第二章 一元二次方程 单元测试-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

2025-2026学年北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程 单元测试 考试时间：60分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7 【答案】A 【解析】【解答】解：方程中的， 是方程的两个根， ，， 故答案为：A． 【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1，x2是，则，，据此求解。 2．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 【答案】C 【解析】【解答】∵一元二次方程， ∴△=（-3）2-4×1×3=-3<0， ∴一元二次方程没有实数根， 故答案为：C. 【分析】利用一元二次方程根的判别式列出算式求解分析即可. 3．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：x(x+1)=3x+2 去括号，得：x2+x=3x+2 移项，得：x2+x-3x-2=0 合并同类项，得：x2-2x-2=0 故答案为D 【分析】本题考查把一元二次方程整理成一般式的过程，明确其一般式的形式是关键。先去括号，再移项，合并同类项等步骤可得答案。 4．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A．1 B．－1 C．4 D．－4 【答案】A 【解析】【解答】根据题意得△＝（-2）2−4•a＝0， 解得：a＝1． 故答案：A． 【分析】根据二次方程有两个相等的实数根，则判别式，解方程即可求出答案. 5．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1450元降到了928元．设平均每次降价的百分率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：设平均每次降价的百分率为， 由题意得出方程为：． 故答案为：D. 【分析】基本关系：初量×（1-降低率）2=末量，据此列出一元二次方程。 6．某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2022年植树造林2000亩，计划2024年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为，则的值为（　　） A．20% B．11% C．10% D．120% 【答案】A 【解析】【解答】解：设植树造林面积的年平均增长率为，则2023年计划植树造林面积为，2024年计划植树造林面积为， 根据题意可列出方程为：， 解方程得（舍去）． 故答案为：A. 【分析】基本关系：初量×（1+增长率）2=末量，据此列出方程即可． 7．某热播电影上映以来，全国票房创佳绩．据不完全统计，第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达3亿元、设票房收入平均每天的增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：设增长率为x， 依题意，得． 故答案为：B． 【分析】设增长率为x，根据题意建立方程即可求出答案. 8．近年来，国内汽车市场经历了翻天覆地的变化，随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，燃油汽车销量持续下滑．某款燃油汽车从售价25万元，经过两次降价后售价为16万元．设该款汽车每次降价的平均下降率是，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】 设该款汽车每次降价的平均下降率是， 根据题意可得：， 故答案为：A. 【分析】 设该款汽车每次降价的平均下降率是，根据“ 某款燃油汽车从售价25万元，经过两次降价后售价为16万元 ”列出方程即可. 二、填空题（共8小题，共24分） 9．一元二次方程的两根分别为和，则为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：因为是一元二次方程的两根， 由二次函数的韦达定理，可得， 所以． 故答案为：． 【分析】根据根与系数的关系，得到，代入即可求解． 10．关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是1，则另一个根是 　 　． 【答案】-2 【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程的一个根是1，设另一个根为， ∴， 解得． 故答案为：． 【分析】一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根为x1和x2，则，，据此求解． 11．若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是　 　. 【答案】－1 【解析】【解答】解：∵关于x的方程x2-2x-m=0有两个相等的实数根，∴△=0， ∴（－2）2－4×1×（－m）=0，解得m=－1. 故答案为：-1. 【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求出m的值即可. 12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　 　． 【答案】且 【解析】【解答】解：根据一元二次方程的定义，可得， 解得， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴的取值范围是且． 故答案为：且． 【分析】先根据一元二次方程的定义得到k≠1，进而根据一元二次方程根的判别式结合题意即可求解。 13．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=　 　 【答案】-1 【解析】【解答】解：∵方程（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程， ∴|m|=1，m﹣1≠0， 解得：m=﹣1． 故答案为：﹣1． 【分析】直接利用一元二次方程的定义得出|m|=1，m﹣1≠0，进而得出答案． 14．用配方法解方程时，方程的两边同时加上　 　，使得方程左边配成一个完全平方式． 【答案】9 【解析】【解答】解：x2﹣6x+32=2+32， （x﹣3）2=11． 故答案为：9 【分析】根据方程两边同时加上一次项系数一半的平方即可求出答案. 15．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，设参加酒会的人数为x人，则可列出方程　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：根据题意可得， 故答案为：． 【分析】每一人可和人碰杯，由于两人相互碰杯算一次，最后乘以去掉重复次数即可． 16．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解： 解得：或， 当等腰三角形的三边为2，2，4时，不符合三角形三边关系，此时不能组成三角形； 当等腰三角形的三边为2，4，4时，符合三角形三边关系，此时能组成三角形，周长为， 所以三角形的周长为10， 故答案为： 【分析】先根据题意解一元二次方程得到或，再根据三角形三边关系结合题意即可求解。 三、解答题（共7小题，共44分） 17．解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）解：由方程，可得 ，即， 解得. （2）解：由方程 ，可得 ， 解得. 【解析】【分析】（1）根据题意，利用配方法即可求解； （2）利用因式分解提取公因式即可求解 （1）解：， ， ∴ （2）解： ， ， ∴ 18．已知关于的方程 （1）若这个方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若这个方程有一个根是，求的值及另外一个根． 【答案】（1）解：关于的方程有两个相等的实数根， ， 解得， 即或 （2）解：设方程另一根为， 由题意得，，解得， ， ． 即的值为，另一个根为 【解析】【分析】（1）根据一元二次方程有两个相等的实数根，则，即可求解； （2）设方程另一根为，根据一元二次方程根与系数的关系，即可求解． 19．某市举办中学生篮球联赛，参赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛36场，求共有多少个队参加这次篮球联赛？ 【答案】解：设共有个队参加这次篮球联赛，依题意列方程： 解得：，（不符合题意，舍去） ∴ 答：共有9个队参加这次篮球联赛 【解析】【分析】根据有x个队伍参赛，每个队伍需要进行x-1场，但每两个队伍之间只进行一场，不能重复列方程解题即可。 20．某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病． （1）每位发病者平均每天传染多少人？ （2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人吗？ 【答案】（1）解：设每位发病者平均每天传染人，则第一天传染中有人被传染，第二天传染中有人被传染， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，不符合题意，舍去． 答：每位发病者平均每天传染人； （2）解：人， ， 按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人． 【解析】【分析】（1）设平均每天传染x人，则第一天为2x，第二天为2x+2，在由题意列方程解方程即可。 （2）根据(1)求得的数字求解即可判断。 21．如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为：在温室内，沿前侧内墙保留宽的空地，其它三侧内墙各保留宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？ 【答案】解：设矩形温室的宽为，则长为， 根据题意，得， 解得：不合题意，舍去，， 所以，． 答：当矩形温室的长为，宽为时，蔬菜种植区域的面积是． 【解析】【分析】设矩形温室的宽为，则长为，根据矩形的面积公式，列出一元二次方程，即可求解． 22．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为90cm，求鸡场的长 和宽 ； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 【答案】（1）解：设 ， 则 依题意，得：， 解得： 当x=6时，33-3x=15，符合题意， 当x=5时，，不合题意，舍去． 答：鸡场的长(AB)为15m，宽(BC)为6m． （2）解：不能，理由如下： 设BC=ym，则， 依题意，得：， 整理，得：． ∴该方程无实数根，即该扶贫单位不能建成一个100m2的矩形养鸡场 【解析】【分析】（1）设 ， 则 ，根据图片即可列出一元二次方程，进而即可求出x的值； （2）设BC=ym，则，根据题意即可列出一元二次方程，进而根据根的判别式即可求解。 23．党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．”畅通城乡经济循环被摆在突出位置，成为当前和今后阶段全面推进乡村振兴的重要目标，福建某县市通过网络直播带货助力乡村振兴，打响绿色经济发展攻坚战役，某直播间销售某种“特色农产品”，每箱获利40元，每天可卖出30箱，通过市场调查发现：每箱“特色农产品”的售价每降低1元，每天的销售量就增加3箱． （1）若每箱“特色农产品”的售价降低3元，求每天的销售量． （2）为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利1800元，则每箱“特色农产品”的售价需降低多少元？ 【答案】（1）解：30+3×3＝39（箱）． 答：每天的销售为39箱； （2）解：设每箱“特色农产品”的售价降低了x元，则每箱“特色农产品”的销售利润为（40-x）元，每天可售出（30+3x）箱， 根据题意得：（40-x）（30+3x）＝1800， 整理得：x2-30x+200＝0， 解得：x1＝10，x2＝20， 又∵为尽快减少库存， ∴x＝20． 答：每箱“特色农产品”的售价需降低20元． 【解析】【分析】（1）利用每天的销售量=30+3每箱“特色农产品”的售价降低的钱数，即可得出结论； （2）设每箱“特色农产品”的售价降低了x元，则每箱“特色农产品”的销售利润为（40-x）元，每天可售出（30+3x）箱，利用总利润=每袋的销售利润日销量，即可列出关于x的一元二次方程就，解出x的值，再结合题意要求“为尽快减少库存，”进而得出结论. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程 单元测试 考试时间：60分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7 2．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 3．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A．1 B．－1 C．4 D．－4 5．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1450元降到了928元．设平均每次降价的百分率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2022年植树造林2000亩，计划2024年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为，则的值为（　　） A．20% B．11% C．10% D．120% 7．某热播电影上映以来，全国票房创佳绩．据不完全统计，第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达3亿元、设票房收入平均每天的增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．近年来，国内汽车市场经历了翻天覆地的变化，随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，燃油汽车销量持续下滑．某款燃油汽车从售价25万元，经过两次降价后售价为16万元．设该款汽车每次降价的平均下降率是，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共8小题，共24分） 9．一元二次方程的两根分别为和，则为　 　． 10．关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是1，则另一个根是 　 　． 11．若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是　 　. 12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　 　． 13．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=　 　 14．用配方法解方程时，方程的两边同时加上　 　，使得方程左边配成一个完全平方式． 15．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，设参加酒会的人数为x人，则可列出方程　 　． 16．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为　 　． 三、解答题（共7小题，共44分） 17．解下列方程： （1） （2） 18．已知关于的方程 （1）若这个方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若这个方程有一个根是，求的值及另外一个根． 19．某市举办中学生篮球联赛，参赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛36场，求共有多少个队参加这次篮球联赛？ 20．某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病． （1）每位发病者平均每天传染多少人？ （2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人吗？ 21．如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为：在温室内，沿前侧内墙保留宽的空地，其它三侧内墙各保留宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？ 22．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为90cm，求鸡场的长 和宽 ； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 23．党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．”畅通城乡经济循环被摆在突出位置，成为当前和今后阶段全面推进乡村振兴的重要目标，福建某县市通过网络直播带货助力乡村振兴，打响绿色经济发展攻坚战役，某直播间销售某种“特色农产品”，每箱获利40元，每天可卖出30箱，通过市场调查发现：每箱“特色农产品”的售价每降低1元，每天的销售量就增加3箱． （1）若每箱“特色农产品”的售价降低3元，求每天的销售量． （2）为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利1800元，则每箱“特色农产品”的售价需降低多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025-2026学年北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程 单元测试 考试时间：60分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．若x1，x2是方程x2﹣6x﹣7＝0的两个根，则（　　） A．x1+x2＝6 B．x1+x2＝﹣6 C．x1x2＝ D．x1x2＝7 2．一元二次方程的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．不能判定 3．把一元二次方程化为一般形式，正确的是（　　） A． B． C． D． 4．已知关于x的一元二次方程x2－2x＋a＝0有两个相等的实数根，则a的值是（　　） A．1 B．－1 C．4 D．－4 5．某型号的手机连续两次降价，每个售价由原来的1450元降到了928元．设平均每次降价的百分率为，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 6．某地区为贯彻“绿水青山就是金山银山”理念，在2022年植树造林2000亩，计划2024年植树造林2880亩．若设植树造林面积的年平均增长率为，则的值为（　　） A．20% B．11% C．10% D．120% 7．某热播电影上映以来，全国票房创佳绩．据不完全统计，第一天票房收入约亿元，第三天票房收入达3亿元、设票房收入平均每天的增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 8．近年来，国内汽车市场经历了翻天覆地的变化，随着新能源的发展普及，越来越多的人购买新能源汽车，燃油汽车销量持续下滑．某款燃油汽车从售价25万元，经过两次降价后售价为16万元．设该款汽车每次降价的平均下降率是，则所列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 二、填空题（共8小题，共24分） 9．一元二次方程的两根分别为和，则为　 　． 10．关于x的一元二次方程x2+x﹣a＝0的一个根是1，则另一个根是 　 　． 11．若关于 的方程 有两个相等的实数根，则 的值是　 　. 12．若关于的一元二次方程有实数根，则的取值范围是　 　． 13．已知（m﹣1）x|m|+1﹣3x+1=0是关于x的一元二次方程，则m=　 　 14．用配方法解方程时，方程的两边同时加上　 　，使得方程左边配成一个完全平方式． 15．在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯66次，设参加酒会的人数为x人，则可列出方程　 　． 16．已知等腰三角形的两边长分别是一元二次方程的两根，则该等腰三角形的周长为　 　． 三、解答题（共7小题，共44分） 17．解下列方程： （1） （2） 18．已知关于的方程 （1）若这个方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若这个方程有一个根是，求的值及另外一个根． 19．某市举办中学生篮球联赛，参赛的每两队之间都进行一场比赛，共要比赛36场，求共有多少个队参加这次篮球联赛？ 20．某流感病毒的转染性很强，某一社区开始有人感染发病，未加控制，结果两天后发现共有人感染发病． （1）每位发病者平均每天传染多少人？ （2）按照这样的传染速度，再过一天发病人数会超过人吗？ 21．如图，某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为：在温室内，沿前侧内墙保留宽的空地，其它三侧内墙各保留宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是？ 22．某扶贫单位为了提高贫困户的经济收入，购买了33m的铁栅栏，准备用这些铁栅栏为贫困户靠墙（墙长15m围建一个中间带有铁栅栏的矩形养鸡场（如图所示）． （1）若要建的矩形养鸡场面积为90cm，求鸡场的长 和宽 ； （2）该扶贫单位想要建一个100m2的矩形养鸡场，这一想法能实现吗？请说明理由． 23．党的二十大报告指出：“全面推进乡村振兴，坚持农业农村优先发展，坚持城乡融合发展，畅通城乡要素流动．”畅通城乡经济循环被摆在突出位置，成为当前和今后阶段全面推进乡村振兴的重要目标，福建某县市通过网络直播带货助力乡村振兴，打响绿色经济发展攻坚战役，某直播间销售某种“特色农产品”，每箱获利40元，每天可卖出30箱，通过市场调查发现：每箱“特色农产品”的售价每降低1元，每天的销售量就增加3箱． （1）若每箱“特色农产品”的售价降低3元，求每天的销售量． （2）为尽快减少库存，决定降价销售，若要使得每天获利1800元，则每箱“特色农产品”的售价需降低多少元？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$