19. 如图：在中，点为边上的中点，连接，点为线段上的一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． 【答案】 证明：∵CE∥BF， ∴∠CED＝∠BFD， ∵D为BC的中点， ∴BD＝CD， 在△CED和△BFD中，， ∴△CED≌△BFD（AAS）， ∴CE＝BF． 【解析】 【分析】根据CE∥BF易证∠CED＝∠BFD，再由为边上的中点知BD＝CD，对顶角∠BDF与∠CDE相等，利用“AAS”来证明△CED≌△BFD，最后根据全等三角形的对应边相等来证明CE＝BF． 【详解】略 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，关键是通过平行线的性质定理得到∠CED＝∠BFD，然后通过AAS证明三角形△CED≌△BFD． 20. 某校将举行跳绳比赛，需要购买A、B两种跳绳．已知每根A种跳绳的单价比B种跳绳的单价少5元，300元购买A种跳绳的数量与450元购买B种跳绳的数量相等． （1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？ （2）设购买A种跳绳m根，若学校计划购买A，B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳的数量不超过B种跳绳的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案． 【答案】（1）购买一根A种跳绳和一根B种跳绳各需10元，15元 （2）购买A种跳绳30根，购买B种跳绳15根 【解析】 【分析】（1）设购买一根B种跳绳需x元，则购买一根A种跳绳需元，根据题意易得，然后求解即可； （2）根据题意易得，然后可得，进而根据一次函数的性质可进行求解． 【小问1详解】 解：设购买一根B种跳绳需x元，则购买一根A种跳绳需元， 根据题意，列方程得： ， 解得：， 经检验，是原方程的解， 则（元）， 答：购买一根A种跳绳和一根B种跳绳各需10元，15元． 【小问2详解】 解：根据题意，列不等式组得： ， 解得， 设购绳所需总费用为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减少， ∴当时，购绳最省钱，此时（根）， 则最省钱的购买方案是购买A种跳绳30根，购买B种跳绳15根． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用及分式方程的应用，熟练掌握一次函数的应用及分式方程的应用是解题的关键． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）过点作直线，交该反比例函数图象于另一点，交轴于点，连接，若，求的长． （3）是轴上一点，满足最大，直接写出点的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）求出点的坐标，如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点，可证，求出点的坐标，在中，根据勾股定理即可求解； （3）由题意作点关于轴的对称点，作直线交轴于，此时的值最大． 【小问1详解】 解：点在直线上， ，则， 点， 点在双曲线上， ， 该反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：由，得， 或， 当时，；时，， 点， 如图所示，过点作轴于点，过点作轴于点，过点作于点， 平行于， ， ， ， ． 点在双曲线上， ，且， 在中，，， ； 【小问3详解】 解：作点关于轴的对称点，作直线交轴于， 则， 此时最大， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 令， 解得， 的坐标为． 【点睛】本题主要考查一次函数，反比例函数，相似三角的判定和性质，勾股定理，轴对称最短，掌握相关知识并能灵活综合应用是解题的关键． 22. 如图，杨帆同学在学习了“解直角三角形及其应用”的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为；D点到地面C的距离是．若斜坡的坡度（点E，C，B在同一水平线上），求大树的高度．（结果精确到，参考数据：，，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比） 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点G，作于点H，设，用含x的代数式表示出，，根据列出方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：过点D作于点G，作于点H， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵斜坡的坡度，， 则设为m，为m， 在中，， ∴， ∴，， 设的高度为， 在中，∵， ∴， 在中，，， ∵，∴， 即， 解得， 经检验，是原方程的解且符合题意， ， 答：大树的高度为． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用中的仰角俯角问题、坡度比问题，解题的关键是掌握锐角三角函数的定义、仰角俯角的概念、坡度比的概念． 23. 已知：如图，在中，，，是的直径，于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． （3）在（2）的条件下，求的面积． 【答案】（1） 证明：如图所示，连接， 是的直径，， ， ， ， ， ， ， 是的直径， 是的切线； （2）3 （3） 【解析】 【分析】本题是圆的综合题，主要考查了解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，勾股定理，相似三角形的性质与判定，垂径定理等等，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）如图所示，连接，证明得到，进而推出，由此即可证明是的切线； （2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，进而推出，证明，得到，，解直角三角形求出，根据勾股定理即可得到结论； （3）连接，过点作于，设圆的半径为，则，利用勾股定理求出，则，证明，求出，解直角三角形得到，进而利用勾股定理求出，再根据进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图所示，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ，， 在中，， ， 是的直径，， ， ， ， ； 【小问3详解】 解：， ； 如图，连接，过点作于， 设圆的半径为，则， 在中，由勾股定理得， ， 解得， ， ，， ，， ， ，即， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， ． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）如图，连接，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作于点，轴交直线于点，求线段的最大值； （3）如图，点在线段上（点不与点重合），点、关于原点对称，射线、分别与抛物线交于、两点，连接、，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 【答案】（1），， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等面积法求出是解题的关键． （1）当时，求出，当时，求出，； （2）过点作轴交直线于点，设，则，再由，得到，当时，有最大值； （3）设，则，直线与抛物线的交点为，同理可求直线与抛物线的交点为，又由，，即可求． 【小问1详解】 解：当时，， ， 当时，， 解得或， ，； 【小问2详解】 解：设直线的解析式为， ， 解得， ， 过点作轴交直线于点， 设，则， ， ， ， 当时，有最大值； 【小问3详解】 解：设，则， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，解得或， ， 同理可求直线的解析式为， 当时， 解得或， ， ， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年四川省泸州市龙马高中九年级（下） 第一次月考数学试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列四个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 经专家测算，北京的网络速度基本上能够保证在  左右，最高峰值时曾达到  ，将  用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 一个由长方体截去一部分后得到的几何体如图水平放置，其俯视图是（ ） A. B. C. D. 4. 函数中，自变量x的取值范围是（　　） A. B. 且 C. D. 且 5. 点与点关于轴对称，则点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 6. 为了进一步落实“作业、睡眠、手机、读物、体质”五项管理要求，某校对学生的睡眠状况进行了调查，经统计得到个班学生每天的平均睡眠时间（单位：小时）分别为：，，，，，则这组数据的中位数为（　　） A. B. C. D. 7. 关于的一元二次方程有两个实数根，则实数的取值范围（ ） A. B. 且 C. D. 且 8. 已知正六边形的边长为4，则它的内切圆半径为（ ） A. 2 B. C. D. 4 9. 已知关于的不等式组有且只有个整数解，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 10. 陕西饮食文化源远流长，“老碗面”是陕西地方特色美食之一．图②是从正面看到的一个“老碗”（ 图①）的形状示意图．是的一部分，是的中点，连接，与弦交于点，连接，．已知cm，碗深，则的半径为（ ） A. 13cm B. 16cm C. 17cm D. 26cm 11. 如图，正方形的边长为，对角线交于点，点为边上的三等分点，连接，分别交于点，则的长为（ ） A. B. C. D. 12. 若函数图象上存在点满足（，且为常数），则称点为这个函数的“优和点”．例如：函数图象上存在点，因为，所以我们称点为这个函数的“1优和点”．若二次函数的“优和点”有且仅有一个，则的取值范围为( ) A. B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 13. 分解因式：=_______． 14. 把一个半径为3cm的圆片，剪去一个圆心角为120°的扇形后，用剩下的部分做成一个圆锥，那么这个圆锥的高为_____． 15. 若分式方程-2= 的解为非负数，则m的取值范围是___________． 16. 如图，是正方形边的中点，是正方形内一点，连接，线段以为中心逆时针旋转得到线段，连接．若，，则的最小值为___________． 三、解答题：本题共8小题，共65分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 计算：． 18. 化简：． 19. 如图：在中，点为边上的中点，连接，点为线段上的一点，连接，过点作交的延长线于点，求证：． 20. 某校将举行跳绳比赛，需要购买A、B两种跳绳．已知每根A种跳绳的单价比B种跳绳的单价少5元，300元购买A种跳绳的数量与450元购买B种跳绳的数量相等． （1）求购进一根A种跳绳和一根B种跳绳各需多少元？ （2）设购买A种跳绳m根，若学校计划购买A，B两种跳绳共45根，且购买A种跳绳的数量不超过B种跳绳的数量的2倍，请设计出最省钱的购买方案． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点． （1）求该反比例函数的表达式； （2）过点作直线，交该反比例函数图象于另一点，交轴于点，连接，若，求的长． （3）是轴上一点，满足最大，直接写出点的坐标． 22. 如图，杨帆同学在学习了“解直角三角形及其应用”的知识后，尝试利用所学知识测量河对岸大树的高度，他在点C处测得大树顶端A点的仰角为，再从C点出发沿斜坡走到点D处，测得大树顶端A点的仰角为；D点到地面C的距离是．若斜坡的坡度（点E，C，B在同一水平线上），求大树的高度．（结果精确到，参考数据：，，斜坡坡度：指斜坡的铅直高度与水平宽度的比） 23. 已知：如图，在中，，，是的直径，于点． （1）求证：是的切线． （2）若，，求的长． （3）在（2）的条件下，求的面积． 24. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于、两点（点在点的左侧），与轴交于点． （1）直接写出，，三点的坐标； （2）如图，连接，点是第四象限内抛物线上的动点，过点作于点，轴交直线于点，求线段的最大值； （3）如图，点在线段上（点不与点重合），点、关于原点对称，射线、分别与抛物线交于、两点，连接、，若的面积为，四边形的面积为，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $