精品解析：吉林省长春市赫行实验学校2025--2026学年九年级上学期开学考试数学试题

数学学科试题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的化简，最简二次根式的识别，解题的关键是熟练掌握二次根式的化简和最简二次根式的定义． 利用二次根式的化简和最简二次根式的定义，即根号内不含分母和开的尽方的因数或因式，逐项进行判断即可． 【详解】解：A.选项：不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； B.选项：，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； C.选项：是最简二次根式，故本选项正确，符合题意； D.选项：，不是最简二次根式，故本选项错误，不符合题意； 故选C． 2. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 【答案】B 【解析】 【分析】依题意，分别用和去代换原分式中的x和y，利用分式的基本性质化简即可． 【详解】解：把分式中的、同时扩大为原来的2倍得：， ∵， ∴把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值扩大为原来的2倍， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了分式的基本性质，解此类题首先把字母变化后的值代入式子中，然后约分，再与原式比较，最终得出结论． 3. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】方程两边同时加上一次项系数一半的平方计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查了配方法，熟练掌握配方法的基本步骤是解题的关键． 4. 如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，下列结论中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 但无法得到，，， 故A、C、D错误，不符合题意； 故选：B． 5. 2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键． 根据题意可得：，在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 在中，，， ∴．   故选：A ． 6. 如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象．根据将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，即可求出圆柱形水杯内水面的高度与注水时间的函数图象． 【详解】解：将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向水橧内匀速注水，直到水槽注满为止．圆柱形水杯内的水原来的高度一定大于0，则可以判断A、D一定错误，沿水槽内壁向水橧内匀速注水，水开始时不会流入圆柱形水杯，因而这段时间不变，当水槽内的水面与圆柱形水杯水平时，开始向圆柱形水杯中流水，随的增大而增大，当水注满圆柱形水杯后，圆柱形水杯内水面的高度不再变化 ，故C 正确，B错误． 故选：C． 7. 在中，，用直尺和圆规在上确定点F，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图—作垂线，相似三角形的判定与性质；由作图可得，即可得出，再由相似三角形的判定与性质逐项分析即可得解，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：由作图可得：， ∴， ∵， ∴，，故D错误； ∴， ∴， ∴， ∴，故B正确； ∵，， ∴， ∴， 即，， 故A、C错误； 故选：B． 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握这一知识是解题的关键；由题意知反比例函数的比例系数为正数，根据反比例函数的性质即可判断． 【详解】解：∵， ∴在每个象限内随自变量的增大而减小； ∵， ∴， 故选：C． 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 9. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了零指数幂和负整数指数幂．根据零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算，再求和即可． 【详解】解：， 故答案为： 10. 在平面直角坐标系中，函数中的自变量x的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式函数自变量的取值范围，解题的关键是掌握分式分母不能为零这一性质． 要使分式函数有意义，需保证分母不为零，据此求解自变量的取值范围． 【详解】解：根据题意可得：， 解得：． 则自变量的取值范围是． 故答案为：． 11. 已知，则锐角______ 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了根据三角函数值求角的度数．根据特殊角的三角函数值，，且为锐角，因此． 【详解】解：∵，且是锐角， ∴． 故答案为：． 12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 【答案】：k＜1． 【解析】 【详解】∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△==4﹣4k＞0， 解得：k＜1， 则k的取值范围是：k＜1． 故答案为k＜1． 13. 已知矩形中，对角线、相交于点，，垂足为，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质，能够求解一些简单的角度计算问题． 由，可得的大小，进而得出的大小，又，进而可求的大小． 【详解】解：如图， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ． 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，，对角线、相交于点O，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积； ⑤若的中点为K，则的最小值为2． 上述结论中，所有正确的序号是________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，勾股定理是解决问题的关键． ①根据正方形性质得，由此得，由此可依据“”判定和全等，据此可对结论①进行判定；②由得，据此可对结论②进行判定；③由得，则，再根据正方形的性质得，据此可对结论④进行判定；④由结论②正确得，在中由勾股定理得，则，再根据为斜边得，则，据此可对结论③进行判定；根据直角三角形斜边中线性质得到，设，利用勾股定理求出，结合完全平方式判断⑤，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵四边形为正方形，对角线相交于点， ， ， ， ， ， 在和中， ， ，故结论①正确； ②由①的结论正确得：， 故结论②正确； ③结论②正确得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，为斜边， ， ， ， 故结论③不正确， ④由①的结论正确得：， ， ， ∵四边形为正方形， ， ， ∴， ∴，故结论④正确； ⑤∵， ∴， ∴， ∵的中点为K， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， 当时，最小，最小值为， 故⑤错误； 综上所述：正确的结论是①②④． 故答案为：①②④． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；2 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，先把分式中分子、分母可进行因式分解的进行因式分解，再除法化为乘法，然后约分，最后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 16. 某校开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有三位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C，卡片除图案外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小玲随机抽取了两张卡片，用画树状图或列表的方法，求小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是掌握概率求解方法．根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 由表知，共有6种等可能结果，其中小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的有4种结果， 所以小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的概率为． 17. 如图，在中，点、分别在、边上，连接、，，，求证：四边形是菱形． 【答案】 证明：在中，， 由题知，，， ， ， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形全等的性质与判定，菱形的判定，熟练掌握相关知识点，数形结合是解题的关键； 利用平行四边形的性质和题中条件证明，可得，进而可证明四边形是菱形． 【详解】略． 18. 某超市计划购进、两类礼盒水果，已知用元购进类礼盒水果的盒数与用元购进类礼盒水果的盒数相同，类礼盒水果的单价比类礼盒水果的单价少20元，求类礼盒水果的单价． 【答案】80元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B类礼盒水果的单价是x元，则A类礼盒水果的单价是元，根据用元购进A类礼盒水果的盒数与用元购进B类礼盒水果的盒数相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设B类礼盒水果的单价是x元，则A类礼盒水果的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答： B类礼盒水果的单价是80元． 19. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．线段的顶点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图①中以为边作正方形，点C、D均在格点上． （2）在图②中以为边作菱形（除正方形之外），点C、D均在格点上． （3）在图③中以为对角线作面积最大的平行四边形，点C、D均在格点上． 【答案】（1）见详解 （2）见详解 （3）见详解 【解析】 【分析】本题考查了正方形、菱形、平行四边形的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据正方形的性质以及结合网格性质进行作图，即可作答． （2）根据菱形的性质以及结合网格性质进行作图，即可作答． （3）根据平行四边形的性质以及结合网格性质进行作图，即可作答． 【小问1详解】 解：正方形如图所示： 【小问2详解】 解：菱形如图所示： 【小问3详解】 解：面积最大的平行四边形如图所示： 20. 某校为了普及消防安全知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加消防安全知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 学生消防安全知识竞赛得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 80 c 八年级参赛学生成绩 85.5 b 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　　 ，　　 （2）若七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，则　　；（用“”“”或“”填空） （3）结合统计数据进行分析，哪个年级参赛学生的成绩较好．（写出两条即可） 【答案】（1）85；86.5 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了求中位数、求众数、求平均数、方差的意义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）找到八年级学生的10个数据中出现次数最多的即为的值，将七年级的10个数据进行排序，第5和第6个数据的平均数即为的值； （2）根据折线统计图得到七年级的数据波动较大，根据方差的意义，即可得出结论； （3）利用平均数和众数以及方差分析即可判断． 【小问1详解】 解：由图可得，八年级的10个数据中出现次数最多的是85， ， 将七年级的10个数据进行排序：74，80，80，80，86，87，88，89，93，97， ， 故答案为：85；86.5； 【小问2详解】 解：由图可得，七年级的成绩波动程度较大， 方差越小，数据越稳定， ， 故答案为：； 【小问3详解】 解：∵七年级和八年级的平均成绩相同，且八年级的众数比七年级的众数大，并且八年级的方差比七年级的方差小， ∴八年级参赛学生的成绩较好． 21. 项目式学习 目前恒温直饮机是我校中小学比较流行的供学生饮水的设备，恒温直饮机有温水、开水两种按钮．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．数学课代表小裕同学，用的是的水杯，在日积月累的接水过程中，他发现了接满一杯水总时间y与接开水的时间x存在某种函数关系，并统计了部分数据如下表 开水用时x（分钟） 0 1 2 3 4 5 总时间y（分钟） 7.5 7 6.5 6 5.5 5 （1）小裕同学给班级同学出了这样一道数学题，请在平面直角坐标系中描点连线，判断这是一个什么函数？并求出y与x的函数关系式，写出自变量的取值范围． （2）物理课代表小俊看到小裕出的题以后，突发奇想，接着小裕的问题，给同学们出了一道题：如果用的水杯接水，那么想接满一杯的水，接开水时间要多少分钟呢？小俊给出了如下物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为： 开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 【答案】（1）图见解析；是一次函数；关系式为；自变量的取值范围为； （2）接开水时间为 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程的应用，掌握一次函数的相关知识是解题的关键． （1）描点、连线即可画出函数图象，根据图象即可判断出函数的图象，利用待定系数法可求得函数解析式，并写出自变量的范围； （2）先求出开水与温水的体积，根据体积及两种水的流速即可求得时间，再把时间相加即可． 【小问1详解】 解：描点连线得函数图象如下： 由图象知，是一次函数图象； 设函数解析式为， 把点代入上式得：，解得：， ∴y与x的函数关系式为，其中自变量的取值范围为； 【小问2详解】 解：设开水接了，则温水接了， 由题意得：， 解得：， 则温水接了； 接水的时间为： 22. 已知正方形和正方形． （1）如图，当正方形在正方形外部时，连接，．求证：； （2）如图，将（1）中正方形绕点旋转，使点落在上． 若，，求线段的长； 如图，连接，若点是的中点，连接，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：四边形和都是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ； （2）； 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质可得，，，利用等式的性质可得，然后利用即可证得； （2）连接，设与交于点，由（1）可知，，根据全等三角形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，由对顶角相等可得，于是可得，由三角形的内角和定理可得，由正方形的性质可得，，，，由勾股定理可得，，设，则，，在中，根据勾股定理可得，即，解方程即可求得的长；连接，由正方形的性质可知，点是的中点，由可得，是直角三角形，则由直角三角形斜边中线等于斜边的一半可得，据此即可求出的值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，设与交于点， 由（1）可知：，， ，， ，， ， ， 正方形中，正方形中， ，，，， ， ， 设，则， ， 在中，根据勾股定理可得： ， 即：， 解得：，（不符合题意，故舍去）， ； ，理由如下： 如图，连接， 四边形是正方形，点是的中点， 点是的中点， 由可得：，是直角三角形， ， ． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，等式的性质，全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，对顶角相等，三角形的内角和定理，勾股定理，线段的和与差，因式分解法解一元二次方程，直角三角形斜边中线等于斜边的一半，等式的性质等知识点，添加适当辅助线构造直角三角形是解题的关键． 23. 如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向向终点C运动．过点P作交折线于点D（点D不与点A重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到．设与重叠部分图形的面积为S． （1）的值为________． （2）当点E与点C重合时，求的长． （3）点D在边上，当是直角三角形时，求S的值． （4）点E关于直线的对称点为点F，当点F到直线的距离为2时，直接写出线段的长． 【答案】（1） （2）3 （3）或； （4）的长为7或5或1 【解析】 【分析】（1）过点A作于点M，由面积可求得，由得，从而求得，在中，由正切函数的定义即可求解； （2）由折叠知，则得，利用正切函数即可求解； （3）分两种情况：及，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （4） 点D在 上：当点E在线段上、点E在线段的延长线上；点D在线段上时，利用对称性及折叠性质即可求解． 【小问1详解】 解：如图，过点A作于点M， ∵， 即， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 在中，； 【小问2详解】 解：当点C与点E重合时， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：当时，如图， 则， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，，， 设，则， ∴，， ∴， 解得：， ∴， ∴； 当时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴； 综上，S的值为或； 【小问4详解】 解：①点D在上： 当点E在线段上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； 当点E在线段的延长线上时，如图， 由对称知，， 则， ∴， ∴； ②当点D在线段上时，如图， 由对称知，， ∴； 综上，的长为7或5或1． 【点睛】本题考查了折叠的性质，对称的性质，三角形相似，等腰三角形的判定，正切函数等知识，涉及分类讨论思想的应用；掌握这些知识是解题的关键． 24. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图． （1）若A点坐标为(2，0)， ①当B点坐标为(5，1)时，点A，B的“合成矩形”的面积是______； ②若点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形，则直线AC的表达式为______； ③若点P在直线y＝﹣2x＋2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标； （2）点O的坐标为(0，0)，点D为直线y＝x＋b(b≠0)上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围． 【答案】（1）①3；②直线的表达式为或；③点的坐标为， （2）的取值范围为或 【解析】 【分析】(1)①由“合成矩形”的定义求出矩形的边长，再求面积即可； ②根据“合成矩形”的定义先求出点C的坐标，再求直线所在的函数表达式； ③先设出点P的坐标，再分别讨论点P在x轴上方和下方时，根据正方形的性质和点A的坐标求出点P的坐标． (2)分别讨论点D位于x轴上下方时，根据正方形的面积求出正方形的边长，进而得出点D的坐标，再根据根据正方形的面积不小于2得出b的取值范围． 【小问1详解】 ①当B点坐标为(5，1)时， 点A，B的“合成矩形”的边长分别为3、1， 故面积为； ②由于点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形， 故点C的坐标为或， 设直线AC所在直线的表达式为， 将、或、代入，可得 直线的表达式为或； ③如图，当点在直线上， 设点． 当点在轴上方时， 点，的“合成矩形”为正方形， 则正方形的边长为和，可得方程， 解得， 点的坐标为． 同理可得，当点在轴下方时， 解得 则． 点在直线上，且点，的“合成矩形”为正方形时， 点的坐标为，． 【小问2详解】 点的坐标为， 如图，，的“合成矩形”为正方形时，且点在轴上，点在轴上． 当点在轴的上方， 且正方形面积等于2时， ． ，． 点代入直线得： ． 正方形面积不小于2， 的取值范围为． 同理可得， 当点在轴下方时， 的取值范围为． 综上，的取值范围为或． 【点睛】本题考查矩形、正方形的性质及阅读理解能力、一次函数解析式的求法，解决本题的关键是正确理解题意、熟悉图形性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科试题 一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列各式中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，那么分式的值（ ） A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 不变 3. 用配方法解一元二次方程配方后得到的方程是（ ） A. B. C. D. 4. 如图所示，在平行四边形中，对角线交于点O，下列结论中一定成立的是（　　） A. B. C. D. 5. 2025年1月7日凌晨，长征三号乙运载火箭在西昌卫星发射中心点火起飞，将实践二十五号卫星成功送入预定轨道，为2025年中国航天宇航发射取得“开门红”．当火箭上升到点时，位于海平面处的雷达测得点到点的距离为千米，仰角为，则此时火箭距海平面的高度为（ ） A. 千米 B. 千米 C. 千米 D. 千米 6. 如图，将一个圆柱形水杯固定在一个空的长方体水槽底部中央，水杯中原有部分水，现沿水槽内壁向槽内匀速注水，直到水槽注满为止．能刻画水杯中水面的高度（厘米）与注水时间（分）的函数关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，用直尺和圆规在上确定点F，根据作图痕迹判断，正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 若点，，都在反比例函数的图象上，则下列判断正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每题3分，共18分） 9. 计算：______． 10. 在平面直角坐标系中，函数中的自变量x的取值范围是_________． 11. 已知，则锐角______ 12. 若一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_________． 13. 已知矩形中，对角线、相交于点，，垂足为，，则________. 14. 如图，在正方形中，，对角线、相交于点O，过点O作射线、分别交边、于点E、F，且，连结．给出下面四个结论： ①； ②； ③； ④四边形的面积为正方形面积； ⑤若的中点为K，则的最小值为2． 上述结论中，所有正确的序号是________． 三、解答题（本题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 某校开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有三位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C，卡片除图案外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小玲随机抽取了两张卡片，用画树状图或列表的方法，求小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的概率． 17. 如图，在中，点、分别在、边上，连接、，，，求证：四边形是菱形． 18. 某超市计划购进、两类礼盒水果，已知用元购进类礼盒水果的盒数与用元购进类礼盒水果的盒数相同，类礼盒水果的单价比类礼盒水果的单价少20元，求类礼盒水果的单价． 19. 图①、图②、图③都是的正方形网格，每个小正方形顶点叫做格点．线段的顶点A、B均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求作图． （1）在图①中以为边作正方形，点C、D均在格点上． （2）在图②中以为边作菱形（除正方形之外），点C、D均在格点上． （3）在图③中以为对角线作面积最大的平行四边形，点C、D均在格点上． 20. 某校为了普及消防安全知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加消防安全知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息： 学生消防安全知识竞赛得分统计表 平均数 众数 中位数 七年级参赛学生成绩 85.5 80 c 八年级参赛学生成绩 85.5 b 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）填空：　　 ，　　 （2）若七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，则　　；（用“”“”或“”填空） （3）结合统计数据进行分析，哪个年级参赛学生的成绩较好．（写出两条即可） 21. 项目式学习 目前恒温直饮机是我校中小学比较流行的供学生饮水的设备，恒温直饮机有温水、开水两种按钮．温水的温度为，流速为；开水的温度为，流速为．数学课代表小裕同学，用的是的水杯，在日积月累的接水过程中，他发现了接满一杯水总时间y与接开水的时间x存在某种函数关系，并统计了部分数据如下表 开水用时x（分钟） 0 1 2 3 4 5 总时间y（分钟） 7.5 7 6.5 6 5.5 5 （1）小裕同学给班级同学出了这样一道数学题，请在平面直角坐标系中描点连线，判断这是一个什么函数？并求出y与x的函数关系式，写出自变量的取值范围． （2）物理课代表小俊看到小裕出的题以后，突发奇想，接着小裕的问题，给同学们出了一道题：如果用的水杯接水，那么想接满一杯的水，接开水时间要多少分钟呢？小俊给出了如下物理常识：开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为： 开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度． 22. 已知正方形和正方形． （1）如图，当正方形在正方形外部时，连接，．求证：； （2）如图，将（1）中正方形绕点旋转，使点落在上． 若，，求线段的长； 如图，连接，若点是的中点，连接，请直接写出的值． 23. 如图，在中，，，．点P从点B出发，沿方向向终点C运动．过点P作交折线于点D（点D不与点A重合），将分成两部分，将所得的三角形部分沿翻折，得到．设与重叠部分图形的面积为S． （1）的值为________． （2）当点E与点C重合时，求的长． （3）点D在边上，当是直角三角形时，求S的值． （4）点E关于直线的对称点为点F，当点F到直线的距离为2时，直接写出线段的长． 24. 在平面直角坐标系xOy中，点P的坐标为(x1，y1)，点Q的坐标为(x2，y2)，且x1≠x2，y1≠y2，若P，Q为某个矩形的两个顶点，且该矩形的边均与某条坐标轴垂直，则称该矩形为点P，Q的“合成矩形”．如图为点P，Q的“合成矩形”的示意图． （1）若A点坐标为(2，0)， ①当B点坐标为(5，1)时，点A，B的“合成矩形”的面积是______； ②若点C在y轴上，且点A，C的“合成矩形”为正方形，则直线AC的表达式为______； ③若点P在直线y＝﹣2x＋2上，且点A，P的“合成矩形”为正方形，求P点的坐标； （2）点O的坐标为(0，0)，点D为直线y＝x＋b(b≠0)上一动点，若O，D的“合成矩形”为正方形，且此正方形面积不小于2时，求b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $