精品解析：广东省深圳市龙城高级中学(教育集团)实验高级中学2025-2026学年高三上学期开学考试数学试卷

龙城高级中学（教育集团）实验高级中学 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据指数函数性质求复合函数值域求解集合A，解绝对值不等式求解集合B，然后利用交集运算求解即可. 【详解】因为，所以，则， 又，所以． 故选：D． 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】不能保证都是正值，推不出，反之则成立，即可求解. 【详解】因为在上是增函数，故由可得； 取，，此时满足，但是不满足， 综上，“”是“”的必要不充分条件． 故选：B 3. 已知函数，若，则（ ） A. -7 B. -3 C. 3 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】利用奇函数的性质即得. 【详解】设，则，即，故． 故选：B 4. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先分析函数的对称性,再分析函数是否与x轴有交点即可. 【详解】因为,故为奇函数，图象关于原点成中心对称， 将函数图象向右平移1个单位可得的图象， 所以的图象关于成中心对称，排除AB, 又当时或，故与x轴有2个交点,排除C. 故选：D 5. 信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减.在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中， 声 压的衰减过程可以用指数模型：描述声压（单位：帕斯卡）随传播距离（单位：米）的变化规律，其中为声压的初始值，常数为试验参数.若试验中声压初始值为帕斯卡，传播米声压降低为帕斯卡，据此可得试验参数的估计值约为（ ）（参考数据：，） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据所给公式，代入已知数据，两边取自然对数，化简后根据对数的参考值即可求解. 【详解】由题意知，, 两边取自然对数，则, 所以， 故选：B 6. 函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的对称性，设点的坐标，得到其关于原点对称的点的坐标，将点的坐标代入中即可得到结果. 【详解】设点是函数上的一个点，则其关于原点的对称点为. 所以根据题意可知点在函数上，则， 化简得，所以. 故选：D. 7. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分别计算的范围，直接比较大小即可. 【详解】，，，故. 故选：B. 8. 已知定义域为的函数满足，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数是奇函数 D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出可判断A选项的正误；推导出可判断B选项的正误；分析得出可判断C选项的正误；推导出可判断D选项的正误. 【详解】对于A选项，因为，且， 则，即，A错； 对于B选项，因为，则， 因为，则， 即，即， 故函数的图象关于点对称，B对； 对于C选项，因为，故函数是偶函数，C错； 对于D选项，因为，则，即，D错. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”的否定是“” C. 的充要条件是 D. 若，则至少有一个大于1 【答案】BD 【解析】 【分析】根据必要条件与充分条件的概念、全称量词的否定、不等式的性质依次判定即可. 【详解】对于A选项，若则得不到，故不是充分条件； 对于B选项，由全称量词的否定可判断其正确； 对于C选项，若则得不到，故不是充要条件，C选项错误； 对于D选项，若均不大于1，则，故至少有一个大于1，故D选项正确； 故选：BD. 10. （多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】按照指数幂的运算进行化简. 【详解】因为，所以选项A错误； 因为，所以选项B错误； 因为，所以选项C正确； 因，所以选项D正确. 故答案为：CD. 11. 已知函数，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（ ） A. x1＋x2＝－1 B. x3x4＝1 C. 1<x4<2 D. 0<x1x2x3x4<1 【答案】BCD 【解析】 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有，，，即可知正确选项. 【详解】由函数解析式可得图象如下： ∴由图知：，，而当时，有，即或2， ∴，而知：， ∴，. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定的范围及关系. 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数（，且）的图象必经过点________． 【答案】 【解析】 【分析】利用为定值即可求出函数的定点. 【详解】∵当时，无论为何值， ， ∴函数的图象必经过． 故答案为：． 13. 已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用函数的单调性及奇偶性解不等式. 【详解】函数的定义域为， ， 故函数为偶函数，， 当时，， 因为函数在上均为减函数， 故函数在上为减函数， 由得， 则，即， 即，解得且， 故使不等式成立的实数的取值范围是. 故答案为：． 14. 已知函数，若关于的方程有个不同根，则实数的取值范围是____________. 【答案】 【解析】 【分析】令，结合函数图象，可知有2个不同的解，可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上，构造，结合二次函数根的分布，列出不等式，解出的范围，可得结论. 【详解】作出函数的图象如图：关于x的方程有6个不同根， 令，，即方程有2个不同的解， 可能一个在上，一个在上，也可能两个都在上. 令， 若在上和上各有一个不同的零点，所以，解得， 若在有两个不同的零点，所以，该不等式组无解， 综上，∴. 故答案为： . 【点睛】关键点睛：本题解决的关键在于作出的图象，结合二次函数的性质判断概的位置，从而得解. 三、解答题：本题共3小题，共45分． 15. 已知命题，，命题，． （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知可得在有解，利用对勾函数求得的最大值即可； （2）利用不等式的解集为，可求得q为真命题时，实数m的取值范围，结合已知可求得命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围. 【小问1详解】 因为，，可得在有解，所以， 令，由对勾函数可知函数在单调递减，在上单调递增， 又，，所以， 所以命题p为真命题时，实数m的取值范围为； 【小问2详解】 若，，则，解得． 所以q为真命题时，实数m的取值范围为； 当命题p为真命题，q为假命题时，m应满足，所以， 当命题p为假命题，q为真命题时，m应满足，所以， 综上所述：命题p，q有且仅有一个为真命题，实数m的取值范围为． 16. （1）计算：； （2）． （3）已知，求值． 【答案】（1）-1.8；（2）-3；（3）4 【解析】 【分析】（1）根据指数幂的运算法则计算； （2）根据对数的运算法则及换底公式计算； （3）根据指数幂运算法则计算. 【详解】（1） （2） （3）因为， 所以， 则， 所以 17. 已知函数 （1）若，求不等式的解集; （2）若，求的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）结合指数函数的性质解不等式； （2）用换元法，然后结合二次函数性质求得最小值． 【小问1详解】 若，则， 所以，即，所以， 所以或，解得或， 即不等式的解集为． 【小问2详解】 若，即，解得． 所以， 令，所以． 当，即时，在上单调递增， 所以，即． 当，即时，在上单调递减， 在上单调递增，所以， 即． 综上，． 18. 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当a变化时，曲线过定点，证明：； （3）若，求函数的零点个数． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）两个零点 【解析】 【分析】（1）分别求出，，即可求出切线方程； （2）由可得曲线的恒过点且，令，可得在上单调递增，由零点存在定理可得，即可证明结论； （3）函数的零点个数可转化为与交点个数，由导数求出函数的单调区间，得到，结合值域分析即可求解.. 【小问1详解】 若，则， 所以，， 因此曲线在点处的切线方程为，即． 【小问2详解】 ， 因为曲线过定点，所以，从而． 令，则，所以在上单调递增，且， 所以． 所以，即． 【小问3详解】 函数的零点个数可转化为与交点个数； 由． 令，得， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增， 因此． 当时，，且． 由（2）可知，存在，满足，又当且时，， 所以与有两个交点， 故有两个零点． 19. 已知椭圆的离心率为，且经过点，直线过点A且相互垂直，交C于另一点P，交C于另一点Q． （1）求C方程； （2）证明：直线过定点； （3）先将C绕原点O旋转，再将所得曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍得到椭圆E，若与E的一个交点为R，且，求E的长轴长的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程可求，由此可得椭圆方程； （2）先说明的斜率存在且不为，设，联立方程组解方程求的坐标，讨论，求直线的方程，结合方程证明结论； （3）先求椭圆的方程，根据条件利用点的坐标表示点的坐标，将点的坐标代入对应的椭圆方程化简可得，再结合椭圆的参数方程及三角函数性质可求结论. 【小问1详解】 因为C过点，所以，又，故， 因为C的离心率为，所以，得． 所以C的方程为． 【小问2详解】 若直线的斜率为0，则直线的方程为，此时直线与椭圆只有一个交点，与已知矛盾， 若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时直线与椭圆只有一个交点，与已知矛盾， 故直线的斜率存在且不为，同理可得直线的斜率存在且不为， 故设． 由得， 故，所以． 同理可得． 若，故直线， 故直线过点； 若，则直线，直线过点． 综上，直线过定点． 【小问3详解】 由题意可知E的方程为． 因为，所以． 根据对称性，不妨将看作是由逆时针旋转得到， 因为，所以，所以， 因为点R在E上， 所以． 又点P在C上，所以，所以， 设其中， 则，即， 故椭圆E的长轴长的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 龙城高级中学（教育集团）实验高级中学 高三数学 一、单项选择题：本题共8小题，每小题满分5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得5分，选错得0分． 1. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数，若，则（ ） A. -7 B. -3 C. 3 D. 7 4. 函数图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 信号在传输介质中传播时，将会有一部分能量转化为热能或被传输介质吸收，从而造成信号强度不断减弱，这种现象称为衰减.在试验环境下，超声波在某种介质的传播过程中， 声 压的衰减过程可以用指数模型：描述声压（单位：帕斯卡）随传播距离（单位：米）的变化规律，其中为声压的初始值，常数为试验参数.若试验中声压初始值为帕斯卡，传播米声压降低为帕斯卡，据此可得试验参数的估计值约为（ ）（参考数据：，） A. B. C. D. 6. 函数的图像与函数的图像关于原点对称，则的表达式为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义域为的函数满足，且，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. 函数的图象关于点对称 C. 函数是奇函数 D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分． 9. 下列命题正确的是（ ） A. “”是“”的充分不必要条件 B. 命题“”的否定是“” C. 的充要条件是 D. 若，则至少有一个大于1 10. （多选）下列根式与分数指数幂的互化正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，若x1<x2<x3<x4，且f(x1)＝f(x2)＝f(x3)＝f(x4)，则下列结论正确的是（ ） A. x1＋x2＝－1 B. x3x4＝1 C. 1<x4<2 D. 0<x1x2x3x4<1 二、填空题：本题共3小题，每小题5分，共计15分． 12. 函数（，且）的图象必经过点________． 13. 已知函数，则使不等式成立的实数的取值范围是_________． 14. 已知函数，若关于的方程有个不同根，则实数的取值范围是____________. 三、解答题：本题共3小题，共45分． 15. 已知命题，，命题，． （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题p，q有且仅有一个为真命题，求实数m取值范围． 16. （1）计算：； （2）． （3）已知，求的值． 17. 已知函数 （1）若，求不等式的解集; （2）若，求最小值. 18 已知函数． （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）当a变化时，曲线过定点，证明：； （3）若，求函数的零点个数． 19. 已知椭圆的离心率为，且经过点，直线过点A且相互垂直，交C于另一点P，交C于另一点Q． （1）求C方程； （2）证明：直线过定点； （3）先将C绕原点O旋转，再将所得曲线上所有点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍得到椭圆E，若与E的一个交点为R，且，求E的长轴长的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$