精品解析：广东省江门市广雅中学2023-2024学年八年级下学期第一次竞赛数学试题C卷

广东省江门市广雅中学2023-2024学年八年级下学期 第一次竞赛数学试题C卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、填空题A（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知：，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】依据多项式乘法法则，将展开，再按照求和符号的定义进行求和运算，最后通过对比等式两边的式子来确定的值．本题主要考查了多项式乘法、求和符号的运用以及代数式恒等式的应用．熟练掌握多项式乘法法则、准确理解求和符号的含义，以及通过对比等式两边对应项系数来求解未知数，是解题的关键． 【详解】解：当时， ∵， ∴对比可得． 故答案为：． 2. 已知，则分式的值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值，将条件式进行整理然后整体代入是解此题的关键． 去分母求出，变形后整体代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：． 3. 设．若，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先将、用含的式子表示出来（或者将、、都用表示，然后建立、与. 的关系），再根据列出关于的方程，进而求解的值．本题主要考查了完全平方公式的应用以及整体代换思想，熟练掌握完全平方公式，并能根据已知条件进行合理的代换是解题的关键． 【详解】解：设，，，则，． ∵ ∴ 故答案为：． 4. 已知，则的值为________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查求分式的值，其解题的关键是合理的变形及整体代入；由变形得，再对所求代数式进行变形，并整体代入求值即可； 【详解】解：， ， ． 故答案为：3. 5. 给定一个正整数，任意两个整数与分别除以所得的余数相同，我们就说a，b对同余，记作．例如：，记作． ① ②若，则 ③若，则 ④若为整数)，则．以上说法正确的有____________． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】本题考查了新定义的运算，多项式乘多项式等知识．解题的关键在于理解题意．按照新定义分别对各说法进行判断即可． 【详解】解：∵，，二者余数不同， ∴①错误，故不符合要求； ∵， ∴记，，其中均为正整数，则，， ∴，， ∴整数与分别除以3所得的余数和分别除以3所得的余数相同， ∴， ∴②正确，故符合要求； ∵， 记，，，，其中均为正整数，则，，，， ∴，， ∴整数、分别除以7所得的余数和除以7所得的余数相同， ∴， ∴③正确，故符合要求； ∵， ∴整数与分别除以9所得的余数相同， ∴， ∴④正确，故符合要求； 综上，②③④正确， 故答案为∶ ②③④． 二、填空题（二）（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 6. 对于正数x， 规定 例如：则_________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了分式的加减法，分式加减运算的关键是通分，根据规定的，找到规律是解决问题的关键．根据，，得到，然后化简式子即可求解． 【详解】解： 对于正数x， 规定 ，，为正整数， ， 故答案为：． 7. 已知中每个数只能取中的一个，且满足，则____________． 【答案】627 【解析】 【分析】本题考查三元一次方程组的应用，设中有a个，b个0，c个2，则，，，由此列三元一次方程组，即可求解． 【详解】解：设中有a个，b个0，c个2， 则，，， ， 解得， ， 故答案为：627． 8. 锐角三角形边的中垂线和的角平分线相交于点，若，则____________． 【答案】##度 【解析】 【分析】通过连接，利用中垂线性质得，再结合角平分线定义，设为未知数，根据三角形内角和定理列方程求解．本题主要考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的定义以及三角形内角和定理，熟练掌握这些知识并能灵活运用是解题的关键． 【详解】解：∵点在的中垂线上 ∴ ∴ ∵平分 ∴ ∴ 设，则，， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得 故答案为：． 9. 新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了配方法的应用，非负数的性质，以及一元二次方程的定义，弄清题中的新定义是解本题的关键．利用“同族二次方程”定义列出关系式，再利用多项式相等的条件列出关于a与b的方程组，求出方程组的解得到a与b的值，进而利用非负数的性质确定出代数式的最小值即可． 【详解】解： 与是“同族二次方程”， ， ∴， ， ∴， ， 最小值为， 最小值为， 即最小值为． 故答案为：． 10. 关于的方程的正整数解的个数_____个． 【答案】1 【解析】 【分析】先将原方程等号左边部分因式分解，可得，根据题意列举出两个正整数乘积为32的情况，考虑到因式分解后含有，在保证正整数集的条件下，可列出三个二元一次方程组，分别解方程组即可获得答案． 【详解】解： ， 由题意可知， 列举出两个正整数乘积为32的情况，可以有以下三种（只是因数位置不同的算一种）， ， ， ， ∵因式分解后含有，在保证正整数集的条件下，则有， 又∵，，， ∴根据题意可列出方程组为或或， 解第一个方程组，可得， 解第二个方程组，可得， 解第三个方程组，可得， 只有第三个方程组的解均为正整数，因此原方程的正整数解得个数为1个． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用以及解二元一次方程组，灵活运用相关知识，正确进行因式分解是解题关键． 三、填空题（三）（本大题共5小题，每小题5分，共20分） 11. 设，则____________． 【答案】##0.2 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，结合式子特征找出规律，再进行计算即可． 【详解】解：根据题意得第n项为： 则有： ； 所以， ， 故答案为：． 12. 在直角中，，，为的平分线，交的延长线于点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】 【详解】 延长、交于点，易证≌，∴，． 易证≌，∴，． ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 设，求不超过的最大整数____________． 【答案】 【解析】 【分析】先对每一项的根式进行化简，找出规律，再将所有项相加求和，最后确定不超过和的最大整数．本题主要考查了二次根式的化简以及裂项相消法求和，熟练掌握二次根式的化简方法和裂项相消法是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ 故答案为：． 14. 图（1）是一种便携式手推车，点O是竖直拉杆与挡板的连接点，竖直拉杆中部分可伸缩，当C，D重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆的长70～120cm（含70cm，120cm），挡板长为50cm，可绕点O旋转，折叠后点A，D重合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落，在货物四周用绳子加固，四边形为菱形，则=___________cm；小聪在运输货物时，发现货物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若，=60cm，，则绳子最低点I到挡板的距离=___________cm． 【答案】 ①. 40 ②. 【解析】 【分析】根据旋转与菱形的性质、利用勾股定理可以求出的长度；过J作于M，连接HF，然后证明四边形是平行四边形，得长度，求出，再利用三角形面积公式得出一元二次方程，即可得的长度． 【详解】解：如图（2），设， 则， ， 挡板长为50cm，可绕点O旋转，折叠后点A，D重合， ， ， 四边形为菱形， ， 在中，， 即： 解得或（舍去） ； 如图（3），过J作于M，连接HF， ， ， ， 且， 四边形是平行四边形， ， ， ， 设， 则，， ， ， ， 化简，得， ， ； ； 故答案为：40；． 【点睛】此题考查了旋转的性质、菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、直角三角形的性质、利用三角形面积公式得出一元二次方程等知识，熟练掌握并运用这些性质和添加适当的辅助线是解此题的关键． 15. 中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若为“整弦数”，则不可能为正整数；④若且均为正整数，则与之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为____________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题主要考查了勾股定理的综合运用，涉及数字类变化规律、整式的混合运算、完全平方公式等知识，正确理解“整弦数”的定义是解题关键． ①根据“整弦数”的定义即可求解；②根据定义举出反例即可求解；③根据“整弦数”的定义即可求解；④先求出m与n之积，再根据“整弦数”的定义即可求解；⑤先设一个正奇数（除1外）为（n为正整数），进一步得到两个连续正整数，再根据勾股定理的逆定理即可求解． 【详解】解：①∵ ∴20是“整弦数”，符合题意； ②如5，2是“整弦数”， ∵不是“整弦数”， ∴两个“整弦数”之和不一定是“整弦数”，不符合题意； ③若，则，，为“整弦数”，则c为正整数，不符合题意； ④∵，≠，且均为正整数， ∴m与n之积为“整弦数”，符合题意； ⑤设一个正奇数（除1外）为（n为正整数）， ∵且等于两个连续正整数的和， ∴较小的正整数为，较大的正整数为， ∵ ， ∴这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”，符合题意． ∴正确的个数为3， 故答案为：3． 四、解答题二（本大题共5小题，第16题8分，第题12分，第19－20题14分，共60分） 16. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程，操作步骤是： 第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点； 第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在轴上点处时，点C的横坐标即为该方程的一个实数根（如图①） 第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在轴上另一点处时，点的横坐标即为该方程的另一个实数根． （1）结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根； （2）上述操作的关键是确定两个固定的位置．若要以此方法找到一元二次方程的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标． （3）实际上，（2）中的固定点有无数对，一般地，当与之间满足怎样的关系时，点就是符合要求的一对固定点？（提示：若两条直线互相垂直，则其比例系数乘积为-1） 【答案】（1） 如图所示，过点B作轴于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴m是方程的实数根； （2），或， （3），=． 【解析】 【分析】此题是三角形综合题，考查了一元二次方程、相似三角形的判定与性质等知识． （1）过点B作轴于点D，根据，可得，进而得出，即，据此可得m是方程的实数根； （2）方程可化为，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标； （3）先设方程的根为x，根据三角形相似可得，进而得到，再根据，可得，最后比较系数可得与a，b，c之间的关系． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方程可化为 ， 模仿研究小组作法可得：，或， 【小问3详解】 如图，， 设方程的根为x， 根据三角形相似可得， 上式可化为， 又∵，即， ∴比较系数可得，． 17. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； （2）分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； （3）用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【答案】（1）3，6 （2）真分式，，4 （3）当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 （4）当时，分式取到最大值，最大值为 【解析】 【分析】（1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案；． 【小问1详解】 解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为6； 故答案为：3，6； 【小问2详解】 解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； 【小问3详解】 解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时， ， ∴， 答：当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米； 【小问4详解】 解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． 【点睛】本题是材料题，考查学生对所给材料的理解分析能力，涉及分式的加减、二次根式的乘法、不等式的性质、完全平方公式、利用平方根解方程等知识，熟练运用已知材料和所学知识，认真审题，仔细计算，并注意解题过程中需注意的事项是本题的解题关键． 18. （1）【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形的对角线长为，则正方形的周长为______，面积为______（都用含的代数式表示）． （2）【拓展·综合】如图1，若点、是某个正方形的两个对角顶点，则称、互为“正方形关联点”，这个正方形被称为、的“关联正方形”． ①在平面直角坐标系中，点是原点的“正方形关联点”．若，则、的“关联正方形”的周长是______；若点在直线上，则、的“关联正方形”面积的最小值是______． ②如图2，已知点，点在直线上，正方形是、的“关联正方形”，顶点、到直线的距离分别记为和，求的最小值． 【答案】（1）a；；（2）①；；②． 【解析】 【分析】（１）根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质即可求得边与对角线之间的关系，从而求解． （２） ①先根据两点间的距离公式求出OP的长度即为对角线的长度，再利用上题的结论进行正确计算即可． ②分别过点P、Q作l的垂线，构造出两个全等的三角形，把两点到直线的距离转移到同一个直角三角形中，再根据“垂线段最短”得出当AB⊥l时，AB最短，当AB最短时，BP最短，BP2=，再根据同一直角坐标系中互相垂直的两条直线斜率乘积得-1求出直线AB的解析式，再求出直线AB与直线的交点坐标，然后求出两点距离，再除以2即可． 【详解】（1）如图所示，∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BAC=∠BCA=45°， ∴AB=BC=CD=AD==， ∴正方形ABCD的周长为：， 故答案为：； ∵AB=BC=CD=AD==， ∴面积为：， 故答案为：； （2）①∵， ∴OP=， ∴由上题可知，此时的周长为， 故答案为：； 若点在直线上， 由“垂线段最短可知， 当OP垂直于直线时，OP最短， 此时、的“关联正方形”的面积最小， 此时P(，)，OP=， ∴、的“关联正方形”的面积最小值为， 故答案为：； ②如图，过点P作PM⊥l于M，过点Q作QN⊥l于N， ∴∠PMB=∠QNB=90°， ∵∠MPB+∠PBM=90°，∠PBM+∠QBN=90°， ∴∠MPB=∠QBN， ∵PB=QB， ∴△BPM≌△QBN(AAS)， ∴BM=QN， 即PM=a，BM=b， 在Rt△BPM中，BP2=BP2+BM2=， 在Rt△ABP中，AB2=BP2+AP2=2BP2， ∴当AB最小时，BP最小，最小， 设直线AB为， ∵AB⊥l， ∴k=，将点代入，可得， 联立，得：，解得，， 此时两直线交点B为，，AB2=， ∴BP2=， 即=． 【点睛】本题主要考查正方形的性质及一次函数的性质、勾股定理．熟练运用这些知识点构建相对应的数学模型是正确解题的关键． 19. 我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC； ②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 ． 猜想论证： （2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用 （3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 【答案】（1）①；②4； （2）结论：AD=BC． 理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M ∵B′D=DC′，AD=DM， ∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴AC′=B′M=AC， ∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°， ∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′， ∴△BAC≌△AB′M， ∴BC=AM， ∴AD=BC． （3）存在． 理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN． 连接DF交PC于O． ∵∠ADC=150°， ∴∠MDC=30°， 在Rt△DCM中，∵CD=2 ，∠DCM=90°，∠MDC=30°， ∴CM=2，DM=4，∠M=60°， 在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°， ∴EM= BM=7， ∴DE=EM﹣DM=3， ∵AD=6， ∴AE=DE，∵BE⊥AD， ∴PA=PD，PB=PC， 在Rt△CDF中，∵CD=2，CF=6， ∴tan∠CDF=， ∴∠CDF=60°=∠CPF， 易证△FCP≌△CFD， ∴CD=PF，∵CD∥PF， ∴四边形CDPF是矩形， ∴∠CDP=90°， ∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°， ∴△ADP是等边三角形， ∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°， ∴∠BPC=120°， ∴∠APD+∠BPC=180°， ∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”， 在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=， ∴PN= =． 【解析】 【分析】（1）①首先证明△ADB′是含有30°是直角三角形，可得AD=AB′即可解决问题； ②首先证明△BAC≌△B′AC′，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题； （2）结论：AD=BC．如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M，首先证明四边形AC′MB′是平行四边形，再证明△BAC≌△AB′M，即可解决问题； （3）存在．如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN．连接DF交PC于O．想办法证明PA=PD，PB=PC，再证明∠APD+∠BPC=180°，即可； 【详解】解：（1）①如图2中， ∵△ABC是等边三角形， ∴AB=BC=AB=AB′=AC′， ∵DB′=DC′， ∴AD⊥B′C′， ∵∠BAC=60°，∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠B′AC′=120°， ∴∠B′=∠C′=30°， ∴AD=AB′=BC， 故答案为． ②如图3中， ∵∠BAC=90°，∠BAC+∠B′AC′=180°， ∴∠B′AC′=∠BAC=90°， ∵AB=AB′，AC=AC′， ∴△BAC≌△B′AC′， ∴BC=B′C′， ∵B′D=DC′， ∴AD=B′C′=BC=4， 故答案为4． （2） 略 （3） 略 【点睛】本题考查四边形综合题． 20. 【问题情境——建构函数】 （1）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示． 【由数想形——新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图上补全函数图像． 【数形结合——深度探究】 （3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是____________．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归——拓展总结】 （4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是____________；一般地，当，取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）． 【答案】（1）； （2）解：取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称．理由如下： 若为图像上任意一点，则． 设关于原点的对称点为，则． 当时， ． ∴也在的图像上． ∴当取任意实数时，的图像关于原点对称． 函数图像如图所示． （3）①④； （4）． 当取任意实数时，有如下相关性质（写出其中3条即可），如： 当时，图像经过第一、三象限，函数值随的增大而增大，的取值范围为； 当时，图像经过第二、四象限，函数值随的增大而减小，的取值范围为； 函数图像经过原点； 函数图像关于原点对称； 【解析】 【分析】（1）证明，得出，进而利用勾股定理求得，即，整理后即可得出函数关系式； （2）若为图像上任意一点，则．设关于原点的对称点为，则．当时，可求得．则也在的图像上，即可得证，根据中心对称的性质补全函数图象即可求解； （3）根据函数图象，以及中心对称的性质，逐项分析判断即可求解； （4）将（1）中的4换成，即可求解；根据（2）的图象探究此类函数的相关性质，即可求解． 【详解】（1）解：在矩形中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∴， ∴． ∵，点是的中点， ∴． 在中，， ∴． ∴． ∴关于的表达式为：． （2）略 （3）解：根据函数图象可得①函数值随的增大而增大，故①正确， ②由(1)可得函数值，故函数值的范围为，故②错误； ③根据中心对称的性质，不存在一条直线与该函数图像有四个交点，故③错误； ④因为平行四边形是中心对称图形，则在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形，故④正确； 故答案为：①④． （4）略 【点睛】本题考查了相似三角形的性质，中心对称的性质，根据函数图象获取信息，根据题意求得解析式是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省江门市广雅中学2023-2024学年八年级下学期 第一次竞赛数学试题C卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、填空题A（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知：，则的值是____________． 2. 已知，则分式的值为____________． 3. 设．若，则的值是____________． 4. 已知，则的值为________． 5. 给定一个正整数，任意两个整数与分别除以所得的余数相同，我们就说a，b对同余，记作．例如：，记作． ① ②若，则 ③若，则 ④若为整数)，则．以上说法正确的有____________． 二、填空题（二）（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 6. 对于正数x， 规定 例如：则_________ 7. 已知中每个数只能取中的一个，且满足，则____________． 8. 锐角三角形边的中垂线和的角平分线相交于点，若，则____________． 9. 新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是____________． 10. 关于的方程的正整数解的个数_____个． 三、填空题（三）（本大题共5小题，每小题5分，共20分） 11. 设，则____________． 12. 在直角中，，，为的平分线，交的延长线于点，则______． 13. 设，求不超过的最大整数____________． 14. 图（1）是一种便携式手推车，点O是竖直拉杆与挡板的连接点，竖直拉杆中部分可伸缩，当C，D重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆的长70～120cm（含70cm，120cm），挡板长为50cm，可绕点O旋转，折叠后点A，D重合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落，在货物四周用绳子加固，四边形为菱形，则=___________cm；小聪在运输货物时，发现货物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若，=60cm，，则绳子最低点I到挡板的距离=___________cm． 15. 中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若为“整弦数”，则不可能为正整数；④若且均为正整数，则与之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为____________． 四、解答题二（本大题共5小题，第16题8分，第题12分，第19－20题14分，共60分） 16. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程，操作步骤是： 第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点； 第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在轴上点处时，点C的横坐标即为该方程的一个实数根（如图①） 第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在轴上另一点处时，点的横坐标即为该方程的另一个实数根． （1）结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根； （2）上述操作的关键是确定两个固定的位置．若要以此方法找到一元二次方程的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标． （3）实际上，（2）中的固定点有无数对，一般地，当与之间满足怎样的关系时，点就是符合要求的一对固定点？（提示：若两条直线互相垂直，则其比例系数乘积为-1） 17. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； （2）分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； （3）用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 18. （1）【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形的对角线长为，则正方形的周长为______，面积为______（都用含的代数式表示）． （2）【拓展·综合】如图1，若点、是某个正方形的两个对角顶点，则称、互为“正方形关联点”，这个正方形被称为、的“关联正方形”． ①在平面直角坐标系中，点是原点的“正方形关联点”．若，则、的“关联正方形”的周长是______；若点在直线上，则、的“关联正方形”面积的最小值是______． ②如图2，已知点，点在直线上，正方形是、的“关联正方形”，顶点、到直线的距离分别记为和，求的最小值． 19. 我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC； ②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 ． 猜想论证： （2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用 （3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 20. 【问题情境——建构函数】 （1）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示． 【由数想形——新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图上补全函数图像． 【数形结合——深度探究】 （3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是____________．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归——拓展总结】 （4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是____________；一般地，当，取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $