第一章 特殊平行四边形 单元测试-2025-2026学年北师大版数学九年级上册

第一章 特殊平行四边形 单元测试-2025-2026学年北师大版数学九年级上册 考试时间：100分钟 满分：100分 姓名：__________ 班级：__________考号：__________ 题号 一 二 三 总分 评分 一、选择题（共8小题，共32分） 1．如图，在 中， 为 的中点， ，则 的长为(　　) A． B． C． D． 2．如图所示，矩形的两条对角线相交于点，，，则对角线的长是（　　） A． B． C． D． 3．下列有关特殊平行四边形的性质说法正确的是（　　） A．菱形的对角线相等 B．矩形的对角线互相垂直 C．菱形的四个角相等 D．正方形的对角线互相垂直平分且相等 4．如图，将边长为2的正方形绕点按逆时针旋转到正方形的位置，且点落在对角线上，与相交于点，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 5．如图，菱形的顶点A，的坐标分别为，，轴，将菱形平移，使点A与原点重合，则平移后点的对应点的坐标为（　　）． A． B． C． D． 6．已知在菱形中，，，则菱形的面积为（　　） A．160 B．80 C．40 D．96 7．如图，在菱形中，，点在对角线上，且，那么的度数是（　　） A． B． C． D． 8．如图，分别为四边形各边的中点，顺次连接，得到四边形，下列描述错误的是（　　）． A．四边形一定是平行四边形 B．当时，四边形为矩形 C．当时，四边形为菱形 D．当时，四边形为矩形． 二、填空题（共6小题，共24分） 9．若菱形的两条对角线长分别为6和8，则该菱形的面积为 　 　． 10．如图，在菱形中，，则菱形的周长为　 　． 11．如图，正方形的对角线交于点是边上一点，连接，过点O作，交于点N．若四边形的面积是，则的长为　 　． 12．已知矩形，点为的中点，点在上，将纸片沿折叠，点，的对应点分别为，，与相交于点，的延长线过点，若，则的值为　 　． 13．在矩形中，，，点在边上，连接，将沿翻折，得到，交于点，连接．若点为的中点，则的面积为　 　． 14．如图，已知正方形 ABCD的边长为 3，动点 P 满足CP = 2，将点 P 绕点 D 按逆时 针方向旋转 90°，得到点 Q，连接 BQ ，则 BQ的最大值是　 　． 三、解答题（共7小题，共44分） 15．如图，四边形ABCD是矩形，点在CD边上，点在DC延长线上，. （1）下列条件： ①点是CD的中点，②BE平分；③点与点关于直线BE对称.请从中选择一个能证明四边形ABFE是菱形的条件，并写出证明过程 （2）若∠BEF=∠DAE，AE=3，BE=4，求EF的长， 16．如图，同一平面内三条不同的直线AB，CD，MN，，直线MN与另外两条直线分别交于点M，N，点E，F分别为AB，CD上两点，且满足MF平分．，NE平分． （1）求证：四边形ENFM为平行四边形； （2）若四边形ENFM为菱形，求出的大小． 17．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，BD为AC的中线，过点C作CE⊥BD于点E，过点A作BD的平行线，交CE的延长线于点F，在AF的延长线上截取FG=BD，连接BG、DF． （1）求证：BD=DF； （2）求证：四边形BDFG为菱形； （3）若AG=13，CF=6，求四边形BDFG的周长． 18．如图，在四边形中，，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 19． 如图，过菱形的顶点A作于点E，延长至点F，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求的长． 20．如图，矩形中，垂直平分对角线，． （1）求证：四边形是菱形， （2）若，，求的长． 21．如图，在直角坐标系中，是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是，直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点，以为边在第一象限内作正方形． （1）求点A的坐标和k的值； （2）求直线所对应的函数关系式． 答案解析部分 1．【答案】C 【解析】【解答】解：如图，取 的中点 ，连结 ， 是中点， ∴DE是△ABC的中位线， ， ∴∠GDE=∠B， ， ∴∠AGE=90°， ∴ ， ∴， . 故答案为：C. 【分析】取 的中点 ，连结 ，易证DE是△ABC的中位线，利用三角形的中位线定理和平行线的性质可证得∠GDE=∠B，利用垂直的定义可证得△AGC是直角三角形，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可求出CE=EG=4，再利用三角形外角的性质及∠C=2∠B，可推出∠GDE=∠GED，然后利用等角对等边可求出DG的长. 2．【答案】B 【解析】【解答】解：矩形的两条对角线相交于点， ， ， 是等边三角形， ， ， 故答案为：B． 【分析】根据矩形性质可得是等边三角形，即可得到对角线的长度解题． 3．【答案】D 【解析】【解答】解：A、菱形的对角线互相垂直，不一定相等，A不符合题意． B、矩形的对角线相等且平分，不一定互相垂直，B不符合题意． C、菱形的四个角不一定相等，C不符合题意． D、正方形的对角线互相垂直平分且相等，D符合题意． 故答案为：D 【分析】根据菱形的性质、矩形的性质、正方形的性质结合题意对选项逐一分析即可求解。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：四边形是正方形， ，， ， 由旋转得： 四边形是正方形， ，，， ， ， 在中，， ， ， ． 故答案为：D． 【分析】根据正方形的性质求出和的值，然后再根据旋转的性质可得：，代入数据求出BC=BF的值，利用正方形的性质可得和的值，进而求出，利用勾股定理： 代入数据求出BG的值，进而求出的长，在中，利用互余的性质，可得，从而可得的值。 5．【答案】A 【解析】【解答】解：A，的坐标分别为， 所以 在菱形中 又轴 故点的坐标为 将菱形平移，使点A与原点重合， 所以菱形向左平移1个单位，向下平移2个单位 故平移后点的对应点的坐标为，即． 故选：A． 【分析】通过两点间距离公式求边长，菱形性质定C坐标，平移规律(点A到原点的变化)推导平移后C的坐标. 6．【答案】D 【解析】【解答】解：如图所示，AC交BD于O点， ∵四边形是菱形，， ∴AC垂直平分BD，BD垂直平分AC， ∴， 在中，，OB=8， ∴， ∴， ∴． 故答案为：D． 【分析】本题首先根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以先求出OB的长，然后利用勾股定理求出AO的长，此时AC的长即可求出。最后根据菱形的面积公式即可求得其面积． 7．【答案】B 【解析】【解答】解：∵在菱形中，，点在对角线上， ∴， ∵， ∴ 故答案为：B． 【分析】首先根据菱形的性质可得出，再根据等腰三角形的性质和内角和定理即可求得的度 数。 8．【答案】B 【解析】【解答】连接， 分别为四边形各边的中点， ， 且， ， 且， 故四边形为平行四边形，故A正确； 当时， 故平行四边形不是矩形，B错误； 当时，则，故四边形为菱形，C正确； 当时， ， ， 故四边形为矩形，D正确； 故答案为：B． 【分析】根据三角形中位线定理可得出EF∥GH，且EF=GH，即可得出四边形是平行四边形；再证明当时， 四边形不是矩形 ，当时，可进一步得出邻边相等，即可得出C正确；当时，可得出∠EFG=90°，即可得出D正确，即可得出答案。 9．【答案】24 【解析】【解答】解：∵菱形的两条对角线长分别为6和8， ∴菱形的面积为24， 故答案为：24 【分析】根据菱形面积的计算公式即可求解。 10．【答案】8 【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，且AB=2， ∴AB=BC=CD=DA， ∴菱形的周长为， 故答案为：8． 【分析】根据“菱形的四条边相等”可得菱形的周长等于边长的4倍，直接求解即可. 11．【答案】6​​​​​​​ 【解析】【解答】解：∵四边形是正方形，对角线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵四边形的面积是，即， ∴， ∴，且， ∴， 在等腰直角中，， ∴， 故答案为： ． 【分析】先利用“ASA”证出，利用全等三角形的性质可得，再求出，利用三角形的面积公式求出，利用勾股定理求出AD的长即可. 12．【答案】4 【解析】【解答】解：设，连接， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，点为中点， ∴，，，， ∴， 由折叠得，，，， ∴，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【分析】设，可用m表示出GC，根据四边形是矩形，点为中点，得，，，，所以，再根据折叠的性质得到，，，，再利用HL证明，得，，可证明，从而可求得GF，再求得AD，，进而求得，再利用勾股定理得，从而可求得则得． 13．【答案】3 【解析】【解答】解：过点作于点，如图所示： 点为的中点，， ， 将沿翻折， ，， 在中，， ， ，解得， 在矩形中，，则， 故答案为：． 【分析】本题考查翻折变换，矩形的性质，折叠的性质，勾股定理.过点作于点，先利用中点的性质可得：，利用折叠的性质可得，，再利用勾股定理可求，利用三角形面积公式和等面积法可列出方程，解方程可求出的长，再根据矩形性质可求出的长，利用三角形面积公代如数值进行计算可求出答案． 14．【答案】5 【解析】【解答】解：如图，连接AQ， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADC=90°， 由旋转得，DP=DQ，∠QDP=90°， ∴∠ADC-∠QDC=∠QDP-∠QDC， ∴∠ADQ=∠CDP， ∴△ADQ≌△CDP(SAS)， ∴AQ=CP=2， ∴点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2的圆， ∴当点Q在BA的延长线上时，BQ的值最大，如图所示， ∴BQ的最大值=AB+AQ=3+2=5. 故答案为：5. 【分析】连接AQ，由旋转可得DP=DQ，再结合正方形的性质，利用SAS可证明△ADQ≌△CDP得出AQ=CP=2，进而可知点Q的运动轨迹是以点A为圆心，半径为2的圆，当点Q在BA的延长线上时，BQ的值最大，从而得出结果. 15．【答案】（1）解：选择条件② ∵BE平分∠ABF， ∴∠EBF＝∠ABE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠BEF＝∠ABE， ∴∠BEF＝∠EBF， ∴BF＝EF ∵AE∥BF，AB∥CD， ∴四边形ABFE是平行四边形 ∵BF＝EF， ∴平行四边形ABFE是菱形； 选择条件③ ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∵AE∥BF，AB∥CD， ∴四边形ABFE是平行四边形， ∵点A与点F关于直线BE对称， ∴AB＝BF， ∴平行四边形ABFE是菱形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝∠BCE＝90°，AB＝CD，AD＝BC， ∴∠DAE+∠DEA＝90°， ∵∠BEF＝∠DAE， ∴∠BEF+∠DEA＝90°， ∴∠AEB＝180°﹣（∠BEF+∠DEA）＝90° 在Rt△ABE中，AE＝3，BE＝4 四边形 ABFE是平行四边形， 【解析】 【分析】（1）利用菱形的判定方法分析求解即可； （2）先利用角的运算求出∠AEB＝180°﹣（∠BEF+∠DEA）＝90°，再利用勾股定理求出AB的长，最后利用平行四边形的性质可得. 16．【答案】（1）证明：平分，． 又， ，，． 平分，． ． ，， ，． ，∴四边形ENFM为平行四边形； （2）解：，， 由（1）知，， 四边形ENFM为菱形． ，，为等边三角形。 ，。 【解析】 【分析】（1）利用一组对边平行且相等的四边形是平行四边形的判定方法证出四边形ENFM为平行四边形即可； （2）利用菱形的性质可得，再证出为等边三角形可得. 17．【答案】（1）证明：∵BD为AC的中线，∠ ABC=90°， ∴BD=AC. ∵AG//BD， ∵FG=BD ， ∴四边形BDFG是平行四边形， ∵点D是AC的中点， ∴DF=AC. ∴BD=DF. （2）∵四边形BDFG是平行四边形，BD=DF， ∴四边形BDFG为菱形； （3）解：设GF=x， ∵ AG=13， ∴AF=13-x， ∵四边形BDFG为菱形 ∴FD=GF=x， ∴AC=2FD=2x， ∵CF2+ AF2=AC2，CF=6， ∴62+(13-x)2=(2x)2， 解得x=5. ∴ 四边形BDFG的周长 =4x5=20. 【解析】 【分析】（1）先证明四边形BDFG中有一组对边平行且相等，可得这个四边形是平行四边形，再两次运用利用直角三角形斜边上的中线性质分别说明BD=AC，DF=AC.于是可得BD=DF. （2）依据一组邻边相等的平行四边形是菱形说理； （3）设GF=x，先用x分别表示AC，AF，再利用勾股定理得到关于x的方程求解，接着利用菱形的性质求出周长. 18．【答案】（1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，． 在中，由勾股定理，得， ∵，O为的中点， ∴在中，． 【解析】 【分析】本题考查菱形的判定和性质． （1）先利用平行线的性质可推出，再根据平分，利用角平分线的性质可推出，据此可得，利用平行四边形的判定定理可证明四边形是平行四边形，再根据，利用菱形的判定定理可证明四边形是菱形； （2）根据四边形是菱形，，利用菱形的性质可推出：，，．利用勾股定理可求出，再根据直角三角形斜边上中线的性质可得，代入数据可求出答案． （1）证明：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． 又∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是菱形，， ∴，，． 在中，由勾股定理，得， ∵，O为的中点， ∴在中，． 19．【答案】（1）证明：∵菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形为矩形； （2）解：∵菱形， ∴， ∵矩形， ∴， 设，则：， 在中，， ∴， 解得：， ∴． 【解析】 【分析】（1）首先根据， 可证得四边形是平行四边形， 再根据， 即可得出平行四边形为矩形； （2）设，则：，在中，根据， 即可得出， 解方程求解，即可得出CD的长。 20．【答案】（1）解：证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分对角线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）解：连接， 垂直平分， ， ，， ， ， ， ， ， 的长是5． 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质可得，则，根据垂直平分线性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，再根据菱形判定定理即可求出答案. （2）连接，根据垂直平分线性质可得，再根据边之间的关系可得，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. （1）解：证明：四边形是矩形， ， ， 垂直平分对角线， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． （2）连接， 垂直平分， ， ，， ， ， ， ， ， 的长是5． 21．【答案】（1）过点A作于M， ∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，点B的坐标是， ∴， ∴点A的坐标为， ∵直线经过点A， ∴， 解得； （2）直线与x轴交于D， ∴取y=0，则，解得x=3. ∴点D的坐标为（3，0）， ∴， ∵点A的坐标为， ∴点M的坐标为（1，0）， ∴OM=1. ∴， 作轴于N， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线EF所对应的函数关系式为． 【解析】 【分析】（1）作于M，求出A的坐标，代入函数解析式求出k； （2）先求出点D的坐标，可得OD的长，再求出点M的坐标，可得MO，再利用MD=OD-OM求得MD的长，再利用AAS证明，从而可求得DN，EN，再利用ON=OD+DN求出ON，从而可得点E的坐标，再根据EF//AD，设出直线EF的解析式，将点E的坐标代入求出解析式． （1）解：作于M， ∵是等腰直角三角形，斜边在x轴上，且点B的坐标是， ∴， ∴， ∵直线经过点A， ∴， 解得； （2）∵直线经过点A，且分别与x轴、y轴交于D、C两点， ∴， ∴， ∴， 作轴于N， ∵， ∴， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为， ∴， 解得， ∴直线EF所对应的函数关系式为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$