精品解析：福建省漳州第一中学2024-2025学年高三上学期第一次阶段考试数学试题

漳州一中2025~2026学年上学期阶段考一 高三数学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知7个数据0，1，5，6，7，11，12，则这组数据的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 7. 已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 已知集合M，N均为的子集，且，则 B. 一组数据（，2，3，4，5，6）的线性回归方程为，若，则 C. 已知正实数x，y满足，则 D. 定义在上的函数满足，则的图象关于直线轴对称 10. 已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ） A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为 C. 数列为递增数列 D. 数列为递增数列 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为偶函数，则 C. 有且仅有个使得的最小值为 D. 若函数的图象与的图象有且仅有两个交点，则的取值范围为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的常数项为________． 13. 将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数__________. 14. 已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. （1）在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； （2）用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 16. 在三棱柱中，四边形与都是棱长为1的正方形，，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且. （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求BF的长. 17. 已知函数. （1）若，求在上的最大值； （2）若在上恰有两个零点，求实数a的取值范围. 18. 已知数列的各项均为正数，其前n项和记为，满足，，其中为非零常数. （1）若数列为等差数列 （ⅰ）求； （ⅱ）记数列的前n项和为，若对恒成立，求实数t的取值范围； （2）若，求数列的通项公式及. 19. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，短轴长为，离心率为. （1）求的方程； （2）记的左顶点为，直线与交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方.是否存在点，使得与的面积之比为3：5？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 漳州一中2025~2026学年上学期阶段考一 高三数学科试卷 考试时间：120分钟 满分：150分 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 若复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算即可求解. 【详解】，又复数，在复平面内对应的点关于实轴对称，， 则. 故选：B. 2. 已知7个数据0，1，5，6，7，11，12，则这组数据的第百分位数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数计算规则计算可得. 【详解】因为，所以这组数据的第百分位数为这组数据从小到大排列的第个数，即为， 所以这组数据的第百分位数为. 故选：D 3. 已知向量，，若，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量线性运算的坐标表示，向量垂直的坐标表示列式求出. 【详解】向量，，则，， 由，则，解得. 故选：C 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦定理即可得到与的关系，根据充分性与必要性判断即可. 【详解】， ， ， ， ， 或， 故由左不可以推右，由右可以推左， 故选：B. 5. 如图，在正方体中，分别是的中点．用过点且平行于平面的平面去截正方体，得到的截面图形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得四边形为截面所在的四边形，即可利用线面垂直得四边形为矩形，即可求解. 【详解】取的中点，连接, 则,故四边形为平行四边形，即为过点且平行于平面的截面， ,,且平面,平面,则, 故四边形为矩形， 故四边形的面积为， 故选：B 6. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，是坐标原点，若的面积为，则（ ） A. 2 B. 3 C. D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由焦点坐标得出，从而得出抛物线方程，设出的坐标，结合三角形面积公式计算出坐标值，进而利用两点间距离公式求解． 【详解】 ， ，即，抛物线的方程为． 设，则的面积为： ，解得，将代入，解得， ． 故答案为：D． 7. 已知函数，，则两个函数的图象仅通过平移就可以重合的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】分析可知，若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等，可判断AB选项；利用三角函数图象变换可判断CD选项. 【详解】若两个正、余弦型函数的图象仅通过平移就可以重合，则这两个函数的振幅相等，最小正周期也相等， 对于A选项，， 所以，函数的振幅为，函数的振幅为， 所以，这两个函数的振幅不相等， 故与的图象不能通过平移重合，A错； 对于B选项，， ， 函数的振幅为，函数的振幅为， 所以，与的图象不能通过平移重合，B错； 对于C选项，因为，， 将函数的图象向左平移个单位长度可与函数的图象重合，C对； 对于D选项，， 函数与的图象不能通过平移重合，D错. 故选：C. 8. 函数所有零点的和等于（ ） A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】首先确定函数定义域为，分别画出函数与函数的图象，再根据在端点处的斜率关系求出零点个数为6个，再由对称性可求出所有零点之和为9. 【详解】易知，可得，即函数的定义域为， 函数的零点即方程的解，即函数与函数的图象交点的横坐标. ，，故两函数的图象都是从原点出发，且是一个交点， 且两个函数的图象都关于直线对称. 函数对应的曲线方程为，表示一个半圆，如图所示： 半圆在、处的切线斜率不存在， 而在、处的切线斜率分别为，， 可见，这两个函数的图象在区间上有6个交点，且这些交点关于直线对称， 而两个关于直线对称的点的横坐标之和等于3，故函数所有零点的和是9 故选：C 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 给出下列命题，其中正确命题为（ ） A. 已知集合M，N均为的子集，且，则 B. 一组数据（，2，3，4，5，6）的线性回归方程为，若，则 C. 已知正实数x，y满足，则 D. 定义在上的函数满足，则的图象关于直线轴对称 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，先得到，故A正确；B选项，计算出，根据样本中心点在回归直线方程上，得到，得到B错误；C选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值；D选项，先得到关于对称，进而由伸缩变换得到的图象关于直线对称，D错误. 【详解】A选项，因为，所以，故，A正确； B选项，因为，所以，又因为回归方程为， 所以，所以，故B错误； C选项，正实数x，y满足， 故， 当且仅当，即，等号成立，故C正确； D选项，，故关于对称， 由横坐标变为原来的，纵坐标不变得到的， 所以则的图象关于直线轴对称，D错误. 故选：AC. 10. 已知数列为等比数列，首项，公比，则下列叙述正确的是（ ） A. 数列的最大项为 B. 数列的最小项为 C. 数列为递增数列 D. 数列为递增数列 【答案】ABC 【解析】 【分析】分别在为偶数和为奇数的情况下，根据项的正负和的正负得到最大项和最小项，知AB正误；利用和可知CD正误. 【详解】对于A，由题意知：当为偶数时，； 当为奇数时，，，最大； 综上所述：数列的最大项为，A正确； 对于B，当为偶数时，，，最小； 当为奇数时，； 综上所述：数列的最小项为，B正确； 对于C，，， ， ，，， 数列为递增数列，C正确； 对于D，，， ； ，，，又， ，数列为递减数列，D错误. 故选：ABC. 11. 已知函数，下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若为偶函数，则 C. 有且仅有个使得的最小值为 D. 若函数的图象与的图象有且仅有两个交点，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】解方程，求出的值，可判断A选项；由偶函数的性质求出的值，取可判断B选项；利用绝对值三角不等式可判断C选项；化简函数的解析式，对的取值进行分类讨论，数形结合可得出关于实数的不等式组，综合可解得实数的取值范围. 【详解】对于A选项，，则，解得，A对； 对于B选项，若函数为偶函数，则， 即，可得， 所以，或， 由可得，由解得； 由可得，即， 所以，或， 由可得，由可得， 综上所述，或， 经检验，当或，函数为偶函数， 当时，，B错； 对于C选项，由三角不等式可得， 解得或， 当且仅当时，取最小值，C对； 对于D选项， ①当时，，可知若与有且仅有两个交点， 只需点在的图象的下方，即，可得； ②当时，， 由，可得点在的图象的下方， 此时的图象与有且仅有两个交点； ③当时，， 当与相切时，有， 令，则，可得， 解得（舍去）或， 可得与有两个交点时， 由上知，D对， 故选：ACD． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 的展开式中的常数项为________． 【答案】15 【解析】 【分析】利用二项展开式的通项公式求解即可. 【详解】的展开式通项公式为， 令，解得， 所以常数项为． 故答案为： 13. 将直线沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆相切，则实数__________. 【答案】或 【解析】 【分析】根据平移得平移后的直线方程，即可根据点到直线的距离公式求解. 【详解】向左平移个单位得到， 圆化为，圆心为，半径为， 因为相切，所以解得或， 故答案为：或 14. 已知的内角对边分别为，边上的高为h，，则的最小值为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据余弦定理，并结合三角形面积公式求出与的关系；通过几何图形作辅助线，构造可得，求出的范围，进而根据二倍角公式，求得的取值范围. 【详解】在中，， ， 即； 又，，即，又； 故， 如图，在中，过作的垂线，且使，则， ，即，可得， ，即，， , 设，，在区间单调递减， ，即, ，当且仅当时，即三点共线时等号成立. 验证：如下图中，若时，满足， 此时，， 故存在这样的，使得成立. 因此的最小值为. 故答案为：. 【点睛】关键点点睛：解决此题关键有二，一是通过已知条件结合面积公式与余弦定理得到等量关系；二是构造几何图形求解的范围，进而利用二倍角公式求解的范围. 四、解答题（本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 为了调查某地区高中学生对于体育运动的爱好程度，随机调查了该地区部分学生的日均运动时间.在被调查的学生中，女生占，女生中有的人日均运动时间大于小时，男生中有的人日均运动时间大于小时. （1）在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，求此人为男生的概率； （2）用频率估计概率，从该地区的高中生中随机抽取人，求日均运动时间大于小时的人数的期望和方差. 【答案】（1） （2）期望为，方差为 【解析】 【分析】（1）记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时，利用全概率公式可求出的值，再利用条件概率公式可求得的值； （2）分析可知，，利用二项分布的期望和方差公式即可得解. 【小问1详解】 记事件抽取的人为男生，记事件抽取的人日均运动时间大于小时， 则，，，， 由全概率公式可得， 由条件概率公式可得. 因此，在被调查的学生中任选人，若此人日均运动时间大于小时，则此人为男生的概率为. 【小问2详解】 从该地区的高中生中随机抽取人，该生日均运动时间大于小时的概率为， 由题意可知，所以，，. 16. 在三棱柱中，四边形与都是棱长为1的正方形，，E，F，G分别是棱AB，BC，上的动点，且. （1）求证：； （2）若平面与平面的夹角的余弦值为，求BF的长. 【答案】（1） 证明：因为与都是棱长为的正方形， 所以，，又，所以，，两两垂直， 故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 设，，则，，，， 所以，， 所以，故，则. （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量的坐标运算即可求解， （2）求解平面法向量，根据法向量的夹角即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：由（1）知，，所以， 设是平面的一个法向量， 所以即 即 令，得 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 因为平面与平面的夹角的余弦值， 所以， 解得，故. 方法二： 由（1）知，，所以，，， 所以，即， 又，，平面， 所以平面， 所以平面的一个法向量为， 又平面的一个法向量为， 因为平面与平面的夹角的余弦值， 所以， 解得，故. 17. 已知函数. （1）若，求在上的最大值； （2）若在上恰有两个零点，求实数a的取值范围. 【答案】（1）-1 （2） 【解析】 【分析】（1）由函数解析式，求导，根据指数函数单调性以及三角函数的性质，可得函数的单调性，可得答案； （2）利用分离参数，构造函数，利用导数研究其单调性，求得给定区间上的最值，根据方程与函数的关系，可得答案. 【小问1详解】 若，则， 因为当时，，仅当时，“＝”成立， 所以在上单调递减， 所以在上的最大值为. 【小问2详解】 ，令，则， 当时，由，即，得或. 当时，，递增； 当时，，递减； 当时，，递增； ，，，， 因为在上恰有两个零点， 所以直线与曲线（）恰有两个交点， 所以实数a的取值范围为. 18. 已知数列的各项均为正数，其前n项和记为，满足，，其中为非零常数. （1）若数列为等差数列 （ⅰ）求； （ⅱ）记数列的前n项和为，若对恒成立，求实数t的取值范围； （2）若，求数列的通项公式及. 【答案】（1）（ⅰ）；（ⅱ） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据等差数列基本量的计算可得公差和首项，即可求解（ⅰ），利用裂项求和化简，进而分离参数，利用对勾函数的单调性求解最值，即可求解（ⅱ）， （2）根据的关系作差可得数列的奇偶项均为等差数列，进而可求解通项，利用等差数列求和公式结合分类讨论即可求解. 【小问1详解】 当时，，而，解得， 当时，，解得 （ⅰ）由数列为等差数列，得， 则，解得， 则，，公差为2，. （ⅱ）记 则 则对恒成立，即对恒成立， 因在上单调递增，故时，取到最小值， 所以的取值范围是. 【小问2详解】 当时，有，， 两式相减，整理得， 而，故得， 当时，，解得， 故数列的奇数项是首项，公差为3的等差数列， ； 数列的偶数项是首项，公差为3的等差数列， ， 时，数列的通项公式是； 当为偶数时， ， 当为奇数时，， 时，数列的前项和为：. 19. 已知椭圆的左，右焦点分别为，，短轴长为，离心率为. （1）求的方程； （2）记的左顶点为，直线与交于P，Q两点，直线AP，AQ的斜率之积为. （i）证明：直线过定点； （ii）若在轴上方，直线与圆交于点，点在轴上方.是否存在点，使得与的面积之比为3：5？若存在，求出点坐标；若不存在，说明理由. 【答案】（1）； （2） （i）由（1）知，当直线的斜率不存在时，此时直线与交于关于轴对称的两点， 设， 则，即， 又，所以， 所以，解得或， 当时，，此时与重合， 直线AP或直线AQ的斜率不存在，不合要求， 当时，直线方程为， 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立得， ，解得， 设，则， 所以， 由得 ，化简得， ，解得或， 当时，，过定点， 直线AP或直线AQ的斜率不存在，不合要求， 当时，，过定点， 显然此时满足， 其中也过点， 综上，直线过定点； （ii）存在，点， 【解析】 【分析】（1）根据短轴长和离心率得到方程组，求出，得到椭圆方程； （2）（i）当直线的斜率不存在时，计算出直线方程为，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，联立椭圆方程，设，得到两根之和，两根之积，根据斜率之积得到方程，求出或，当时不合题意，当时，求出所过定点，验证后得到结论； （ii）由椭圆定义和圆的半径得到，所以，令，当直线斜率不存在时，，此时，求出，当直线斜率存在时，设，由余弦定理求出，，代入，解得或，均不合要求，舍去，综上，求出答案. 【小问1详解】 由题意得，，故，， 又，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 （i）略 （ii）存在点，使得与的面积之比为3：5，理由如下： 在轴上方，故在轴下方，即，， 由椭圆定义可知，， 又的圆心为，半径为4， 故，所以， 由于，， 所以， 令， 当直线斜率不存在时，，此时， 解得，令中得， 又在轴上方，故，满足要求， 当直线斜率存在时，设， 在中，，，， 由余弦定理得， 即，解得， 同理可得， 由可得， 解得或，均不合要求，舍去， 综上，存在点，使得与的面积之比为3：5 【点睛】思路点睛： 处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为）， （2）利用条件找到与过定点的曲线的联系，得到有关与的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于与的等式进行变形，直至找到， ①若等式的形式为整式，则考虑将含的式子归为一组，变形为“”的形式，让括号中式子等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等于0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去变为常数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $