精品解析： 云南省玉溪市峨山县2025年初中学业水平考试模拟（三）数学试题

机密★考试结束前 2025年峨山县初中学业水平模拟考试 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正负数在现实生活的应用，熟练掌握正负数的意义是解答本题的关键．在一对具有相反意义的量中，规定其中一个为正，则另一个就用负表示． 【详解】解：∵气温升高时，气温变化记作， ∴气温下降时，气温变化记作． 故选B． 2. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是非负数，当原数绝对值小于1时，是负数，表示时关键是要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故选：C． 3. 环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【详解】解：A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； C．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不合题意； D．既是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意． 故选：D． 4. 一个八边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据多边形内角和公式计算八边形内角和，然后选择正确选项．本题主要考查了多边形内角和公式，熟练掌握多边形内角和公式（为边数且且为整数）是解题的关键． 【详解】解：根据多边形内角和公式（为边数），八边形的边数，则内角和为． 故选：D． 5. 如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、三角板的角度计算等知识点，掌握平行线的性质成为解题的关键． 由平行线的性质可得，再结合三角板的特点即可解答． 【详解】解：如图：∵直尺两边平行， ∴， 由三角板可知：， ∴． 故选B． 6. 砚台．亦称为研．是中国传统手工艺品之一．与笔、墨、纸合称中国传统的文房四宝．是中国书法的必备用具．如图1．这是一方寓意“规矩方圆”的砚台．它的俯视图是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单几何体的三视图，会画简单几何体的俯视图是解题的关键． 根据从上面看得到的图象是俯视图，可得答案． 【详解】解：从上边看，可得如图： 故选：C． 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法、完全平方公式、单项式除法、幂的乘方等知识点，掌握相关计算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法、完全平方公式、单项式除法、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项正确，符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选C． 8. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量取值范围，解题的关键在于分母不为零和根号内非负两个核心条件，由即可求解． 【详解】解：根据题意，， 解得，． 故选：C． 9. 如图，中，，与相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由相似三角形面积比得出相似比，再根据相似三角形性质得到对应边的比例关系，进而求出的值．本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，以及相似三角形的对应边成比例是解题的关键． 【详解】解：∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 故选：A． 10. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先分析前面所给出的单项式，从三方面（符号、系数的绝对值、指数）总结规律，发现规律进行概括即可得到答案． 【详解】解： ，，，，，，…， 可记为： 第项为： 故选A． 【点睛】本题考查了单项式的知识，分别找出单项式的系数和次数的规律是解决此类问题的关键． 11. 如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了考查了同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，由直径所对的圆周角是直角得到，再由三角形内角和定理和同弧所对的圆周角相等即可得到． 【详解】解；∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 12. 云南省某旅游景点在2023年接待游客数量为20万人次，预计2025年接待游客数量将达到28.8万人次，若该景点游客接待量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，涉及增长率问题．根据题意，2023年至2025年间隔两年，年均增长率为x，则2024年游客数为万人次，2025年为万人次，据此建立方程即可． 【详解】解：设该景点游客接待量的年平均增长率为x，则2024年游客数为万人次，2025年为万人次， 因此， 故选：A． 13. 在过去的一年中，中国人见证了很多让人印象深刻的时刻，为调查对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对九年级学生进行了问卷调查：2024年的哪一个高频词汇最触动你的内心？如图是根据调查结果制作的两个不完整的统计图，由图中信息可知，下列结论中不正确的是（ ） A. 本次调查的样本容量是600 B. 选“责任”的占 C. 选“感恩”的人数为150人 D. “奉献”所对应的扇形圆心角的度数为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查条形统计图和扇形统计图的关联、样本容量，根据条形统计图和扇形统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． 【详解】解：A、本次调查的样本容量为：，故该选项正确，不符合题意； B、选“责任”占，故该选项正确，不符合题意； C、选“感恩”的人数为：（人），故该选项正确，不符合题意； D、“奉献”所对应的扇形圆心角的度数，该选项错误，符合题意； 故选：D． 14. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 15. 如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线与分别交于点E，F，连接，已知，，则的长为（　　） A. 5 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 根据矩形的性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理即可得到结论． 【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∵． ∴， 解得， 故选：A． 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 因式分解：a3－a=______． 【答案】a（a－1）（a + 1） 【解析】 【分析】先提取公因式a，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【详解】解：a3-a =a（a2-1） =a（a+1）（a-1） 故答案为：a（a－1）（a + 1）． 【点睛】本题考查了提公因式法和公式法，熟练掌握公式是解题的关键． 17. 关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以是__________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据方程没有实数根，得出，建立关于的一元一次不等式，求出的取值范围即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， 的值只要大于1就可以， 实数的值可能是3， 故答案为：3（答案不唯一）． 18. 在一次体育模拟考试中，某班5个同学的跳绳成绩（单位：次/分）如下：178，168，171，165，170．则这组数据的中位数是_____． 【答案】170 【解析】 【分析】先将数据按从小到大的顺序排列，再找出中间位置的数即为中位数．本题主要考查了中位数，熟练掌握中位数的定义（将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数）是解题的关键． 【详解】解：将数据，，，，从小到大排列为：，，，，． 中间的数是． 故答案为：． 19. “北斗”是中国自行研制的全球卫星导航系统，如图1是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为的弧，若该扇形可围成高为12的圆锥（如图2），则该圆锥的母线长为_________． 【答案】13 【解析】 【分析】本题主要考查弧长的计算，勾股定理的运用，掌握弧长的计算方法，勾股定理求线段长的方法是解题的关键．设，根据弧长公式可得圆锥底面圆的半径，再根据勾股定理即可求解． 【详解】解：由题知，设，则， 解得， 即． 在中，由勾股定理得母线长为： ， 故答案为：13． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了实数运算，涉及有理数乘方、三角函数、负整数指数幂、零指数幂、算术平方根等知识．解题的关键在于熟练掌握各运算规则．根据相关运算法则和运算顺序逐步化简，再合并计算结果即可． 【详解】解：原式 ． 21. 如图，点是线段的中点，，．求证：． 【答案】 证明：∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键．根据，，即可证明． 【详解】略 22. 顺丰速运为应对“618”全球购物节，启用搭载神经网络算法的星链分拣机器人．单个机器人每小时分拣量比人工分拣员多150个包裹，完成7500个包裹分拣耗时与人工处理5000个包裹时长相等．为确保人机协同的最优资源配置，传统分拣员每小时应分拣多少个包裹？ 【答案】传统分拣员每小时应分拣300个包裹 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，涉及工作总量、工作效率与工作时间的关系．解题的关键是根据“机器人完成个包裹分拣耗时与人工处理个包裹时长相等”这一等量关系，设出未知数并列出分式方程，求解后检验方程的解是否符合实际意义．​ 先设传统分拣员每小时分拣​x个包裹，由此得出机器人每小时分拣​个包裹；再根据“工作时间工作总量工作效率”，分别表示出机器人分拣个包裹和人工分拣个包裹的时间；最后根据两者时间相等列出分式方程，求解并检验解的合理性，得到传统分拣员每小时的分拣量． 【详解】解：设人工分拣员每小时分拣量为 x个包裹，则机器人每小时分拣量为个，根据题意得： 解得： 经检验是原方程的解，且符合题意． 答：传统分拣员每小时应分拣个包裹． 23. 2024年3月14日，“行走嶍峨・多彩非遗”—— 玉溪市非物质文化遗产保护传承体验示范基地传习展示暨非遗公开课（国家级非遗名录《关索戏》）活动在峨山县嶍峨古镇萃秀书院举行． 关索戏传承人使用四件百年梨木面具饰演《三英战吕布》角色：关羽面具（G），张飞面具（Z），刘备面具（L），吕布面具（B）．他们的表演生动地再现了刘备、关羽、张飞三人与吕布激烈交锋的场景，精湛的武打动作和独特的表演风格，赢得了现场观众的阵阵掌声和喝彩． （1）若从道具箱中任意抽取1个面具，恰好抽到“关羽面具（G）”的概率为______； （2）观众甲、乙两人同时从这四种面具中随机各抽取一个．若抽到“张飞面具（Z）”和“吕布面具（B）”，则可呈现张飞和吕布的经典对战桥段．请用列表法或树状图法求甲、乙两人恰好抽到“张飞面具（Z）”和“吕布面具（B）”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据概率公式，用关羽面具的数量除以面具总数量即可解答； （2）通过列表法列出甲、乙两人抽取面具的所有可能结果，再找出符合条件的结果数，最后根据概率公式计算． 本题主要考查了概率的计算，熟练掌握概率公式以及用列表法求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：一共有个面具，关羽面具（）有个， ∴恰好抽到“关羽面具（）”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：列表如下： 甲 \ 乙 - - - - 共有种等可能的结果，其中甲、乙两人恰好抽到“张飞面具（）”和“吕布面具（）”的结果有种，即和， ∴甲、乙两人恰好抽到“张飞面具（）”和“吕布面具（）”的概率为． 24. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点C作，且，在上取一点E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接相交于点O，若，的周长为24，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：∵， ∴四边形是平行四边形 ∵，点D是的中点 ∴， ∴四边形是菱形； （2）96 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质，斜边上的中线，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）先证明四边形是平行四边形，斜边上的中线得到，即可得证； （2）斜边上的中线求出，周长公式求出，勾股定理得到，利用完全平方公式边形求出的值，即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解： ∵， ∴， ∵的周长为24， ∴， ∵四边形是菱形 ∴，即， ∴ ∴； ∴． 25. 随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． （1）每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ （2）现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． 【答案】（1）每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元 （2）购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、不等式约束以及一次函数的性质．解题的关键是通过建立方程组求解手办单价，再根据不等式约束确定购买方案，最后利用一次函数的单调性找到总费用最小值． （1）首先设每个哪吒主题手办售价为​x元，每个敖丙主题手办售价为​y元，根据题干中“买 2 个哪吒和 3 个敖丙需 160 元”“买 3 个哪吒和 2 个敖丙需 140 元”这两个等量关系，可列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个，结合（1）中求得的单价，建立总费用函数关系式；再根据 “两种手办都得有”“哪吒数量不超过敖丙数量一半” 的要求，列出不等式组​确定m的正整数取值为 1 或 2；最后根据函数的性质确定最优解． 【小问1详解】 解：设每个哪吒主题手办的售价为x元，每个敖丙主题手办的售价为y元． 根据题意得：， 解得：， 答：每个哪吒主题手办的售价为20元，每个敖丙主题手办的售价为40元； 【小问2详解】 设购买哪吒主题手办m个，则购买敖丙主题手办个 根据题意得： ∵， ∴ 为正整数 或2 在中， ，W随m的增大而减小， ∴当时，W最小，此时，（元） 答：购买哪吒主题手办2个，则购买敖丙主题手办6个时总费用W最少，W的最小值为280元． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，． （1）求抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有个整点，求的取值范围． 【答案】（1）对称轴，顶点坐标为； （2）． 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，二次函数与坐标轴的交点问题． （1）把系数代入对称轴方程，计算即可得对称轴，顶点横坐标为，代入解析式计算可得纵坐标，即可得出顶点坐标； （2）根据题意可得，当时，，当时，，解不等式即可得的取值范围． 【小问1详解】 解： ∴对称轴为直线， 当时， ∴顶点坐标为 【小问2详解】 解：∵抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有个整点 ∴点在和之间 当时，，即，得， 当时，，即，得， ∴a的取值范围是． 27. 【问题背景】 已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当时， ； 【问题探究】 （2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F． ①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立： ②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值． 【答案】（1）； （2）①如图： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴； ②补全图形如图： ， 【解析】 【分析】（1）可证是等边三角形，则，由直线l是的切线，得到，故； （2）①根据矩形的性质与切线的性质证明，则，而，由，得到； ②过点O作于点G，于点H，在中，先证明点E在线段上，，由等腰三角形的性质得，根据互余关系可得，可求，解，求得，可证明，故在中，． 【详解】解：（1）由题意得， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵直线l是的切线， ∴， ∴， 故答案为：； （2）①略 ②补全图形如图： 过点O作于点G，于点H， 在中，， ∴由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴点E在线段上， ∴在，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴设， ∴由勾股定理得， ∴， ∴在中， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴在中，． 【点睛】本题考查了圆的切线的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的性质，解直角三角形，勾股定理，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解决本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 机密★考试结束前 2025年峨山县初中学业水平模拟考试 数学试题卷 （全卷三个大题，共27个小题，共8页；满分100分，考试用时120分钟） 注意事项： 1．本卷为试题卷．答题前请在答题卡指定位置填写学校、班级、姓名等信息．答案书写在答题卡相应位置上，答在试题卷或草稿纸上的答案无效． 2．考试结束后，请将试题卷和答题卡一并交回． 一、选择题（本大题共15小题，每小题2分，共30分） 1. 我国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，若气温升高时，气温变化记作，那么气温下降时，气温变化记作（ ） A. B. C. D. 2. 是中国深度求索公司研发的高性能语言模型，专注于自然语言处理、代码生成和数学推理．截至2025年2月22日，人工智能助手的累计下载量已达到1.1亿次，注册用户达73300000个．用科学记数法表示73300000正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 环保全称环境保护，是指人类为解决现实的或潜在的环境问题，协调人类与环境的关系，保障经济、社会的持续发展而采取的各种行动的总称．下列环保标志中，既是轴对称图形，也是中心对称图形的是（　　） A. B. C. D. 4. 一个八边形的内角和等于（ ） A. B. C. D. 5. 如图，把一个含角的直角三角尺的一个顶点放在直尺的一边上，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 砚台．亦称为研．是中国传统手工艺品之一．与笔、墨、纸合称中国传统的文房四宝．是中国书法的必备用具．如图1．这是一方寓意“规矩方圆”的砚台．它的俯视图是 （ ） A. B. C. D. 7. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 在函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，中，，与相交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 10. 按一定规律排列的单项式：，，，，，，…，第个单项式是（ ） A. B. C. D. 11. 如图，是的直径，点C，D在上，连接，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 12. 云南省某旅游景点在2023年接待游客数量为20万人次，预计2025年接待游客数量将达到28.8万人次，若该景点游客接待量的年平均增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 13. 在过去的一年中，中国人见证了很多让人印象深刻的时刻，为调查对青少年人生观、价值观产生的影响，某学校团委对九年级学生进行了问卷调查：2024年的哪一个高频词汇最触动你的内心？如图是根据调查结果制作的两个不完整的统计图，由图中信息可知，下列结论中不正确的是（ ） A. 本次调查的样本容量是600 B. 选“责任”的占 C. 选“感恩”的人数为150人 D. “奉献”所对应的扇形圆心角的度数为 14. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 15. 如图，在矩形中，分别以点B，D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N，作直线与分别交于点E，F，连接，已知，，则的长为（　　） A. 5 B. 3 C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题2分，共8分） 16. 因式分解：a3－a=______． 17. 关于的一元二次方程没有实数根，则实数的值可以是__________． 18. 在一次体育模拟考试中，某班5个同学的跳绳成绩（单位：次/分）如下：178，168，171，165，170．则这组数据的中位数是_____． 19. “北斗”是中国自行研制的全球卫星导航系统，如图1是“北斗”的标识，表示太空的部分可以抽象出一条长为的弧，若该扇形可围成高为12的圆锥（如图2），则该圆锥的母线长为_________． 三、解答题（本大题共8小题，共62分） 20. 计算： 21. 如图，点是线段的中点，，．求证：． 22. 顺丰速运为应对“618”全球购物节，启用搭载神经网络算法的星链分拣机器人．单个机器人每小时分拣量比人工分拣员多150个包裹，完成7500个包裹分拣耗时与人工处理5000个包裹时长相等．为确保人机协同的最优资源配置，传统分拣员每小时应分拣多少个包裹？ 23. 2024年3月14日，“行走嶍峨・多彩非遗”—— 玉溪市非物质文化遗产保护传承体验示范基地传习展示暨非遗公开课（国家级非遗名录《关索戏》）活动在峨山县嶍峨古镇萃秀书院举行． 关索戏传承人使用四件百年梨木面具饰演《三英战吕布》角色：关羽面具（G），张飞面具（Z），刘备面具（L），吕布面具（B）．他们的表演生动地再现了刘备、关羽、张飞三人与吕布激烈交锋的场景，精湛的武打动作和独特的表演风格，赢得了现场观众的阵阵掌声和喝彩． （1）若从道具箱中任意抽取1个面具，恰好抽到“关羽面具（G）”的概率为______； （2）观众甲、乙两人同时从这四种面具中随机各抽取一个．若抽到“张飞面具（Z）”和“吕布面具（B）”，则可呈现张飞和吕布的经典对战桥段．请用列表法或树状图法求甲、乙两人恰好抽到“张飞面具（Z）”和“吕布面具（B）”的概率． 24. 如图，在中，，点D是的中点，连接，过点C作，且，在上取一点E，使，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）连接相交于点O，若，的周长为24，求四边形的面积． 25. 随着电影《哪吒 2》的超火上映，周边店推出了超酷的“哪吒”和“敖丙”两款主题手办． 某粉丝团为了让活动更有趣，打算买这两款手办当奖品． 已知买2个哪吒主题手办和3个敖丙主题手办，需花费160元；买3个哪吒主题手办和2个敖丙主题手办，需花费140元． （1）每个哪吒主题手办和每个敖丙主题手办的售价分别是多少元？ （2）现在粉丝团计划一共买8个这两款手办，要求两种手办都得有，而且买哪吒主题手办的数量不能超过买敖丙主题手办数量的一半．怎样购买，才能使总费用W最少？并求出W的最小值． 26. 在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，． （1）求抛物线的对称轴和顶点坐标； （2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点，之间的部分与线段所围成的区域内（包括边界）恰有个整点，求的取值范围． 27. 【问题背景】 已知点A是半径为r的上的定点，连接，将线段绕点O按逆时针方向旋转得到，连接，过点A作的切线l，在直线l上取点C，使得为锐角． 【初步感知】 （1）如图1，当时， ； 【问题探究】 （2）以线段为对角线作矩形，使得边过点E，连接，对角线，相交于点F． ①如图2，当时，求证：无论在给定的范围内如何变化，总成立： ②如图3，当，时，请补全图形，并求及的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $