河南省信阳市淮滨县2025-2026学年九年级上学期入学学情调研测试数学试题

河南省信阳市淮滨县2025～2026学年度第一学期入学学情调研测试试题 九年级数学 (时间：100分钟　满分：120分) 一、选择题(本题共10小题，每题3分，共30分) 1.下列属于最简二次根式的是（ ） A． B． C． D． 2.下列各组数中，是勾股数的是（ ） A．9，16，25 B．,,2 C．，2， D．5，12，13 3.下列运算正确的是(　 　) A．＋＝　　 B．2×3＝18　　 C．＝3　　 D．＝2－ 4.在方差的计算公式中，数字10和20分别表示（ ） A．数据的个数和方差 B．平均数和数据的个数 C．数据的个数和平均数 D．数据的方差和平均数 5.若点和都在直线上，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．无法确定 6.如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）.当 时，的度数为（ ） A． B． C． D． 7.某学习小组5名同学某次数学成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了10分，老师加回分数后，下列说法正确的是（ ） A．小刚的成绩位于组内中等水平 B．小组平均分增加2分 C．小组的成绩稳定性增加，方差变大 D．该小组成绩不存在中位数 8.如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为(　 　) A．2 B． C．1 D． 9.如图①，为矩形的边上的一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是.若，同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与的函数图象如图②，则的面积为（ ） A． B． C． D． 10.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以,为边作矩形.动点,分别从点,同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿,向终点,移动.连接,,,，当移动时间为4秒时，的值为（ 　 ） A． B． C．15 D．30 二、填空题(本题共5小题，每题3分，共15分) 11.等式成立的条件是_ _____. 12.为筹备毕业聚餐，班长对全班同学中爱吃东北菜、川菜、湘菜、粤菜中的哪一种菜系的人数最多做了民意调查.班长做决定最关注的统计量应是__ _.（填“平均数”“中位数”“众数”或“方差”） 13.如下图在□ABCD中，增加一个条件后,□ABCD就成为矩形，这个条件可以是 14.小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位：m)，此时这组成绩的平均数是20 m，方差是s21.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m的线上，且投掷结束后这组成绩的方差是s22，则s21 s22(填“＞”“＝”或“＜”)． 15.如图，直线 与直线 相交于点，直线 与 轴交于点，直线 与 轴交于点，与 轴交于点，过点 作 交 轴于点.直线 上有一点（在 轴上方）且，则点的坐标为_ _. 三、解答题(本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(每题4分，共8分)计算： (1)(－)－(＋)；　　　　　　　　　　(2)(3＋)(3－)． 17.(9分)为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，现对他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下. 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题. （1） 这六场比赛中，得分更稳定的队员是__（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为__分. （2） 请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好. （3） 规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好. 18．(9分)某次台风来袭时，一棵大树(假定树干AB垂直于地面)被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D(如图所示)，量得∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所形成的角∠ADC＝60°，AD＝4米． (1)求大树的根部A到折断后的树干CD的距离； (2)求这棵大树AB原来的高度．(结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4) 19.(9分)如图，已知△ABC. (1)按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： ①分别作边AB，AC的中点，记为点D，E；②连接DE并延长，在DE的延长线上取点F，使EF＝DE；③连接CF. (2)在(1)所作的图中，试判断四边形DBCF的形状，并说明理由． 20.(9分)一次函数y＝2x－4的图象与x轴交于点A，且经过点B(m，4)． (1)求点A和点B的坐标； (2)直接在如图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x－4的图象； (3)点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 21(10分)某电商准备购入某品牌的A型平板电脑和B型平板电脑共100台进行销售．若购入2台A型平板电脑和3台B型平板电脑需花费4 700元，购入3台A型平板电脑和2台B型平板电脑需花费4 800元． (1)A，B两种平板电脑的进价分别为____________________； (2)设购入A型平板电脑x台，购入总费用为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②已知该电商购入这批平板电脑的总费用不超过96 000元，其中A型平板电脑的销售单价为1 500元，B型平板电脑的销售单价为1 280元.7月底，某地突发暴雨灾害，该电商决定从销售A型平板电脑的销售利润中按每台捐献m(m＜120)元作为资助给该地抗涝的资金，若该电商售完100台平板电脑并捐献资金后获得的利润不超过39 200元，求m的取值范围． 22．(10分)如图①，把一个含 角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点，分别在正方形的边，上，连接，取的中点和的中点，连接，. （1） 连接，求证：； （2） 在（1）的条件下，请判断线段与之间的数量关系，并证明； （3） 如图②，将这个含 角的直角三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点，分别在正方形的边，的延长线上，其他条件不变，当，时，求的长. 23．(11分)某班“数学兴趣小组”在学习“勾股定理”章节的内容后，遇到这样的 问题： 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，点D是边CB上的一个动点，连接AD.若△ABD是等腰三角形，求线段CD的长度． (1)小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程； (2)小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究过程，请你补充完整． ①首先根据点D在边BC上的不同位置，画出相应图形，测量出线段CD，AD的长度，得出下面的表格： CD 0 1 2 3 4 5 6 7 8 AD 6 6.1 6.3 6.7 7.2 7.8 8.5 9.2 a 表格中a的值为________； ②然后将CD的长度作为自变量x(0≤x≤8)，AD的长度作为x的函数，记为y1，在如图②的平面直角坐标系中画出了函数y1关于x的图象． 写出该函数的一条性质：______________； ③小聪分析不用测量BD的值，因为CD与BD满足关系式：____________； ④将BD的长度作为x的函数，记为y2，继续在如图②的平面直角坐标系中画出小聪所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值(精确到0.1)． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河南省信阳市淮滨县2025～2026学年度第一学期入学学情调研测试试题 九年级数学 (时间：100分钟　满分：120分) 一、选择题(本题共10小题，每题3分，共30分) 1.下列属于最简二次根式的是（ B ） A． B． C． D． 2.下列各组数中，是勾股数的是（ D ） A．9，16，25 B．,,2 C．，2， D．5，12，13 3.下列运算正确的是(　B　) A．＋＝　　 B．2×3＝18　　 C．＝3　　 D．＝2－ 4.在方差的计算公式中，数字10和20分别表示（ C ） A．数据的个数和方差 B．平均数和数据的个数 C．数据的个数和平均数 D．数据的方差和平均数 5.若点和都在直线上，则与的大小关系是（ B ） A． B． C． D．无法确定 6.如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）.当 时，的度数为（ A ） A． B． C． D． 7.某学习小组5名同学某次数学成绩如图所示，拿到试卷后，小刚发现自己的成绩少加了10分，老师加回分数后，下列说法正确的是（ B ） A．小刚的成绩位于组内中等水平 B．小组平均分增加2分 C．小组的成绩稳定性增加，方差变大 D．该小组成绩不存在中位数 8.如图，在▱ABCD中，∠C＝120°，AB＝2，AD＝2AB，点H，G分别是边DC，BC上的动点，连接AH，HG，点E为AH的中点，点F为GH的中点，连接EF，则EF的最小值为(　D　) A．2 B． C．1 D． 9.如图①，为矩形的边上的一点，点从点沿折线运动到点时停止，点从点沿运动到点时停止，它们运动的速度都是.若，同时开始运动，设运动时间为，的面积为，已知与的函数图象如图②，则的面积为（ C ） A． B． C． D． 10.如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，以,为边作矩形.动点,分别从点,同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿,向终点,移动.连接,,,，当移动时间为4秒时，的值为（ D　 ） A． B． C．15 D．30 二、填空题(本题共5小题，每题3分，共15分) 11.等式成立的条件是__－2＜≤3______. 12.为筹备毕业聚餐，班长对全班同学中爱吃东北菜、川菜、湘菜、粤菜中的哪一种菜系的人数最多做了民意调查.班长做决定最关注的统计量应是___众数_.（填“平均数”“中位数”“众数”或“方差”） 13.如下图在□ABCD中，增加一个条件后,□ABCD就成为矩形，这个条件可以是 ∠ABC＝90º(答案不唯一) 14.小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩(单位：m)，此时这组成绩的平均数是20 m，方差是s21.若第10次投掷标枪的落点恰好在20 m的线上，且投掷结束后这组成绩的方差是s22，则s21_＞_s22(填“＞”“＝”或“＜”)． 15.如图，直线 与直线 相交于点，直线 与 轴交于点，直线 与 轴交于点，与 轴交于点，过点 作 交 轴于点.直线 上有一点（在 轴上方）且，则点的坐标为__(0,4)__. 三、解答题(本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 16．(每题4分，共8分)计算： (1)(－)－(＋)；　　　　　　　　　　(2)(3＋)(3－)． 解：原式＝2－－－ 解：原式＝(3)2－()2 　 ＝－. 　　　 ＝18－3 　　 　 ＝15. 17.(9分)为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，学校开展了丰富多彩的课外体育活动.在八年级组织的篮球联赛中，甲、乙两名队员表现优异，现对他们在近六场比赛中关于得分、篮板和失误三个方面的统计结果如下. 技术统计表 队员 平均每场得分 平均每场篮板 平均每场失误 甲 26.5 8 2 乙 26 10 3 根据以上信息，回答下列问题. （1） 这六场比赛中，得分更稳定的队员是__（填“甲”或“乙”）；甲队员得分的中位数为27.5分，乙队员得分的中位数为__分. （2） 请从得分方面分析：这六场比赛中，甲、乙两名队员谁的表现更好. （3） 规定“综合得分”为：平均每场得分平均每场篮板平均每场失误，且综合得分越高表现越好.请利用这种评价方法，比较这六场比赛中甲、乙两名队员谁的表现更好. 解：（1） 甲； 29 （2） 解： 甲平均每场得分为26.5分，乙平均每场得分为26分，,且甲的得分更稳定， 甲队员的表现更好. （3） 甲的综合得分为（分）， 乙的综合得分为（分）， ， 乙队员的表现更好. 18．(9分)某次台风来袭时，一棵大树(假定树干AB垂直于地面)被刮倾斜后折断倒在地上，树的顶部恰好接触到地面D(如图所示)，量得∠BAC＝15°，大树被折断部分和地面所形成的角∠ADC＝60°，AD＝4米． (1)求大树的根部A到折断后的树干CD的距离； (2)求这棵大树AB原来的高度．(结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4) 解：(1)过点A作AE⊥CD于点E，如图． 在Rt△AED中， ∵∠ADE＝60°， ∴∠EAD＝30°. 又∵AD＝4米， ∴DE＝2米，∴AE＝2米． ∴大树的根部A到折断后的树干CD的距离为2米． (2)∵∠BAD＝90°，∠BAC＝15°，∴∠DAC＝90°－15°＝75°. 在Rt△AEC中，∵∠CAE＝∠CAD－∠DAE＝75°－30°＝45°， ∴∠ACE＝90°－∠CAE＝90°－45°＝45°， ∴∠ACE＝∠CAE，∴CE＝AE＝2米， ∴CD＝DE＋CE＝(2＋2)米， AC＝＝2(米)． 由题知AB＝AB′，B′C＝CD，∴AB＝AB′＝AC＋B′C＝AC＋CD＝2＋2＋2≈ 2×2.4＋2×1.7＋2＝10.2(米)≈10米． ∴这棵大树AB原来的高度约为10米． 19.(9分)如图，已知△ABC. (1)按下列要求作图，并在图中标明相应的字母(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)： ①分别作边AB，AC的中点，记为点D，E；②连接DE并延长，在DE的延长线上取点F，使EF＝DE；③连接CF. (2)在(1)所作的图中，试判断四边形DBCF的形状，并说明理由． 解：(1)①②③如图． (2)四边形DBCF为平行四边形．理由如下： ∵D，E分别为AB，AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC. ∵EF＝DE，∴DE＝DF，∴DF＝BC. 又∵DF∥BC，∴四边形DBCF为平行四边形． 20.(9分)一次函数y＝2x－4的图象与x轴交于点A，且经过点B(m，4)． (1)求点A和点B的坐标； (2)直接在如图的平面直角坐标系中画出一次函数y＝2x－4的图象； (3)点P在x轴的正半轴上，若△ABP是以AB为腰的等腰三角形，请直接写出所有符合条件的点P的坐标． 解：(1)令y＝0，则2x－4＝0，解得x＝2，∴点A的坐标是(2，0)．把B(m，4)的坐标代入y＝2x－4，得2m－4＝4，解得m＝4， ∴点B的坐标是(4，4)． (2)如图． (3)点P的坐标为(6，0)或(2＋2，0)． 21(10分)某电商准备购入某品牌的A型平板电脑和B型平板电脑共100台进行销售．若购入2台A型平板电脑和3台B型平板电脑需花费4 700元，购入3台A型平板电脑和2台B型平板电脑需花费4 800元． (1)A，B两种平板电脑的进价分别为____________________； (2)设购入A型平板电脑x台，购入总费用为y元． ①求y关于x的函数关系式； ②已知该电商购入这批平板电脑的总费用不超过96 000元，其中A型平板电脑的销售单价为1 500元，B型平板电脑的销售单价为1 280元.7月底，某地突发暴雨灾害，该电商决定从销售A型平板电脑的销售利润中按每台捐献m(m＜120)元作为资助给该地抗涝的资金，若该电商售完100台平板电脑并捐献资金后获得的利润不超过39 200元，求m的取值范围． 解：(1)1 000元/台，900元/台 【点拨】设A，B两种平板电脑的进价分别为a元/台，b元/台，由题意得 解得 ∴A，B两种平板电脑的进价分别为1 000元/台，900元/台． (2)①若购入A型平板电脑x台，则购入B型平板电脑(100－x)台，根据题意，得y＝1 000x＋900(100－x)＝100x＋90 000， ∴y关于x的函数关系式为y＝100x＋90 000. ②根据题意，得100x＋90 000≤96 000，解得x≤60.设该电商售完100台平板电脑并捐献资金后获得的利润为w元，由题意得w＝(1 500－1 000－m)x＋(1 280－900)(100－x)＝(120－m)x＋38 000.∵m＜120，∴120－m＞0.∴w随x的增大而增大．∴当x＝60时，w取得最大值， ∴60(120－m)＋38 000≤39 200，解得m≥100，∴m的取值范围为100≤m＜120. 22．(10分)如图①，把一个含 角的直角三角板和一个正方形摆放在一起，使三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点，分别在正方形的边，上，连接，取的中点和的中点，连接，. （1） 连接，求证：； （2） 在（1）的条件下，请判断线段与之间的数量关系，并证明； （3） 如图②，将这个含 角的直角三角板的直角顶点和正方形的顶点重合，点，分别在正方形的边，的延长线上，其他条件不变，当，时，求的长. 解：（1） 证明： 四边形是正方形， ， . 是等腰直角三角形，， ，即， ，. （2）. 证明:是的中点，是的中点， 是的中位线，， 在中，是的中点，， ，. （3） 解：连接， 四边形是正方形，. ，，， 在中，由勾股定理得. 是的中点，是的中点， 是的中位线，. 23．(11分)某班“数学兴趣小组”在学习“勾股定理”章节的内容后，遇到这样的 问题： 如图①，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝6，CB＝8，点D是边CB上的一个动点，连接AD.若△ABD是等腰三角形，求线段CD的长度． (1)小美利用刚学过的勾股定理，用方程很容易做出了解答，请你帮小美写出解答过程； (2)小聪在学习了一次函数这一章节的内容后，尝试利用函数的方法探究并解决该问题，下面是他的探究过程，请你补充完整． ①首先根据点D在边BC上的不同位置，画出相应图形，测量出线段CD，AD的长度，得出下面的表格： CD 0 1 2 3 4 5 6 7 8 AD 6 6.1 6.3 6.7 7.2 7.8 8.5 9.2 a 表格中a的值为________； ②然后将CD的长度作为自变量x(0≤x≤8)，AD的长度作为x的函数，记为y1，在如图②的平面直角坐标系中画出了函数y1关于x的图象． 写出该函数的一条性质：______________； ③小聪分析不用测量BD的值，因为CD与BD满足关系式：____________； ④将BD的长度作为x的函数，记为y2，继续在如图②的平面直角坐标系中画出小聪所需的函数图象，并结合图象直接写出：当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值(精确到0.1)． 解：(1)当△ABD为等腰三角形时，AD＝BD.设CD＝x，则BD＝8－x， ∴AD＝8－x. 在直角三角形ACD中，利用勾股定理，可得62＋x2＝(8－x)2.解得x＝.所以当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度为. (2)①10　②y随x的增大而增大(答案不唯一) ③CD＋BD＝8 ④由③可知，BD与CD的关系为y2＝－x＋8，在图中画出图象如图所示． 当△ABD为等腰三角形时，线段CD的长度的近似值为1.8. 学科网（北京）股份有限公司 $$