广东省江门市广雅中学2023-2024学年八年级下学期第一次竞赛数学试题C卷

广东省江门市广雅中学2023-2024学年八年级下学期 第一次竞赛数学试题C卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、填空题A（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1. 在数学中，为了书写简便，18世纪数学家欧拉就引进了求和符号“”．如：记；．已知：，则的值是____________． 2. 已知，则分式的值为____________． 3. 设．若，则的值是____________． 4. 已知，则的值为________． 5. 给定一个正整数，任意两个整数与分别除以所得的余数相同，我们就说a，b对同余，记作．例如：，记作． ① ②若，则 ③若，则 ④若为整数)，则．以上说法正确的有____________． 二、填空题（二）（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 6. 对于正数x， 规定 例如：则_________ 7. 已知中每个数只能取中的一个，且满足，则____________． 8. 锐角三角形边的中垂线和的角平分线相交于点，若，则____________． 9. 新定义，若关于x的一元二次方程：与，称为“同族二次方程”．如与是“同族二次方程”．现有关于的一元二次方程：与是“同族二次方程”．那么代数式能取的最小值是____________． 10. 关于的方程的正整数解的个数_____个． 三、填空题（三）（本大题共5小题，每小题5分，共20分） 11. 设，则____________． 12. 在直角中，，，为的平分线，交的延长线于点，则______． 13. 设，求不超过的最大整数____________． 14. 图（1）是一种便携式手推车，点O是竖直拉杆与挡板的连接点，竖直拉杆中部分可伸缩，当C，D重合时，拉杆缩至最短，运输货物时，拉杆伸至最长．拉杆的长70～120cm（含70cm，120cm），挡板长为50cm，可绕点O旋转，折叠后点A，D重合．现有两箱货物如图（2）方式放置，两个箱子的侧面均为正方形，为了避免货物掉落，在货物四周用绳子加固，四边形为菱形，则=___________cm；小聪在运输货物时，发现货物仍有掉落的危险，重新加固如图（3），若，=60cm，，则绳子最低点I到挡板的距离=___________cm． 15. 中国古代称直角三角形为勾股形，如果勾股形的三边长为三个正整数，则称三边长叫“勾股数”；如果勾股形的两直角边长为正整数，那么称斜边长的平方叫“整弦数”对于以下结论：①20是“整弦数”；②两个“整弦数”之和一定是“整弦数”；③若为“整弦数”，则不可能为正整数；④若且均为正整数，则与之积为“整弦数”；⑤若一个正奇数（除1外）的平方等于两个连续正整数的和，则这个正奇数与这两个连续正整数是一组“勾股数”．其中结论正确的个数为____________． 四、解答题二（本大题共5小题，第16题8分，第题12分，第19－20题14分，共60分） 16. 在平面直角坐标系中，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根．比如对于方程，操作步骤是： 第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点； 第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点A，另一条直角边恒过点B； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在轴上点处时，点C的横坐标即为该方程的一个实数根（如图①） 第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在轴上另一点处时，点的横坐标即为该方程的另一个实数根． （1）结合图①，请证明“第三步”操作得到的m就是方程的一个实数根； （2）上述操作的关键是确定两个固定的位置．若要以此方法找到一元二次方程的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标． （3）实际上，（2）中的固定点有无数对，一般地，当与之间满足怎样的关系时，点就是符合要求的一对固定点？（提示：若两条直线互相垂直，则其比例系数乘积为-1） 17. 阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 解：令，，则由，得，当且仅当时，即时，式子有最小值，最小值为4． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似地，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数，可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如：，． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知x＞0，则当　　　时，式子取到最小值，最小值为　　　； （2）分式是　　　（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式　　　；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有　　　个； （3）用篱笆围一个面积为的矩形花园，问这个矩形的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 18. （1）【探究·发现】正方形的对角线长与它的周长及面积之间存在一定的数量关系．已知正方形的对角线长为，则正方形的周长为______，面积为______（都用含的代数式表示）． （2）【拓展·综合】如图1，若点、是某个正方形的两个对角顶点，则称、互为“正方形关联点”，这个正方形被称为、的“关联正方形”． ①在平面直角坐标系中，点是原点的“正方形关联点”．若，则、的“关联正方形”的周长是______；若点在直线上，则、的“关联正方形”面积的最小值是______． ②如图2，已知点，点在直线上，正方形是、的“关联正方形”，顶点、到直线的距离分别记为和，求的最小值． 19. 我们定义：如图1，在△ABC看，把AB点绕点A顺时针旋转α（0°＜α＜180°）得到AB'，把AC绕点A逆时针旋转β得到AC'，连接B'C'．当α+β=180°时，我们称△A'B'C'是△ABC的“旋补三角形”，△AB'C'边B'C'上的中线AD叫做△ABC的“旋补中线”，点A叫做“旋补中心”． 特例感知： （1）在图2，图3中，△AB'C'是△ABC的“旋补三角形”，AD是△ABC的“旋补中线”． ①如图2，当△ABC为等边三角形时，AD与BC的数量关系为AD= BC； ②如图3，当∠BAC=90°，BC=8时，则AD长为 ． 猜想论证： （2）在图1中，当△ABC为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明． 拓展应用 （3）如图4，在四边形ABCD，∠C=90°，∠D=150°，BC=12，CD=2，DA=6．在四边形内部是否存在点P，使△PDC是△PAB的“旋补三角形”？若存在，给予证明，并求△PAB的“旋补中线”长；若不存在，说明理由． 20. 【问题情境——建构函数】 （1）如图，在矩形中，是的中点，，垂足为．设，试用含的代数式表示． 【由数想形——新知初探】 （2）在上述表达式中，与成函数关系，其图像如图所示．若取任意实数，此时的函数图像是否具有对称性？若有，请说明理由，并在图上补全函数图像． 【数形结合——深度探究】 （3）在“取任意实数”的条件下，对上述函数继续探究，得出以下结论：①函数值随的增大而增大；②函数值的取值范围是；③存在一条直线与该函数图像有四个交点；④在图像上存在四点，使得四边形是平行四边形．其中正确的是____________．（写出所有正确结论的序号） 【抽象回归——拓展总结】 （4）若将（1）中的“”改成“”，此时关于的函数表达式是____________；一般地，当，取任意实数时，类比一次函数、反比例函数、二次函数的研究过程，探究此类函数的相关性质（直接写出3条即可）． 广东省江门市广雅中学2023-2024学年八年级下学期 第一次竞赛数学试题C卷 （时间：120分钟，满分：120分） 一、填空题A（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】 【3题答案】 【答案】 【4题答案】 【答案】3 【5题答案】 【答案】②③④ 二、填空题（二）（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】627 【8题答案】 【答案】##度 【9题答案】 【答案】 【10题答案】 【答案】1 三、填空题（三）（本大题共5小题，每小题5分，共20分） 【11题答案】 【答案】##0.2 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】 ①. 40 ②. 【15题答案】 【答案】3 四、解答题二（本大题共5小题，第16题8分，第题12分，第19－20题14分，共60分） 【16题答案】 【答案】（1） 如图所示，过点B作轴于点D， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴m是方程的实数根； （2），或， （3），=． 【17题答案】 【答案】（1）3，6 （2）真分式，，4 （3）当这个矩形的长、宽各为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40米 （4）当时，分式取到最大值，最大值为 【18题答案】 【答案】（1）a；；（2）①；；②． 【19题答案】 【答案】（1）①；②4； （2）结论：AD=BC． 理由：如图1中，延长AD到M，使得AD=DM，连接E′M，C′M ∵B′D=DC′，AD=DM， ∴四边形AC′MB′是平行四边形， ∴AC′=B′M=AC， ∵∠BAC+∠B′AC′=180°，∠B′AC′+∠AB′M=180°， ∴∠BAC=∠MB′A，∵AB=AB′， ∴△BAC≌△AB′M， ∴BC=AM， ∴AD=BC． （3）存在． 理由：如图4中，延长AD交BC的延长线于M，作BE⊥AD于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，交BC于F，连接PA、PD、PC，作△PCD的中线PN． 连接DF交PC于O． ∵∠ADC=150°， ∴∠MDC=30°， 在Rt△DCM中，∵CD=2 ，∠DCM=90°，∠MDC=30°， ∴CM=2，DM=4，∠M=60°， 在Rt△BEM中，∵∠BEM=90°，BM=14，∠MBE=30°， ∴EM= BM=7， ∴DE=EM﹣DM=3， ∵AD=6， ∴AE=DE，∵BE⊥AD， ∴PA=PD，PB=PC， 在Rt△CDF中，∵CD=2，CF=6， ∴tan∠CDF=， ∴∠CDF=60°=∠CPF， 易证△FCP≌△CFD， ∴CD=PF，∵CD∥PF， ∴四边形CDPF是矩形， ∴∠CDP=90°， ∴∠ADP=∠ADC﹣∠CDP=60°， ∴△ADP是等边三角形， ∴∠ADP=60°，∵∠BPF=∠CPF=60°， ∴∠BPC=120°， ∴∠APD+∠BPC=180°， ∴△PDC是△PAB的“旋补三角形”， 在Rt△PDN中，∵∠PDN=90°，PD=AD=6，DN=， ∴PN= =． 【20题答案】 【答案】（1）； （2）解：取任意实数时，对应的函数图像关于原点成中心对称．理由如下： 若为图像上任意一点，则． 设关于原点的对称点为，则． 当时， ． ∴也在的图像上． ∴当取任意实数时，的图像关于原点对称． 函数图像如图所示． （3）①④； （4）． 当取任意实数时，有如下相关性质（写出其中3条即可），如： 当时，图像经过第一、三象限，函数值随的增大而增大，的取值范围为； 当时，图像经过第二、四象限，函数值随的增大而减小，的取值范围为； 函数图像经过原点； 函数图像关于原点对称； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $