第3章 勾股定理 单元测试卷 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第3章单元测试卷 考试时间:120 分钟 满分:100 分 成绩: 一、选择题(每题2分，共16分) 1. 已知有4组三角形的边长:①a=15,b=20,c=25;②a=2,b=3,c=4;③a=2.5,b=6,c=6.5;④a=21,b=20,c=29.其中组成的三角形是直角三角形的有 ( ) A. 4 组 B. 3组 C. 2 组 D. 1组 2.我国古代数学著作《九章算术》中记载了一个问题：“今有池方一丈，葭(jiā)生其中央，出水一尺.引葭赴岸，适与岸齐.问水深几何?”(丈、尺是长度单位，1丈=10尺)其大意如下：如图，有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺.如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，那么它的顶端恰好到达池边的水面.水的深度是多少?则水深为 ( ) A. 10尺 B. 11尺 C. 12 尺 D. 13 尺 3.(2025·江苏泰州期末)如图,在Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=5,BC=3,以点A 为圆心,适当长为半径作弧，分别交AB，AC 于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧在∠BAC 的内部相交于点G,作射线 AG,交 BC 于点 D,则BD 的长为 ( ) A. 4. 在△AMN 中,AM=17,AN=10,高AP=8,则△AMN 的周长为 ( ) A. 48 B. 36 C. 48或 36 D. 44 或36 5.(2023·四川泸州)《九章算术》是我国古代重要的数学著作，该著作中给出了勾股数a，b，c的计算公式： 其中m>n>0，m，n是互质的奇数.下列四组勾股数中，不能由该勾股数计算公式直接得出的是 ( ) A. 3,4,5 B. 5,12,13 C.6,8,10 D. 7,24,25 6.阅读理解：如果一个正整数m能表示为两个正整数a，b的平方和，即 那么称 m为广义勾股数.给出下面的四个结论：①7不是广义勾股数；②13是广义勾股数；③两个广义勾股数的和是广义勾股数；④两个广义勾股数的积是广义勾股数.其中正确的是 ( ) A. ②④ B. ①②④ C. ①② D. ①④ 1 学科网（北京）股份有限公司 7. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=13,AC=5,动点 P 从点B 出发沿射线BC 以每秒2个单位长度的速度运动.设运动的时间为 t s，则当△APB 为等腰三角形时，t的值为 () 或 B. 或12或 4 C. 或12或 或 12或4 8.勾股定理是人类最伟大的科学发现之一，在我国古算书《周髀算经》中早有记载.如图①，以直角三角形的各边为边分别向外作正方形，再把较小的两张正方形纸片按如图②所示的方式放置在最大的正方形内.若知道图②中阴影部分的面积，则一定能求出 ( ) A.直角三角形的面积 B.最大正方形的面积 C.较小的两个正方形重叠部分的面积 D.最大的正方形与直角三角形的面积和 二、填空题(每题2分，共20分) 9.若直角三角形的一条直角边长与斜边长分别为8 cm和1 0 cm，则该直角三角形斜边上的中线长为 cm，斜边上的高为 cm. 10. 在△ABC中,已知a,b,c 分别为∠A,∠B,∠C 所对边的长.若 则△ABC 最长边上的高为 . 11.(2023·江苏南通)勾股数是指能成为直角三角形三边长的三个正整数，世界上第一次给出勾股数公式的是我国古代数学著作《九章算术》.现有勾股数a，b，c，其中a，b均小于c，且a= (m是大于1的奇数)，则b= .(用含m的代数式表示) 12. 如图,CB⊥AD,AE⊥CD,垂足分别为B,E,AE,CB 相交于点F,AB=CB.若AB=8,CF=2,则CD= . 13.如图，某港口 P 位于东西方向的海岸线上，甲、乙轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲、乙轮船每小时分别航行12海里和16海里，1h后两船分别位于点A，B处，且相距20海里.若知道甲船沿北偏西40°方向航行，则乙船沿 方向航行. 14.(2025·江苏常州模拟)如图,在△ABC中,∠ABC,∠ACB 的平分线相交于点O,OD⊥BC于点D.若AB=25 cm,BC=20cm,AC=15 cm,则( 15. 如图,AB⊥BC,AB⊥AD,E 是CD 的中点.若 则 2 学科网（北京）股份有限公司 16. 如图,AD 是△ABC 的高,CE 是△ACD 的中线,BD=2CD.若 CE=a,则AB= .(用含a 的代数式表示) 17. 如图,在△ABC 和△ADE 中,∠BAC=∠DAE=90°,AB=AC,AD=AE,点C,D,E 在同一条直线上,连接BD,BE.给出下列结论:①BD=CE;② BD⊥CE;③∠ACE+∠DBC=45°;④ BE²=2(AD²+AB²). 其中正确的是 .(填序号) 18. 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC>BC,分别以△ABC 的三边为边向外作三个正方形ABHL,ACDE,BCFG,连接DF,过点C 作AB 的垂线CJ,垂足为J,分别交DF,LH 于点I,K.若CI=5,CJ=4,则四边形AJKL 的面积是 . 三、解答题(共64分) 19.(6分)如图,在△ABC中,AC=13,BC=20,CD=12,AD=5. (1) 求 BD 的长; (2) 求△ABC 的面积. 20.(4分)如图,已知∠AOB=90°,点C 在边OA 上,OA=36cm,OB=12cm,点 P 从点A 出发,沿着AO 方向匀速运动，点Q 同时从点B 出发，以相同的速度沿 BC 方向匀速运动.若P，Q两点恰好在点C 处相遇，求BC 的长. 21. (6分)如图,在 中， ,射线CD 交AB 于点 D,AD=AC. (1)作图：只用圆规在射线CD 上作出点 E，使 ；(保留作图痕迹，不写作法) (2) 在(1)的条件下,连接BE.若DB=18,DE=30,,求 AC 的长. 22. (6 分)如图,在, 中,D 是BC的中点, ,交AB 于点 E,且 (1) 求证: (2) 若DE=3,BD=4,,求 AE 的长. 23.(6分)某路段限速标志规定：小汽车在此路段上的行驶速度不得超过70km/h.如图，一辆小汽车在该路段上直行，某一时刻刚好行驶到路对面的车速检测仪正前方30m的点C 处，2s后，小汽车行驶到点 B 处，测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m. (1)求 BC 的长; (2)这辆小汽车超速了吗? 24.(6分)如图①，在4×8的网格中，每个小正方形的边长都为1，动点 P，Q分别从点D，A 同时出发向右运动，点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度为每秒0.5个单位长度，当点 P运动到点 C 时，两个点都停止运动，设运动的时间为 t s. (1)请在图②中画出t=6时的线段 PQ，并求其长度； (2)当t为何值时，△PQB 是以BP 为底的等腰三角形? 5 学科网（北京）股份有限公司 25. (6分)如图,在 中， ,点 D 在边AC 上,AD=1cm.点 P 从点A 出发,沿AB 匀速运动;点 Q 从点C 出发,沿C→B→A→C 的路径匀速运动.两点同时出发，在点 B 处首次相遇后，点P 的速度每秒提高了2cm，并沿 B→C→A 的路径匀速运动；点Q 的速度保持不变，并继续沿原路径匀速运动，两点在点 D 处再次相遇后停止运动.设点 P 原来的速度为x cm/s. (1)点 Q 的速度为 cm/s;(用含x 的代数式表示) (2)求点 P 原来的速度. 26.(8分)(2025·江苏镇江期末)如图①是用硬纸板做成的两个全等的直角三角形，两直角边的长分别为a，b(a<b)，斜边长为c，图②是以c为直角边长的等腰直角三角形.请你开动脑筋，将它们拼成一个能证明勾股定理的图形. (1)画出拼成的这个图形的示意图，并指出它是什么图形； (2)利用这个图形证明勾股定理； (3)假设图①中的直角三角形有若干个，你能仅用图①中所给的直角三角形拼出另一种能证明勾股定理的图形吗?请画出拼后的示意图并证明. 6 学科网（北京）股份有限公司 27. (8 分)在 Rt△ABC 中, ,D 为AB 的中点,过点 D 作 DE⊥DF,点 E,F 分别在边CA,CB 上,连接EF. (1) 如图①,若CA=CB,求证: (2)如图②，若CA<CB，(1)中的结论还成立吗?若成立，请证明；若不成立，请说明理由. 28.(8分)在四边形 ABCD 中,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=CD=10,BC=AD=8. (1) P 为边BC上一点,将△ABP 沿直线AP 翻折至△AEP 的位置(点B 落在点E 处). ① 当点E 落在边CD 上时，利用尺规作图，在图①中作出满足条件的图形(保留作图痕迹，不写作法)，并直接写出此时DE= ； ②如图②，若P 为BC的中点，连接CE，则CE 与AP 之间有何位置关系?请说明理由； (2)已知Q 为射线DC上的一个动点，将△ADQ 沿直线AQ 翻折，点 D 恰好落在直线BQ上的点D'处,求 DQ 的长. 7 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1. B 2. C 3. D 4. C 5. C 6. C 7. C 解析:由题意,得BP=2t.因为 AB=13,AC=5,所以 12.当△APB 为等腰三角形时，分类讨论如下:①若BP=AB,则 2t=13,解得 ②若AP=AB,则BP=2BC=24,所以2t=24,解得t=12;③ 若AP=BP=2t,则CP=BC-BP=12-2t.因为 所以 解得 综上所述，t 的值为 或12或 8. C解析：设题图①中直角三角形的两直角边长分别为 a,b(a>b),斜边长为 c,则 题图②中阴影部分的面积可表示为 较小的两个正方形重叠部分的面积可表示为b[a-(c-b)]=b(a+b-c),所以较小的两个正方形重叠部分的面积等于阴影部分的面积. 9. 5 4.8 10. 2.4 11. m 12. 10 13. 北偏东50°14. 5 15. 12 16. 2a 17. ①②③ 解析:因为∠BAC=∠DAE,所以∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD,所以∠BAD=∠CAE.在△BAD 和△CAE 中, 所以△BAD≌△CAE (SAS),所以 BD=CE,故①正确;因为△BAD≌△CAE,所以∠ABD=∠ACE.因为∠BAC=90°,所以∠ABD+∠DBC+∠ACB =90°, 所以 ∠ACB=90°,所以 所以∠BDC=90°,所以BD⊥CE,故②正确；因为 ,所以∠ABC= 所以∠ABD+∠DBC=45°,所以∠ACE+∠DBC=45°,故③正确;因为∠BAC=∠DAE=90°,所以 因为AB=AC,AD=AE,所以 因为 所以 因为 所以 故④错误. 18. 80 解析:如图,过点 D 作 DM⊥CI,交 CI的延长线于点 M,过点 F 作FN⊥CI 于点N,则∠M=∠FNC=∠FNI=90°.因为四边形 ABHL、四边形 ACDE、四边形 BCFG都为正方形,所以 AB = AL,AC=CD,BC=CF,∠ACD=∠BCF=90°.因为 CJ⊥AB,所以∠AJC=∠BJC=90°,所以∠M=∠AJC. 因为∠DCM +∠ACJ = 180°-∠ACD=90°,∠CAJ +∠ACJ =90°,所以∠DCM=∠CAJ.在△CDM 和△ACJ 中, 所以△CDM≌△ACJ (AAS),所以DM=CJ=4,CM=AJ.同理可证△CNF≌△BJC(AAS),所以CN=BJ,FN=CJ =4,所以 DM=FN.在△DMI 和 △FNI 中, 所以△DMI△FNI(AAS),所以MI=NI,DI=FI.因为∠ACB=90°,所以. ∠ACD-∠BCF=90°,所以 DI=CI=5,所以 所以AJ=CM=CI+MI=8,BJ=CN=CI-NI=2,所以 AL=AB=AJ+BJ=10.因为四边形 AJKL 为长方形，所以S四边形AJKL =AJ·AL=80.故四边形AJKL 的面积是80. 19.(1) 因为AC=13,CD=12,AD=5,所以 所以△ACD 为直角三角形,且∠ADC=90°,所以∠BDC=180°-∠ADC=90°.因为 BC =20,所以 BD= (2)因为AD=5,BD=16,所以AB=AD+BD=21.因为∠ADC=90°,所以CD⊥AB.因为CD=12,所以 126.故△ABC 的面积为126. 20. 由题意,得AC=BC.设AC=BC=x cm.因为OA=36 cm,所以OC=OA-AC=(36-x) cm.因为∠AOB=90°,所以 BC².因为OB=12cm,所以 x²,解得x=20,即 BC 的长为20cm. 21.(1)以点 B 为圆心,BC 为半径作弧,交射线CD 于点E，则点 E 即为所求.图略. (2)因为∠ABE=90°,DB=18,DE=30,所以 设AD=AC=x,则AB=AD+DB=x+18.因为∠ACB=90°,所以 即 解得x=7,即 AC的长为7. 22. (1) 连接CE.因为 D 是 BC 的中点,DE⊥BC,所以 DE 垂直平分BC,所以BE=CE.因为 所以 AC²,所以 所以△ACE是直角三角形,且∠A=90°. (2)设AE=x.因为 DE⊥BC,所以∠BDE=90°.因为DE=3,BD=4,所以BC=2BD= 所以AB=AE+BE=x+5,CE=BE=5.因为∠A=90°,所以 因为 所以 解得 即AE 的长为 23. (1) 由题意,得∠ACB=90°,AC=30m,AB=50m,所以 (2)因为BC=40 m，所以小汽车的行驶速度为40÷2=20(m/s).因为20 m/s=72km/h,且72>70所以这辆小汽车超速了. 24. (1) 如图,线段 PQ 即为所求.当 t=6时,DP=1×6=6,AQ=0.5×6=3.过点 Q 作QE⊥CD 于点 E,则∠PEQ=90°,QE =AD=4,DE=AQ=3,所以 PE =DP-DE=3,所以 (2)由题意，得 则 BQ= 过点 Q 作 QF⊥CD 于点F,则∠PFQ=90°,QF=AD=4,DF= 所以 所以 当△PQB 是以BP 为底的等腰三角形时，PQ=BQ，所以 即 解得t=6.故当t=6时,△PQB 是以BP 为底的等腰三角形. 25. (1) (2) 因为∠B=90°,AB=3cm,BC=4 cm,所以 因为AD=1 cm,所以CD=AC-AD=4 cm.因为点P，Q从首次相遇到再次相遇，点P 运动的路程为BC+CD=8cm,点Q 运动的路程为AB+AD=4 cm,所以点 P 运动的路程为点Q 运动路程的2倍，所以点 P 后来的速度为点 Q 速度的2倍，所以 解得x=1.2,即点 P 原来的速度为1.2cm/s. 26.(1)如图，这是一个直角梯形. (2)根据梯形的面积公式可知梯形的面积 又梯形的面积等于三个小三角形面积的和，即 所以 所以 (3)(答案不唯一)如图，用4个题图①中的直角三角形拼成一个大正方形.证明：设大正方形的面积为 S.由图可知大正方形的边长为c，所以 又大正方形的面积等于4个直角三角形的面积与1个边长为b-a的小正方形面积的和，所以 所以 27. (1) 如图①,过点 A 作AM∥CB,交 FD 的延长线于点 M,连接EM,则∠MAD=∠B,∠MAE+∠ACB=180°.因为∠ACB=90°,所以 因为D为AB 的中点,所以 AD=BD.在△ADM 和 △BDF 中 所以△ADM≌ △BDF(ASA),所以AM=BF,MD=FD.因为 DE⊥DF,所以DE 垂直平分FM,所以 EF = EM,所以. (2)成立.证明如下：如图②，延长 FD 至点N,使 DN=DF,连接AN,EN.因为 D 为AB 的中点,所以 AD=BD.在△ADN 和 △BDF 中 所以△ADN≌ △BDF(SAS),所以 AN=BF,∠NAD=∠B,所以 AN∥BC,所以∠NAE+∠ACB=180°. 因为∠ACB = 90°,所以∠NAE = 因为 DE⊥DF,所以DE 垂直平分 FN,所以 EF=EN,所以AE²+ 28. (1)① 以点 A 为圆心,AB 为半径作弧,交CD 于点E;连接AE,作∠BAE 的平分线交BC 于点 P,连接 EP,则△AEP 即为所求.图略.6 ②CE∥AP.理由如下：由折叠的性质，得∠APB=∠APE,PB=PE.因为 P 为BC的中点,所以PB=PC,所以PE=PC,所以∠PEC=∠PCE.因为∠APB+∠APE+∠EPC=180°,∠PEC+∠PCE+∠EPC=180°,所以2∠APE+∠EPC=180°,2∠PEC+∠EPC=180°,所以∠APE=∠PEC,所以CE∥AP. (2) 设DQ=x.分类讨论如下:如图①,当点 Q在点C 左侧时,CQ=CD-DQ=10-x.由折叠的性质,得∠AD'Q=∠D=90°,D'Q=DQ=x,AD'=AD=8.因为∠AD'B=180°-∠AD'Q=90°,AB=10,所以 所以BQ=BD'+D'Q=6+x.因为∠BCD=90°,所以 即 6)²,解得x=4,即 DQ=4;如图②,当点 Q 在点C 右侧时,CQ=DQ-CD=x-10,AD'=8,D'Q=x,BD'=6,所以BQ=D'Q-BD'=x-6.因为∠BCQ=180°-∠BCD=90°,所以 即 解得x=16,即 DQ=16.综上所述,DQ 的长为4或16. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$