精品解析：海南省万宁市某校2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

北师大万宁实验学校2024-2025学年度第二学期 八年级期末 数学科试题 （考试时间100分钟，满分120分） 一、选择题（本大题满分36分，每题3分） 1. 下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键．根据定义分析即可． 【详解】解：①当时，不是二次根式； ②当时，不是二次根式； ③是二次根式； ④当时，不是二次根式； ⑤是二次根式； ⑥是二次根式． 故选B． 2. 下列式子中与是同类二次根式的是（　　）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据二次根式的性质，把各个式子化成最简二次根式，根据同类二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、与是同类二次根式，符合题意； B、，与不是同类二次根式，不符合题意； C、(，与不是同类二次根式，不符合题意； D、，与不是同类二次根式，不符合题意； 故选:A． 【点睛】本题考查的是同类二次根式，二次根式的性质，熟记同类二次根式的概念是解题的关键． 3. 下列曲线中能表示是的函数的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查函数表达式三种表示之一图象法，根据函数定义，在自变量的取值范围内，有且只有一个值，从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，看这条直线于图象的交点情况即可判断．理解函数定义，掌握判断图象是否是函数关系的方法是解决问题的关键． 【详解】解：对于D选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点，从而不能表示是的函数； 故选：D． 4. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ） A 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中位数的定义，中位数是一组数据从小到大排列后居于中间的一个数或中间两个数的平均数，根据中位数的定义解题即可． 【详解】解：甲班演唱后七位评委给出的分数为：8.8，9.2，9.4，9.4，9.5，9.5，9.6， ∴中位数为：9.4， 故选B． 5. 已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象所经过的象限是（ ） A. 一、二、四 B. 一、二、三 C. 一、三、四 D. 二、三、四 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数的增减性得到，得到，再根据一次函数的性质解答． 【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴， ∴一次函数的图象所经过第一，三，四象限， 故选：C． 【点睛】此题考查了正比例函数的图象及性质与一次函数的图象及性质，正确掌握各函数的图象与性质是解题的关键． 6. 已知三角形两边长为和，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A. 6 B. 28 C. 10或28 D. 10或 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，关键是讨论直角三角形的两条边，同为直角边或一条为直角边一条为斜边两种情况． 【详解】解：由题意可知，三角形两边长分别为和， 三角形为直角三角形， 因此，第三边的长度有两种情况： 情况一，两条直角边分别长和， 由勾股定理可知，第三边长为， ， 情况二，斜边长，其中一条直角边长为， 由勾股定理可知，第三边长为， ， 综上所述，第三边的长度为或． 故选：． 7. 如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到AD∥BC，AB∥CD，求得DE∥BC，∠ABD=∠CDB，推出BD∥CE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故A不符合题意；根据平行线的性质得到∠DEF=∠CBF，根据全等三角形的性质得到EF=BF，于是得到四边形BCED为平行四边形，故B不符合题意；根据平行线的性质得到∠AEB=∠CBF，求得∠CBF=∠BCD，求得CF=BF，同理，EF=DF，不能判定四边形BCED为平行四边形；故C符合题意；根据平行线的性质得到∠DEC+∠BCE=∠EDB+∠DBC=180°，推出∠BDE=∠BCE，于是得到四边形BCED为平行四边形，故D不符合题意． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形，故A不符合题意； ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形，故B不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴, ∴， 同理，， ∴不能判定四边形为平行四边形；故C符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为平行四边形，故D不符合题意， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（ ） A. 45 B. 36 C. 25 D. 18 【答案】B 【解析】 【分析】设直角三角形两条直角边长分别为和，根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可得，，再根据完全平方公式求出的值，进而可得一个直角三角形的周长． 【详解】解：设直角三角形两条直角边长分别为和， 由题意可知：中间小正方形的边长为：， 根据大正方形的面积等于4个直角三角形的面积加上小正方形的面积可知： ， 所以， 根据勾股定理，得， 所以， 因为， 所以， 所以． 所以一个直角三角形的周长是36． 故选：． 【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是熟练运用勾股定理和完全平方公式． 9. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，勾股定理，直角三角形的性质，线段垂直平分线和角平分线的尺规作图，由作图方法可知，平分，垂直平分，由三线合一定理得到，由勾股定理得到，再由直角三角形的性质得到，据此可得答案． 【详解】解：由作图方法可知，平分，垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴点F为的中点， ∴， ∴的周长为， 故选；B． 10. A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．对于以下说法：①乙车出发1.5小时后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地20km；③甲的速度是40km/h，乙的速度是km/h；④当乙车出发2小时时，两车相距13km．其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：由图可得， 乙车出发1.5小时后甲已经出发一段时间，故①错误； 两人相遇时，他们离开A地20km，故②正确； 甲的速度是（80﹣20）÷（3﹣1.5）＝40（km/h），乙的速度是40÷3＝（km/h），故③正确； 当乙车出发2小时时，两车相距：[20＋40×（2﹣1.5）]﹣×2＝（km），故④错误； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 11. 如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若则与的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作轴于，得到，故可得到，AH,BH，故可求解． 【详解】作轴于，BD//x轴， 则， 在矩形ABCD中 ∵AD⊥AB， ∴∠DAO+∠BAH=90° 又∵∠DAO+∠ODA=90° ∴∠BAH=∠ODA 由∠AHB=∠DOA=90° ∴ ∴OD：OA=AH：BH ∵OD=2AO, ∴， ∴． ∴B（5，2） ∴BD中点 故选D． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据题意得到相似三角形． 12. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据一次函数经过第一、二、三象限，即可判断①；根据一次函数与x轴、y轴的交点即可判断②③；利用图象法即可判断④⑤． 【详解】解：∵一次函数经过第一、二、三象限， ∴，故①正确； ∵一次函数与y轴交于负半轴，与x轴交于， ∴，方程的解是，故②正确，③不正确； 由函数图象可知不等式的解集是，故④不正确； 由函数图象可知，不等式的解集是，故⑤正确； ∴正确的一共有3个， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数与一元一次方程的关系，一次函数图象的性质，图象法解不等式；熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 二、填空题（本大题满分9分，每题3分） 13. 与最简二次根式可以合并，则______． 【答案】4 【解析】 【分析】把化为最简根式，然后根据同类次根式的定义列出方程求解即可． 【详解】解：， 与最简二次根式是同类二次根式， ， ． 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查同类二次根式的概念，掌握同类二次根式的概念是解题的关键． 14. 函数中x的取值范围是______． 【答案】x＞﹣2且x≠1． 【解析】 【分析】从二次根式，分式，零指数幂三个角度去思考求解即可． 【详解】由题意得，x+2＞0，且x﹣1≠0， 解得x＞﹣2且x≠1， 所以x的取值范围是x＞﹣2且x≠1． 故答案为：x＞﹣2且x≠1． 【点睛】本题考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，零指数幂有意义的条件，熟练上述基本条件是解题的关键． 15. 菱形ABCD在平面直角坐标系中的位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为________． 【答案】（，）． 【解析】 【分析】点B的对称点是点D，连接ED，交OC于点P，再得出ED即为EP+BP最短，解答即可． 【详解】解：连接ED，如图， ∵点B的对称点是点D， ∴DP=BP， ∴ED即为EP+BP最短， ∵四边形ABCD是菱形，顶点B（2，0），∠DOB=60°， ∴点D的坐标为（1，）， ∴点C的坐标为（3，）， ∴可得直线OC的解析式为：， ∵点E的坐标为（﹣1，0）， ∴可得直线ED的解析式为：， ∵点P是直线OC和直线ED的交点， ∴点P的坐标为方程组的解， 解方程组得：， 所以点P的坐标为（，）， 故答案为（，）． 考点：1．菱形的性质；2．坐标与图形性质；3．轴对称-最短路线问题． 三、解答题（本大题满分75分） 16. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则． （1）先分别计算零次幂、绝对值、负整数指数幂和算术平方根，然后再计算加减法即可； （2）先分别计算绝对值、算术平方根和平方差公式，然后再计算加减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ． 17. 某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 【答案】（1）A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元 （2）该校购买这40件劳动用品至少需要950元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，不等式的实际应用，一次函数的实际应用． （1）设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元，根据表格中的数据，列出方程组求解即可； （2）设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件，根据题意得出，设购买这40件劳动用品需要W元，列出W关于a的表达式，根据一次函数的性质，即可解答． 【小问1详解】 解：设A种型号劳动用品单价为x元，B种型号劳动用品单价为y元， ， 解得：， 答：A种型号劳动用品单价为20元，B种型号劳动用品单价为30元． 【小问2详解】 解：设够买A种型号劳动用品a件，则够买B种型号劳动用品件， 根据题意可得：， 设购买这40件劳动用品需要W元， ， ∵， ∴W随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值，， ∴该校购买这40件劳动用品至少需要950元． 18. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．求证：四边形为矩形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定、菱形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．首先根据菱形的性质可得，，进而可得，结合可证明四边形为平行四边形，然后根据“有一个角为直角的平行四边形为矩形”即可证明结论． 【详解】证明：∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形． 19. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 【答案】（1） （2）8.36 （3）150人 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、扇形统计图，用样本估计总体，众数、中位数、平均数，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据的人数和百分比可以求得本次接受调查的学生人数，再由总人数和的人数即可求出m； 根据条形统计图中的数据，可以得到这50个样本数据的众数、中位数； （2）根据平均数的定义进行解答即可； （3）在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占，用八年级共有学生数乘以即可得到答案． 【小问1详解】 解：（人， ， ， 在这组数据中，8出现了17次，次数最多， 众数是8， 将这组数据从小到大依次排列，处于最中间的第25，26名学生的分数都是8， 中位数是， 故答案为：． 【小问2详解】 这组数据的平均数是8.36． 【小问3详解】 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是的学生占， 根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是的学生占，有． 估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为150． 20. 综合与实践 【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； （1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． （2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． （3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 【答案】（1）答案见解析 （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）取AB的中点F，连接EF，利用同角的余角相等说明∠PEC＝∠BAE，再根据ASA证明△AFE≌△ECP，得AE＝EP； （2）在AB上取AF＝EC，连接EF，由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE，则△FAE≌△CEP（SAS），再说明△BEF是等腰直角三角形即可得出答案； （3）作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG，则△DCG是等腰直角三角形，可知点D与G关于CP对称，则AP+DP的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG，进而得出答案． 【小问1详解】 解：AE＝EP， 理由如下：取AB的中点F，连接EF， ∵F、E分别为AB、BC的中点， ∴AF＝BF＝BE＝CE， ∴∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∵CP平分∠DCG， ∴∠DCP＝45°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠AFE＝∠ECP， ∵AE⊥PE， ∴∠AEP＝90°， ∴∠AEB+∠PEC＝90°， ∵∠AEB+∠BAE＝90°， ∴∠PEC＝∠BAE， ∴△AFE≌△ECP（ASA）， ∴AE＝EP； 【小问2详解】 解：在AB上取AF＝EC，连接EF， 由（1）同理可得∠CEP＝∠FAE， ∵AF＝EC，AE＝EP， ∴△FAE≌△CEP（SAS）， ∴∠ECP＝∠AFE， ∵AF＝EC，AB＝BC， ∴BF＝BE， ∴∠BEF＝∠BFE＝45°， ∴∠AFE＝135°， ∴∠ECP＝135°， ∴∠DCP＝45°； 【小问3详解】 解：作DG⊥CP，交BC的延长线于G，交CP于O，连接AG， 由（2）知，∠DCP＝45°， ∴∠CDG＝45°， ∴△DCG是等腰直角三角形， ∴点D与G关于CP对称， ∴AP+DP的最小值为AG的长， ∵AB＝4， ∴BG＝8， 由勾股定理得AG＝， ∴△ADP周长的最小值为AD+AG＝． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，轴对称﹣最短路线问题，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 21. 建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： （1）如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； （2）在（1）的条件下，求的面积； （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2）10 （3）存在，点的坐标为或或，理由见解析 【解析】 【分析】（1）过点C作轴于点H，根据直线解析式得出A、B坐标，根据直角三角形两锐角互余得出，利用“可证得”，得到，即可求解； （2）连接，由（1）中A、B、C的坐标可知，再利用 即可求解； （3）设，分情况计算即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作轴于点H， 直线与轴、轴分别交于、两点， 当时，；当时，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点C的坐标为； 【小问2详解】 连接， 由（1）可知，， ， ； 【小问3详解】 存在，理由如下： 设， 当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 同（1）可证， ， ， 解得， ； 当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 可得， ， ， ； 当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图： 可得， ， ， ； 综上所述，点Q的坐标为或或 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，灵活运用以上知识点是解题的关键 22. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 【答案】（1）见详解； （2）； （3）． 【解析】 【分析】（1）通过证明，得到，可证四边形为平行四边形，再由，可证平行四边形为菱形； （2）过点作于，先判断四边形是矩形，再求矩形的边长，进而求出周长； （3）过点作，交的延长线于，过点作于，先证明四边形是平行四边形，再证明四边形是矩形，在中，求出， 中，求出即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分， ，， ， ， 四边形为平行四边形， ， 平行四边形为菱形； （2）解：过点作于， 由折叠可知：，， 在中，，即， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形的周长； （3）解：过点作，交的延长线于，过点作于， 四边形是平行四边形，， ， ， ， ， ， 由折叠的性质可知：，， ， ， ， ， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， 在中，， ， 在 中，． 【点睛】本题是四边形的综合题，熟练掌握菱形的判定及性质，平行四边形的判定及性质，图形折叠的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 北师大万宁实验学校2024-2025学年度第二学期 八年级期末 数学科试题 （考试时间100分钟，满分120分） 一、选择题（本大题满分36分，每题3分） 1. 下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥，其中一定是二次根式的有（ ） A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个 2. 下列式子中与是同类二次根式的是（　　）． A. B. C. D. 3. 下列曲线中能表示是的函数的是（　　） A. B. C D. 4. 为庆祝五四青年节，某学校举办班级合唱比赛，甲班演唱后七位评委给出的分数为：9.5，9.2，9.6，9.4，9.5，8.8，9.4，则这组数据的中位数是（ ） A. 9.2 B. 9.4 C. 9.5 D. 9.6 5. 已知正比例函数的函数值随的增大而减小，则一次函数的图象所经过的象限是（ ） A. 一、二、四 B. 一、二、三 C. 一、三、四 D. 二、三、四 6. 已知三角形两边长为和，要使这个三角形为直角三角形，则第三边的长为（ ） A. 6 B. 28 C. 10或28 D. 10或 7. 如图，是边延长线上一点，连接，，，交于点．添加以下条件，不能判定四边形为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形，若小正方形的边长为3，大正方形边长为15，则一个直角三角形的周长是（ ） A 45 B. 36 C. 25 D. 18 9. 如图，在中，按照如下尺规作图的步骤进行操作： ①以点B为圆心，以适当长为半径画弧，分别与交于M，N两点； ②分别以M，N为圆心，以适当长为半径画弧，两弧交于点D，作射线与交于点E； ③分别以B，C为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧交于点P，Q，作线段与于点F； ④连接． 若，，则的周长为（ ） A. B. C. D. 10. A、B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地．l1，l2分别表示甲、乙两人离开A地的距离s（km）与时间t（h）之间的关系．对于以下说法：①乙车出发1.5小时后甲才出发；②两人相遇时，他们离开A地20km；③甲的速度是40km/h，乙的速度是km/h；④当乙车出发2小时时，两车相距13km．其中正确的结论是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ②④ 11. 如图，在直角坐标系中，矩形的对角线轴，若则与的交点的坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 一次函数与在同一平面直角坐标系中的图象如图所示．根据图象有下列五个结论：①；②；③方程的解是；④不等式的解集是；⑤不等式的解集是．其中正确的结论个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、填空题（本大题满分9分，每题3分） 13. 与最简二次根式可以合并，则______． 14. 函数中x取值范围是______． 15. 菱形ABCD在平面直角坐标系中位置如图所示，顶点B（2，0），∠DOB=60°，点P是对角线OC上一个动点，E（0，﹣1），当EP+BP最短时，点P的坐标为________． 三、解答题（本大题满分75分） 16. 计算 （1） （2） 17. 某校积极开展劳动教育，两次购买两种型号的劳动用品，购买记录如下表： A型劳动用品（件） B型劳动用品（件） 合计金额（元） 第一次 20 25 1150 第二次 10 20 800 （1）求两种型号劳动用品的单价； （2）若该校计划再次购买两种型号的劳动用品共40件，其中A型劳动用品购买数量不少于10件且不多于25件．该校购买这40件劳动用品至少需要多少元？（备注：A，B两种型号劳动用品的单价保持不变） 18. 如图，菱形的对角线、相交于点，过点作，且，连接、．求证：四边形为矩形． 19. 为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：），随机调查了该校八年级名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填空：的值为______，图①中的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______； （2）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数； （3）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是的人数约为多少？ 20. 综合与实践 【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一个问题：如图1，在正方形ABCD中，E是BC的中点，，EP与正方形的外角的平分线交于P点．试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明； （1）【思考尝试】同学们发现，取AB的中点F，连接EF可以解决这个问题．请在图1中补全图形，解答老师提出的问题． （2）【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新问题：如图2，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接CP，可以求出的大小，请你思考并解答这个问题． （3）【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3，在正方形ABCD中，E为BC边上一动点（点E，B不重合），是等腰直角三角形，，连接DP．知道正方形的边长时，可以求出周长的最小值．当时，请你求出周长的最小值． 21. 建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： （1）如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； （2）在（1）的条件下，求的面积； （3）如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 22. （1）【探究发现】如图①，已知矩形的对角线的垂直平分线与边，分别交于点E，F．求证：四边形是菱形； （2）【类比应用】如图②，直线分别交矩形的边，于点E，F，将矩形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，求四边形的周长； （3）【拓展延伸】如图③，直线分别交平行四边形的边，于点E，F，将平行四边形沿翻折，使点C的对称点与点A重合，点D的对称点为，若，，，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$