精品解析： 江苏省镇江市丹阳实验中学2024—2025学年下学期八年级3月月考数学试卷

2024-2025学年江苏省镇江市丹阳实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A. 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 【答案】A 【解析】 【分析】根据轴对称图形：一个图形沿一条直线折叠，直线两旁能够完全重合的图形；中心对称图形：一个图形沿着某个点旋转180度后能与原图形完成重合的图形；由此问题可求解． 【详解】解：A．是中心对称图形，但不是轴对称图形；故符合题意； B．是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意； C．既是轴对称图形也是中心对称图形，故不符合题意； D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形，故不符合题意； 故选A． 【点睛】本题主要考查轴对称图形及中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 2. 以下调查中，最适合采用抽样调查的是（　　） A. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 B. 了解全班50名同学每天体育锻炼的时间 C. 学校招聘教师，对应聘人员进行面试 D. 为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查 【答案】A 【解析】 【分析】根据全面调查与抽样调查的特点，逐一判断即可解答． 【详解】选项A中，了解全国中学生的视力和用眼卫生情况，最适合采用抽样调查，故A符合题意； 选项B中，了解全班50名同学每天体育锻炼的时间，最适合采用全面调查，故B不符合题意； 选项C中，学校招聘教师，对应聘人员进行面试，最适合采用全面调查，故C不符合题意； 选项D 中，为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查，最适合采用全面调查，故D不符合题意． 故选：A． 【点睛】本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查特点是解题的关键． 3. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF的最小值是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.4 D. 2.5 【答案】C 【解析】 【分析】连接，根据矩形的性质可得，则,当时，取得最小值，根据等面积法求解即可，进而可得的最小值． 【详解】如图，连接， ∠ACB＝90°，ME⊥AC， MF⊥BC， 四边形是矩形， ， ∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8， ， 点P是EF的中点，则， 当时，取得最小值， ， ． ． 故选：C 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定，勾股定理，垂线段最短，将转化为是解题的关键． 4. 如图，正方形的边长为6，E、F分别为、的中点，P是对角线上的动点，则四边形周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称—最短路线问题，矩形的判定与性质、正方形的性质，作E点关于的对称点，连接，，推出四边形周长的最小值为，再求出的长即可解决问题． 【详解】解：作E点关于的对称点，连接，， ∵四边形是正方形，E点是的中点， ∴是的中点， ∴， ∵正方形的边长为6，E、F分别为的中点， ∴四边形周长， ∴四边形周长的最小值为， ∵为的中点，F是的中点， ∴四边形是矩形， ∴， ∴四边形的周长最小值为12， 故选：C． 5. 如图，点P是线段上方的一个动点，且，在的上方作正、正和正．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④四边形的面积大于的面积．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识点， 根据都是等边三角形，可知，可证，可知，进而可证结论①；由①知，由知，可证结论②；根据可证结论③；如图所示，延长交于F，根据等边三角形的性质和面积公式可证结论④，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质是解决此题的关键． 【详解】∵都是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴故结论①正确； 由①知：， ∴， ∵都是等边三角形， ∴，， ∴， ∴在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，故结论②正确； ∵， ∴，故结论③正确； 如图所示，延长交于F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，故结论④错误； 故选：A． 6. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】过点作于点，连接，根据垂线段最短，此时最短，即最小，根据菱形性质和等边三角形的性质即可求出的长，进而可得结论． 【详解】解：如图，过点作于点，连接， 菱形中，， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， 根据垂线段最短，此时最短，即最小， 菱形的边长为6， ， ． 的最小值是． 故选：D． 【点睛】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握菱形的性质，等边三角形的判定与性质． 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 在一次数学测试中 ，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2 ，则第六组的频数是_______． 【答案】5 【解析】 【详解】解：一个容量为50的样本，把它分成6组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，根据第五组的频率是0.2，求出第五组的频数，用样本容量减去前五组的频数，得到第六组的频数是50-6-8-9-10-12=5． 考点：频数与频率 8. 小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，正面朝上的频率为__________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据频数与频率的意义，逐一判断即可解答． 【详解】∵掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上， ∴正面朝上的频率为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了频数与频率，熟练掌握频数与频率的意义是解题的关键． 9. 对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设_____． 【答案】四边形ABCD是平行四边形 【解析】 【分析】用反证法证明命题的真假，先假设命题的结论不成立，从这个结论出发，经过推理论证，得出矛盾；由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论正确． 【详解】解：用反证法证明某个命题的结论“四边形ABCD不是平行四边形”时，第一步应假设四边形ABCD是平行四边形， 故答案为：四边形ABCD是平行四边形． 【点睛】此题考查了反证法，反证法是指“证明某个命题时，先假设它的结论的否定成立，然后从这个假设出发，根据命题的条件和已知的真命题，经过推理，得出与已知事实（条件、公理、定义、定理、法则、公式等）相矛盾的结果．这样，就证明了结论的否定不成立，从而间接地肯定了原命题的结论成立． 10. 在中，已知，平分交边于点E，点E将分为两部分，则的长为_________． 【答案】8或24 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，以及等角对等边．由角平分线的定义以及平行四边形的性质，求得，点E将分为两部分，可得或两种情况，分别讨论即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴． ∵点E将分为两部分， ∴或， ∴当时，； 当时，； 故答案为：8或24． 11. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点D落在线段上，连接．若，则的度数为______°． 【答案】67.5 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰直角三角形的性质，三角形内角和定理，先证明，可得是等腰直角三角形，即可求出，再根据旋转的性质即可解答． 【详解】解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴． 故答案为：67.5 12. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为______．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】先由菱形的性质得出，求得，再根据直角三角形两锐角互余得 ,连接AC交BD于点O，根据菱形的性质得，，根据AAS证明可得，从而可求出． 【详解】解：连接AC，如图， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB//CD，，BD=2DO ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵四边形ABCD是菱形， ∴ ∴ 在和中， ∴≌ ∴ ∴ 故答案为：． 【点睛】此题主要考查了菱形的性质以及全等三角形的判定与性质，连接AC并证明≌是解答此题的关键． 13. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论： ②四边形是菱形； ③重合时，； ④的面积的取值范围是 其中正确是_____（把正确结论的序号都填上）． 【答案】②③ 【解析】 【分析】先判断出四边形是平行四边形，再根据翻折的性质可得，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形证明，判断出②正确；假设得，进而得，这个不一定成立，判断①错误；点与点重合时，设，表示出，利用勾股定理列出方程求解得的值，进而用勾股定理求得，判断出③正确；当过点时，求得四边形的最小面积，进而得的最小值，当与重合时，的值最大，求得最大值便可． 【详解】如图1， 四边形是平行四边形， 四边形是菱形，故②正确； 若，则 ，这个不一定成立， 故①错误； 点与点重合时，如图2， 设则 在 即 解得 , , ， , 故③正确； 当过点时，如图3， 此时，最短，四边形的面积最小，则最小为， 当点与点重合时，最长，四边形的面积最大，则最大为， ， 故④错误． 故答案为②③． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与性质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和性质定理、勾股定理是解本题的关键． 14. 如图，正方形和正方形的边长分别为4和2，正方形绕点C旋转，则________． 【答案】40 【解析】 【分析】由“SAS”可证△DCG≌△BEC，可得BE=DG，BE⊥DG；由勾股定理可得BD2=DM2+BM2，EG2=ME2+MG2，则BD2+EG2=DM2+BM2+ME2+MG2，可得BD2+EG2=BG2+DE2．即可求解． 【详解】解：如图：连接BD，EG，BE，DG的交点为M， ∵四边形ABCD，四边形CEFG 为正方形， ∴BC=DC，CG=CE，∠BCD=∠ECG=90°， ∴∠BCE=∠DCG，且BC=DC，CG=CE， ∴△BCE≌△DCG（SAS）， ∴DG=BE，∠CBE=∠CDG， ∵∠DBE+∠EBC+∠BDC+∠BCD=180°， ∴∠DBE+∠EBC+∠BDC=90°， ∵∠DBE+∠CDE+∠BDC+∠BMD=180°， ∴∠DCB=∠DMB=90°， ∴BE⊥DG， ∴BD2=DM2+BM2，EG2=ME2+MG2， ∴BD2+EG2=DM2+BM2+ME2+MG2， ∴BD2+EG2=BG2+DE2， ∴AB2+AD2+EC2+CG2=BG2+DE2． ∴BG2+DE2= 42+42+22+22=40． 故答案为：40． 【点睛】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，全等三角形的判定，勾股定理，本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 15. 如图，四边形为正方形，，点E为对角线上一点，．点F为正方形一边上一点，且，则__________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分点F在线段上和点F在线段上两种情况讨论，分别根据正方形性质和勾股定理求解即可． 【详解】如图所示，当点F在线段上时，过点E作， ∵四边形为正方形 ∴ ∴是等腰直角三角形 ∴， ∴ 解得 ∵ ∴ ∵，， ∴四边形是矩形 ∴， ∵， ∴ ∴； 如图所示，当点F在线段上时，记为点，连接 ∵四边形为正方形 ∴正方形关于对角线所在直线对称 ∵，和关于对角线所在直线对称 ∴ ∵， ∴ 综上所述，或． 故答案为：或． 【点睛】此题考查了正方形的性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 16. 在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为_____． 【答案】或或 【解析】 【分析】根据题意画出图形，分3种情况进行讨论：①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，根据旋转的性质，利用全等三角形的判定与性质可得点C的对应点的坐标． 【详解】解：因为正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、， 当正方形绕点A顺时针旋转， ①点B的对应点恰好落在x轴正半轴上时，如图， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 在△AB′O和△EB′C′中，， ∴， ∴， ∴， ∴点C的对应点的坐标为； ②点B的对应点恰好落在y轴负半轴上时，如图， ， ∴点C的对应点的坐标为； ③点B的对应点恰好落在x轴负半轴上时，如图， 同①可知： ， ∴， ∴， ∴点C的对应点的坐标为； 综上所述：点C的对应点的坐标为或或． 故答案为：或或． 【点睛】本题属于四边形的综合题，考查了正方形的性质、旋转的性质、坐标与图形的变化、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识．是中考填空压轴题． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．某区教育局发布了“普通中小学劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如下统计图： （1）这次调查活动共抽取_________人，“2次”所在扇形对应的圆心角是__________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校学生共有3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动“4次及以上”的学生人数． 【答案】（1）200，；（2）见解析；（3）900人 【解析】 【分析】（1）根据次及以上的人数和所占百分比，即可求出总人数，利用次人数所占百分比乘以即可求出圆心角的度数； （2）根据总人数减去次及以上的人数，减去次人数，再减去次及以下的人数，即可求出次的人数，补全条形图； （3）根据统计图中的数据，用该校的总人数乘以4次及以上所占百分比，即可求解． 【详解】解：（1）根据统计表和扇形统计图可得：次及以上的人数为60人，所占的百分比为 则这次调查活动共抽取（人）， 次所在扇形对应的圆心角是； （2）次的人数为：（人），补全条形图如图； （3）该校一周劳动4次及以上学生所占百分比为， 则该校一周劳动4次及以上的学生人数为（人）． 答：估计该校一周劳动4次及以上的学生有900人． 【点睛】本题主要考查了条形统计图、扇形统计图、用样本估计总体等知识点，明确题意并正确从图表中提取有用信息是解答本题的关键． 18. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如下图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格：______，______； （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是______；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是______．（用“＞”连接） 【答案】（1））0.305，148 （2）0.3，0.3 （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和频数的关系求得a和b的值即可； （2）利用大量重复试验中的频率稳定值估计概率即可； （3）利用概率公式分别求得、、的值后比较大小即可． 【小问1详解】 a＝122÷400＝0.305；b＝500×0.296＝148； 故答案为：0.305；148； 【小问2详解】 若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近0.3，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是0.3； 故答案为：0.3，0.3； 【小问3详解】 ＝；＝；＝， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是统计的综合知识．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．用到的知识点为：频率＝所求情况数与总情况数之比． 19. 在中，分别是的中点，连接 求证：四边形是矩形； 请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】（1）证明见解析；（2）作图见解析. 【解析】 【分析】首先证明四边形是平行四边形，再根据有一个角是直角的平行四边形是矩形即可判断． 连接交于点，作射线即可． 【详解】证明：分别是的中点， 四边形是平行四边形， 四边形是矩形 连接交于点，作射线，射线即为所求． 【点睛】本题考查三角形中位线定理，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识. 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． （1）试作出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点的坐标______； （3）请在x轴上找一点D得到，则点D的坐标为______，若直线平分的面积，则______． 【答案】（1）见解析； （2）见解析，； （3），6． 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，平移变换等知识，解题的关键是掌握旋转变换，平移变换的性质，属于中考常考题型． （1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点即可； （3）根据要求作出图形，求出平行四边形的中心的坐标，利用待定系数法，可得结论． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 解：如图，即为所求，点的坐标． 故答案为：； 【小问3详解】 解：在x轴上找一点D得到，则点D的坐标为， ∵直线平分的面积， ∴直线经过和的交点， ∴， ∴． 故答案为：，6． 21. 如图，在平行四边形中，，，，的平分线，分别与直线交于点E，F． （1）求的长； （2）把题中的条件“”去掉，其余条件不变． ①当点E与点F重合时，求的长． ②当点E与点C重合时，四边形的形状； （3）把“题干”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值为______． 【答案】（1）2 （2）①4；②菱形 （3）或或2 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，根据即可求解； （2）①同（1）得出，，根据即可求解； ②证明出四边形的邻边相等，即可进一步推得四边都相等，即得答案； （3）先分情况讨论，再根据每种情况，利用，，以及点C，D，E，F相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可． 【小问1详解】 解：平分， ， 四边形是平行四边形， ，，， ， ， ， 同理可得， ； 【小问2详解】 解：①如图1， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， 同理可得， 点E与点F重合， ， ， ； ②如图2，当点E与点C重合时，， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是菱形； 【小问3详解】 解：情况1，如图3， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 情况2，如图4， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， 即， ， ， ， ， ； 情况3，如图5， 当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，可得， ， ， ， ， ； 综上所述，的值为或或2． 故答案为：或或2． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，菱形的判定与性质，角平分线的定义，解决本题的关键是读懂题意，正确画出图形，建立相等关系求解． 22. 我们定义：若一个凸四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形，如矩形，正方形都是等对角线四边形． （1）如图1，已知点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出所有符合条件的格点D，使四边形是等对角线四边形． （2）如图2，已知凸四边形是等对角线四边形，对角线交于点O，点E，F分别为边的中点，连结，分别与对角线交于点M，N，若与夹角 ①直接回答与的数量关系 ． ②请判断的形状，并说明理由？ 【答案】（1）见解析 （2）①；②是等边三角形，见解析 【解析】 【分析】（1）根据等对角线四边形的定义以及勾股定理解决问题即可； （2）①取中点G，的中点P，连接，根据三角形中位线定理证明，，得到是等边三角形，即可得到结论； ②根据是等边三角形，得到，由，，推出，，即可得到结论． 【小问1详解】 ∵，， ∴； 【小问2详解】 ①取的中点G，的中点P，连接， ∵P，F分别是的中点， ∴由中位线定理，可得， ∴，， ∵F，G分别是的中点， ∴由中位线定理，得到，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵E，G分别是中点， ∴由中位线定理，可知，， ∴， ∵凸四边形是等对角线四边形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 故答案为： ②是等边三角形，理由如下： ∵是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形． 【点睛】此题考查了三角形中位线的性质定理，等边三角形的判定和性质，正确理解题意中的新定义，掌握三角形中位线的性质定理是解题的关键． 23. 如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若A（m，n）满足．点M是线段上一点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P． （1）当点P与点O重合时，在图2中用直尺和圆规作出点M（不写作法，保留作图痕迹）），并求点M的坐标； （2）当时，如图3，求点P的坐标； （3）如图4，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．直接写出线段长度的最大值． 【答案】（1）图见解析， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作的角平分线交于点M，由非负数的性质求出，由勾股定理得，设，在中利用勾股定理求出x即可； （2）由折叠得，，可证，由余角的性质证明得， 然后证明四边形是平行四边形即可求解； （3）取的中点，连接，．当点、、三点共线时，的长度最大，进而求解． 【小问1详解】 如图，点M即为所求， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，． 由折叠得，， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 如图，连接． 由折叠得，， ∴． ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， 四边形是平行四边形， ， ； 【小问3详解】 取的中点，连接，． ，点是的中点，． ， ， ， 由中点坐标公式可知：点的坐标为， ， ， 当点、、三点共线时，的长度最大， 则的最大值为， 的最大值为． 【点睛】本题考查算术平方根的非负性，矩形的性质，等角对等边，直角三角形斜边的中线，勾股定理，平行四边形的判定与性质、轴对称的性质，坐标与图形等知识，熟练掌握矩形的性质及勾股定理是解题的关键． 24. 定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰． 定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】 （1）如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形； （2）如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】 （3）如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由： 【灵活运用】 （4）如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹． 【答案】（1）是 （2）当或时，四边形是和等梯形； （3）是等腰三角形，理由见解析 （4）理由见解析 【解析】 【分析】（1）连接，，由勾股定理求得，，根据定义即可判断； （2）连接，，设，可得，，分两种情况：当时，当时，分别求解即可； （3）延长使得，，可知四边形是平行四边形，可得，，可知，由题意得，进而可得，可知，可得，即，即可判断是等腰三角形； （4）方法一：由（3）得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点；方法二：由（3）的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 【小问1详解】 解：连接，， ∵， ∴，， ， ∴， ∴四边形是和等梯形， 故答案为：是； 【小问2详解】 连接，， ∵四边形是矩形，，，设， ∴， 当时，四边形是和等梯形， 即，解得：，即：； 当时，四边形是和等梯形， 即，解得：，即：； 综上，当或时，四边形是和等梯形； 【小问3详解】 是等腰三角形，理由如下： 延长使得，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 又∵四边形是以为和等线的和等梯形， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问4详解】 方法一：由（3）得证明过程可知，当延长使得，再在上找点使得为等腰三角形，则，即可求得点； 即：在延长线上截取，再以点，点为圆心，适当长为半径画弧，交于两点，连接两点，交于于一点，如图所示，该点即为所求点； 方法二：由（3）的结论可知，在上取点使得时，即，由得，，则，则，则，即可求得点； 即：连接，在上截取，连接并延长交于点，如图所示，该点即为所求点． 【点睛】本题考查勾股定理，平行四边形的判定及性质，等腰三角形的判定，掌握相关性质定理是解决问题的关键，还考查了尺规作图——作垂直平分线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年江苏省镇江市丹阳实验中学八年级（下）月考数学试卷（3月份） 一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下面图形是用数学家名字命名的，其中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A 赵爽弦图 B. 笛卡尔心形线 C. 科克曲线 D. 斐波那契螺旋线 2. 以下调查中，最适合采用抽样调查的是（　　） A. 了解全国中学生的视力和用眼卫生情况 B. 了解全班50名同学每天体育锻炼的时间 C. 学校招聘教师，对应聘人员进行面试 D. 为保证神舟十四号载人飞船成功发射，对其零部件进行检查 3. 如图，在直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，点M是边AB上一点（不与点A，B重合），作ME⊥AC于点E，MF⊥BC于点F，若点P是EF的中点，则PF的最小值是（ ） A. 1.5 B. 2 C. 2.4 D. 2.5 4. 如图，正方形边长为6，E、F分别为、的中点，P是对角线上的动点，则四边形周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 5. 如图，点P是线段上方的一个动点，且，在的上方作正、正和正．给出下列结论：①；②四边形是平行四边形；③；④四边形的面积大于的面积．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 6. 如图，已知菱形的边长为6，点是对角线上的一动点，且，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分． 7. 在一次数学测试中 ，某班50名学生的成绩分为六组，第一组到第四组的频数分别为6，8，9，12，第五组的频率是0.2 ，则第六组的频数是_______． 8. 小丽掷一枚质地均匀的硬币10次，有8次正面朝上，正面朝上的频率为__________． 9. 对于命题“如图，如果OA＝OC，OB≠OD，那么四边形ABCD不是平行四边形”．用反证法证明这个结论时，第一步应假设_____． 10. 在中，已知，平分交边于点E，点E将分为两部分，则长为_________． 11. 如图，在中，，将绕点C顺时针旋转得到，点D落在线段上，连接．若，则的度数为______°． 12. 如图，四边形为菱形，，延长到，在内作射线，使得，过点作，垂足为，若，则对角线的长为______．（结果保留根号） 13. 如图，先有一张矩形纸片点分别在矩形的边上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点落在矩形的边上，记为点，点落在处，连接，交于点，连接．下列结论： ②四边形是菱形； ③重合时，； ④的面积的取值范围是 其中正确的是_____（把正确结论的序号都填上）． 14. 如图，正方形和正方形的边长分别为4和2，正方形绕点C旋转，则________． 15. 如图，四边形为正方形，，点E为对角线上一点，．点F为正方形一边上一点，且，则__________． 16. 在平面直角坐标系中，正方形的边在y轴正半轴上，边在第一象限，且点、，将正方形绕点A顺时针旋转，若点B的对应点恰好落在坐标轴上，则点C的对应点的坐标为_____． 三、解答题：本题共8小题，共72分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. 2020年3月，中共中央、国务院颁布了《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》．某区教育局发布了“普通中小学劳动教育状况评价指标”．为了解某校学生一周劳动次数的情况，随机抽取若干学生进行调查，得到如下统计图： （1）这次调查活动共抽取_________人，“2次”所在扇形对应的圆心角是__________； （2）请将条形统计图补充完整； （3）若该校学生共有3000人，根据调查结果，请你估计该校一周劳动“4次及以上”的学生人数． 18. 某班在爱心义卖活动中设立了一个可以自由转动的转盘，如下图所示，同时规定：顾客购物满20元就能获得一次转动转盘的机会，下表是活动中的统计数据： 转动转盘的次数n 100 200 300 400 500 落在“谢谢参与”区域的次数m 29 60 93 122 b 落在“谢谢参与”区域的频率 0.29 0.3 0.31 a 0.296 （1）完成上述表格：______，______； （2）若继续不停转动转盘，当n很大时，落在“谢谢参与”区域的频率将会接近______，假如你去转动该转盘一次，你转到“谢谢参与”的概率约是______；（结果都精确到0.1） （3）顾客转动转盘一次，得到奖品“盲盒”的概率记为，得到奖品“贴纸”的概率记为，得到“谢谢参与”的概率记为，则、、的大小关系是______．（用“＞”连接） 19. 在中，分别是的中点，连接 求证：四边形是矩形； 请用无刻度的直尺在图中作出的平分线（保留作图痕迹，不写作法）． 20. 如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，的顶点均在格点上，点A的坐标为． （1）试作出以C为旋转中心，沿顺时针方向旋转后的图形； （2）以原点O为对称中心，画出关于原点O对称的，并写出点的坐标______； （3）请在x轴上找一点D得到，则点D的坐标为______，若直线平分的面积，则______． 21. 如图，在平行四边形中，，，，的平分线，分别与直线交于点E，F． （1）求的长； （2）把题中的条件“”去掉，其余条件不变． ①当点E与点F重合时，求长． ②当点E与点C重合时，四边形形状； （3）把“题干”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值为______． 22. 我们定义：若一个凸四边形的两条对角线相等，则称这个四边形为等对角线四边形，如矩形，正方形都是等对角线四边形． （1）如图1，已知点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上，请在方格图中画出所有符合条件的格点D，使四边形是等对角线四边形． （2）如图2，已知凸四边形是等对角线四边形，对角线交于点O，点E，F分别为边的中点，连结，分别与对角线交于点M，N，若与夹角 ①直接回答与的数量关系 ． ②请判断的形状，并说明理由？ 23. 如图1，将矩形放置于第一象限，使其顶点O位于原点，且点B，C分别位于x轴，y轴上． 若A（m，n）满足．点M是线段上一点，连接，与关于所在直线对称，连接并延长，交x轴于点P． （1）当点P与点O重合时，在图2中用直尺和圆规作出点M（不写作法，保留作图痕迹）），并求点M的坐标； （2）当时，如图3，求点P的坐标； （3）如图4，在（2）的条件下，点D位于线段上，且．点E为平面内一动点，满足， 连．直接写出线段长度的最大值． 24. 定义1：只有一组对边平行的四边形是梯形．平行的两边叫做梯形的底边，较长的一条底边叫下底，较短的一条底边叫上底，另外两边叫腰． 定义2：如果梯形的一条对角线等于上、下底之和，那么这个梯形叫和等梯形，这条对角线叫和等线． 【概念理解】 （1）如图1，在梯形中，，四边形_______（填“是”或“不是”）和等梯形； （2）如图2，在矩形中，，点E在AB上，，若在上存在点P使得四边形是和等梯形，求的长； 【探索发现】 （3）如图3，四边形是以为和等线的和等梯形，，、交于点O，请判别的形状，并说明理由： 【灵活运用】 （4）如图4，点E在平行四边形的边上，在边上找一点P，使得四边形是以为和等线的和等梯形． 要求：借助直尺和圆规用两种方法作出点P，不写作法，保留作图痕迹． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$