新疆维吾尔自治区哈密市第二中学2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

2024-2025学年下学期 高二（26届）数学学科10月月考试卷 出卷要求：26届数学组月考范围： 1.选择题考查直线，圆，和椭圆。 2.填空题考查双曲线（只考察标准方程） 3.解答题考查两道立体几何，一道直线，一道圆，一道椭圆。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1．已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【解析】易知的斜率为， 的斜率为，所以；解得.故选：C 2．已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知可得椭圆的半焦距，再结合椭圆的长轴可得短轴长度. 【详解】由已知，， 又，即， 所以，解得， 故的短轴长为， 故选：D. 3．圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】代入弦长公式，即可求解. 【详解】圆心到直线的距离， 所以弦长. 故选：C 4．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于(　　) A. B．± C．± D. 解析　由题意可得，c＝1，a＝2，b＝，不妨取A点坐标为，则直线的斜率k＝±。故选B。 答案　B 5．已知实数满足方程，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【解析】的方程可化为， 它表示圆心，半径为1的圆， 表示圆上的点与点的连线的斜率， 设过圆上点与点的直线方程为， 则圆心到直线的距离， 可得，即最大值为，故选：B. 6．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为(　　) A. B．－ C．2 D．－2 解析：∵l2、l1关于y＝－x对称，∴l2的方程为－x＝－2y＋3，即y＝x＋，∴l2的斜率为，故选A. 答案：A 7．若直线与圆相交于A、B两点，且(其中O是原点)，则k的值为（    ） A． B． C．- D． 【答案】A 【分析】 由得是等边三角形，从而得到直线的距离，然后由点到直线距离公式求解． 【详解】，则是等边三角形，圆半径为1，因此到直线的距离为， 所以，解得， 故选：A． 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【解析】由，得，则，则， 则，即，解得， 则， 因为，所以， 即，整理得， 则，解得或， 故或．故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法中，正确的有（　　） A. 直线在y轴上的截距为 B. 直线 的倾斜角为 C. 过点且在轴截距相反的直线方程为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】运用截距概念判断A，运用斜率求倾斜角判断B，分情况求出直线方程即可判断C，求出直线方程判断D． 【详解】对于A，令，求得，则直线在y轴上截距为2，故A错误； 对于B，直线 的斜率为，求得倾斜角为，故B正确； 对于C，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为； 当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得， 此时直线方程为.故C错误； 对于D，倾斜角为的直线斜率不存在，则过点并且倾斜角为90°的直线方程为. 故D正确. 故选：BD. 10．已知直线：，圆：，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．圆被轴截得的弦长为 D．当圆被直线截得的弦最短时， 【答案】BD 【分析】根据给定条件求出直线l经过的定点及圆的圆心、半径，再逐一分析、计算各选项判断作答. 【详解】依题意，直线：可化为， 由解得，，即直线过定点，A不正确； 圆：的圆心，半径，， 即点P在圆内，直线与圆恒相交，B正确； 圆心到x轴的距离，则圆被轴截得的弦长为，C不正确； 由于直线过定点，圆心，则直线PC的斜率， 当圆被直线截得的弦最短时，由圆的性质知，，于是得，解得，D正确. 故选：BD 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两点A，B关于原点对称，点P（异于A，B两点）为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．的周长为12 B．椭圆的离心率为 C．的最大值为 D．若直线PA，PB的斜率都存在，则 【答案】BCD 【分析】根据椭圆定义判断A，直接计算离心率判断B，根据椭圆的几何性质判断C，利用作差法求判断D. 【详解】由椭圆方程可知，， 所以， 由椭圆定义知，的周长等于，故A错误； 椭圆的离心率，故B正确； 由椭圆的几何性质可知，的最大值为，故C正确； 设，，则，所以， 由点在椭圆上可得，两式相减可得， 化简可得，即，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知双曲线，双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则到另一个焦点的距离为 ． 【答案】33 【分析】根据题意结合双曲线的定义运算求解，并结合三角形的性质检验. 【详解】由双曲线方程可知， 设双曲线的左、右焦点分别为，则， 根据对称性不妨设， 由双曲线定义可得，解得或， 若，可知，符合题意； 若，可知，不符合题意； 综上所述：到另一个焦点的距离为33. 故答案为：33. 13．已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 【答案】 【解析】由题意知，，则， 因为圆与圆有公共点，所以，即，解得， 所以实数a取值范围是. 故答案为：. 14．已知点P在圆x2＋y2－6y＋8＝0上，点Q在椭圆＋y2＝1(a>1)上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为________． 12．　[x2＋y2－6y＋8＝0化简为x2＋(y－3)2＝1，圆心A(0，3)．的最大值为5等价于的最大值为4，设Q(x，y)，即x2＋(y－3)2≤16，又＋y2＝1(a>1)， 化简得到(1－a2)y2－6y＋a2－7≤0(－1≤y≤1)． 当y＝－1时，验证等号成立； 对称轴为y＝，满足y＝≤－1，即a≤2，故1<a≤2. ∴e2＝＝＝1－，∴e≤. 故离心率的最大值为.] 四、解答题：本小题共6小题，共77分， 15. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： （1）直线与直线平行； （2）直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4； 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设直线l的方程为，代入点的坐标可求直线方程； （2）设直线l的方程为，结合条件可求直线方程； （3）直线截距不为0，与截距为0两种情况求解可得直线方程. 【小问1详解】 设直线l的方程为为常数，代入点得， 所以直线l方程为，即； 【小问2详解】 设直线l的方程为，则①，②， 由①②解得，,故直线l的方程为，即； 16. 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，分别为线段的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值． 【答案】（1）详见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理可得平面，根据余弦定理及线面垂直的判定定理即得； （2）由题可得为直线与平面所成角，进而可得，然后利用坐标法，根据面面角的向量求法即得. 【小问1详解】 因为，为线段的中点， 所以，又平面平面，平面平面，平面， 所以平面，又平面， 所以， 所以， 所以， 所以，即， 由分别为线段的中点，可得， 所以，又，平面，平面， 所以平面； 【小问2详解】 连接，因为平面， 所以为直线与平面所成角，即， 因为底面是平行四边形，，分别为线段的中点， 所以，又， 所以， 如图以为原点建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，可得， 由题可知平面的一个法向量为， 所以， 即二面角的余弦值为. 17．已知圆，直线过点． (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若直线与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时直线的方程. 【答案】(1)圆心为，半径为2； (2)或； (3)，或 【分析】（1）由圆的一般方程化成标准方程即可求解； （2）先考虑直线斜率不存在时是否满足要求，再考虑直线斜率存在时，利用圆心到直线距离求出直线的方程； （3）方法一：设出直线方程，利用垂径定理得到的面积函数，由均值不等式的结论可得面积的最大值及此时直线的方程； 方法二：利用三角形面积公式表达出，得到当时，取最大值2，此时点到的距离为，利用点到直线距离求出直线斜率，得到此时直线的方程. 【详解】（1）由 可得： 所以圆心的圆心坐标为，半径为2； （2）①若直线的斜率不存在，则直线：，符合题意； ②若直线斜率存在，设直线的方程为，即， 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径2， 即，解得， 所求直线的方程是或； （3）    方法一：直线与圆相交，斜率必定存在，且不为0，设直线方程为， 则圆心到直的距离， 又∵三角形CPQ面积 ， 当且仅当，即时取等号，三角形CPQ的面积的最大值为2， 由，有，或， 此时直线方程为，或． 方法二：， 当时，取最大值2， 此时点到的距离为， 设：， 由，解得或， 故所求直线的方程为或. 18. 如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为1. （1）若点是的中点，证明：平面平面； （2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2）存在，点为棱上靠近端点的三等分点 【解析】 【分析】(1) 利用等腰三角形证明且，得出平面，即可得平面平面. (2)建立空间直角坐标系，设，由直线与平面所成的角的正弦值为，借助于平面法向量解出. 【小问1详解】 证明：∵点在底面上的射影为点，∴平面， ∵四边形是边长为的正方形，∴， ∵，∴，即：， ∴，又∵，点是中点， ∴，同理可得：， 又∵，且平面， ∴平面，又∵平面， ∴平面平面. 【小问2详解】 如图，连接，易知，，两两互相垂直， 分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系， 则，，，， 假设存在点使得直线与平面所成的角的正弦值为， ∵点在棱上，不妨设，， 又， ∴，∴， ∵，， 设平面的法向量为，则 令，则，∴， 又，设直线与平面所成的角为，则， ∴， 即，解得：或（不合题意，舍去）， 19．已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. (1)求椭圆的方程； (2)记直线，的斜率分别为、，求的值； (3)证明：直线过定点，并求该定点坐标. 【答案】(1) (2) (3)证明见解析， 【分析】（1）由题意求出，即可得答案； （2）法一：设，写出圆的方程为：，利用圆过，代入圆的方程得，化简，即得答案；法二：设，圆半径为r，写出圆方程，圆过，可得，由此化简，，即得答案. （3）设直线，联立椭圆方程，可得根与系数的关系式，结合，化简可得参数之间的关系式，结合直线的点斜式，即可确定定点坐标. 【详解】（1）由已知得，，则， 故椭圆的标准方程为； （2）法一：设，则圆的方程为：， 圆过，代入圆的方程得， 故； 法二：设，圆半径为r，则圆方程为：， 圆过，，由题意可设， 则； （3）由题意知，当圆的圆心不在x轴上时，直线PQ斜率存在， 设直线，， 则，需满足， 则，， 则， 结合第一问知，即， 即得， 化简得， 解得或， 当时，直线PQ方程为，直线PQ过点，不合题意， 当时，直线PQ方程为， 故直线PQ过定点； 当圆的圆心在x轴上时，M，N关于x轴对称，此时直线PQ斜率不存在， 圆G方程为， 令，则，此时不妨设， 则的方程为，即， 联立，得，解得或， 即P点横坐标为，则直线PQ此时也过点， 故直线PQ过定点. 【点睛】难点点睛：解答本题的难点在于第三问中的定点问题，解答时要利用设方程，求出参数之间的关系，利用直线的点斜式确定定点坐标，要特别注意计算的复杂性. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年下学期 高二（26届）数学学科10月月考试卷 （ 本试卷满分150分，时间120分钟） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分． 1．已知两条直线和相互垂直，则（    ） A．2 B．3 C． D． 2．已知椭圆与椭圆有相同的焦点，且的长轴长为，则的短轴长为（    ） A． B． C． D． 3．圆与直线相交所得弦长为（　　） A．1 B． C． D． 4．设直线y＝kx与椭圆＋＝1相交于A，B两点，分别过A，B向x轴作垂线，若垂足恰好为椭圆的两个焦点，则k等于(　　) A. B． ± C．± D. 5．已知实数满足方程，则的最大值是（    ） A． B． C．0 D． 6．已知直线l1：y＝2x＋3，直线l2与l1关于直线y＝－x对称，则直线l2的斜率为(　　) A. B．－ C．2 D．－2 7．若直线与圆相交于A、B两点，且(O是原点)，则k的值为（    ） A． B． C．- D． 8．已知，分别是椭圆的左、右焦点，是坐标原点，是椭圆上一点，与轴交于点．若，，则椭圆的离心率为（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 9. 下列说法中，正确的有（　　） A. 直线在y轴上的截距为 B. 直线 的倾斜角为 C. 过点且在轴截距相反的直线方程为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 10．已知直线：，圆：，则（    ） A．直线恒过定点 B．直线与圆相交 C．圆被轴截得的弦长为 D．当圆被直线截得的弦最短时， 11．已知椭圆的左、右焦点分别为，，椭圆上两点A，B关于原点对称，点P（异于A，B两点）为椭圆上的动点，则下列说法正确的是（ ） A．的周长为12 B．椭圆的离心为 C．的最大值为 D．若直线PA，PB的斜率都存在，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12．已知双曲线，双曲线上一点到一个焦点的距离为17，则到另一个焦点的距离为 ． 13．已知圆：，圆：，如果这两个圆有公共点，则实数a取值范围是 . 14．已知点P在圆x2＋y2－6y＋8＝0上，点Q在椭圆＋y2＝1(a>1)上，且的最大值等于5，则椭圆的离心率的最大值为________． 四、解答题：本小题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分） 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程（把直线的方程化为一般式）： （1）直线与直线平行； （2）直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4； 16.（15分） 如图，在四棱锥中，侧面底面，底面是平行四边形，分别为线段的中点． （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的大小为，求二面角的余弦值． 17．（15分）已知圆，直线过点． (1)求圆的圆心坐标和半径； (2)若直线与圆相切，求直线的方程； (3)若直线与圆相交于两点，求三角形的面积的最大值，并求此时直线的方程. 18.（17分） 如图，在四棱锥中，已知四边形是边长为的正方形，点在底面上的射影为底面的中心，点在棱上，且的面积为1. （1）若点是的中点，证明：平面平面； （2）在棱上是否存在一点，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求出点的位置；若不存在，说明理由. 19．（17分）已知椭圆的左、右顶点为，，焦距为.为坐标原点，过点、的圆交直线于、两点，直线、分别交椭圆于、. (1)求椭圆的方程； (2)记直线，的斜率分别为、，求的值； (3)证明：直线过定点，并求该定点坐标. 学科网（北京）股份有限公司 $$