第1章 三角形 单元测试卷 2025-2026学年苏科版八年级数学上册

第1章单元测试卷 考试时间:120分钟 满分:100 分 成绩: 一、选择题(每题 2分，共16分) 1如图，小明家仿古家具的一块三角形形状的玻璃坏了，需要重新配一块.小明通过电话给玻璃店老板提供相关数据，为了方便表述，将该三角形记为△ABC，提供下列各组元素的数据，配出来的玻璃不一定符合要求的是 ( ) A. AB,BC,CA B. AB,AC,∠C C. AB,AC,∠B D. ∠A,∠B,AC 2.(2024·山东泰安)如图,直线l∥m,等边三角形ABC 的两个顶点B,C 分别落在直线l,m上.若∠ABE=20°,则∠ACD 的度数为 ( ) A.45° B. 40° C. 29° D. 21° 3. 如图,在△ABC中,BD为角平分线,∠A=36°,AB=AC=a,BC=b,则CD 的长为 ( ) C. a-b D. b-a 4.(2024·安徽)在凸五边形ABCDE 中,AB=AE,BC=DE,F 是CD 的中点.添加下列条件,不能推出AF 与CD一定垂直的是 ( ) A. ∠ABC=∠AED B. ∠BAF=∠EAF C. ∠BCF=∠EDF D. ∠ABD=∠AEC 5. 如图,D 是△ABC的边BC上一点.若AB=AC=BD,则∠1和∠2之间的数量关系为( ) A. ∠1=2∠2 B. ∠1+∠2=90° D. 180°+∠2=3∠1 6.(2025·江苏盐城期末)如图，在5×5的正方形网格中，与△ABC 有一条公共边且全等(不与△ABC 重合)的格点三角形(顶点在格点上的三角形)共有 ( ) A. 5个 B. 6个 C. 7个 D. 8个 1 学科网（北京）股份有限公司 7.如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，以△ABC 的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为 ( ) A. 4 B. 5 C.6 D. 7 8. 如图,在△ADE 和△ABC 中,∠E=∠C,DE=BC,AE=AC,过点 A 作. DE,垂足为F,DE 交CB 的延长线于点G,连接AG.若AF=6,FG=4,则四边形DGBA 的面积是 ( ) A. 12 B. 18 C. 24 D. 30 二、填空题(每题2分，共20分) 9.(2024·山东德州)如图,C 是AB 的中点,且CD=BE,请添加一个条件: ,使得△ACD≌△CBE.(只填一种情况即可) 10. (2024·重庆)如图,在△ABC 中, ,BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D.若BC=2,则AD 的长为 . 11. 如图,在△ABC 中,点 D 在边BC 上,DE⊥AB 于点E,DF⊥BC交AC 于点F,BD=CF,BE=CD.若∠AFD=145°,则 12. 如图,在△ABC中,∠B=∠C=65°,BD=CE,BE=CF,则∠DEF 的度数是 . 13. 如图,在△ABC中,AB=AC,AD 是中线,点 E 在边AB 上,且BD=BE.若 则∠AED 的度数为 . 14. 如图,在四边形ABCD 中,AB=BC=BD.设 则 (用含α的代数式表示) 15. 如图,已知( ,垂足分别为 D,E,BE,CD 交于点O,连接AO.若AO平分∠BAC，则图中的全等三角形共有 对. 16. 如图,正方形ABCD 的边长为2,点 E,F 分别在边AD,CD 上.若 ,则△EDF 的周长为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 17. 如图，AC，BD 是四边形 ABCD 的对角线.若AB=AC=6,BD=5,CD=1, 则 的度数为 . 18. (2025·江苏淮安模拟)如图, 是边长为4 cm 的等边三角形，点 P从点A 出发，沿边AB 向点B 运动，同时点Q从点 B 出发，沿边 BC 向点C 运动，且它们的速度都为1cm/s，连接AQ,CP 相交于点 M,连接 PQ.设运动的时间为 t s.给出下面四个结论:① BP=CM;② △ABQ≌△CAP;③∠CMQ 的度数不变,始终等于60°;④ 当 或 时,△PBQ 为直角三角形.其中正确的是 .(填序号) 三、解答题(共64 分) 19.(4 分)(2024·四川攀枝花)如图,AB∥CD,AE∥CF,BF=DE.求证:AB=CD. 20.(4 分)如图,M,N是5×5的正方形网格中的格点.请在图中找出所有格点 P(分别用 …表示)，使以M，N，P三点为顶点的三角形是等腰三角形. 21.(4分)(2023·湖北荆州)如图,BD 是等边三角形ABC 的中线,以点 D 为圆心,DB 为半径作弧,交 BC 的延长线于点 E,连接DE.求证:CD=CE. 3 学科网（北京）股份有限公司 22.(6分)如图,在 中,BE,CF 是高,点 D 在线段BE上,点G 在线段CF 的延长线上,且BD=CA,GC=AB,连接AD,AG. (1) 求证:AD=AG; (2)AD 与AG 之间的位置关系如何?请说明理由. 23. (6分)如图,在等边三角形ABC 中,AD 交BC 于点E,且AD=AB. (1) 如图①,当AD⊥BC 时,求∠BDC 的度数; (2)如图②，当点E 在边BC 上运动时，∠BDC 的度数是否发生变化?若变化，请求出变化的范围；若不变，请说明理由. 24.(6分)已知一个三角形两条边的长分别为1 cm和2cm ，一个内角为40°. (1)请你在图①中作出一个满足题设条件的三角形； (2)你是否还能作出既满足题设条件，又与(1)中所作的三角形不全等的三角形?若能，请你在图②中用“尺规作图”作出所有这样的三角形；若不能，请说明理由； (3)如果将题设条件改为“三角形两条边的长分别为3cm 和·4cm，一个内角为40°”，那么满足这一条件，且彼此不全等的三角形共有 个. (请在所作图中标出已知角的度数和已知边的长度，“尺规作图”不要求写作法，但要保留作图痕迹) 4 学科网（北京）股份有限公司 25.(8分)如图,在△ABC中,AB=AC=2,∠B=∠C=40°,点 D 在边BC 上运动(点D 不与点B,C重合),连接AD,作∠ADE=40°,DE 交边AC 于点E.2 2 (1) 当∠BDA=110°时,∠EDC= ,∠CED= ;点 D 从点 B 向点C 运动的过程中,∠BDA 的度数逐渐变 (填“大”或“小”); (2) 当DC=2时,求证:△ABD≌△DCE; (3)在点 D 运动的过程中，△ADE 可能是等腰三角形吗?若可能，请求出∠BDA 的度数；若不可能，请说明理由. 26.(8分)新趋势 推导探究(2025·江苏徐州模拟) 发现 (1)如图①,已知A 为线段BC外一动点,且BC=a,AB=b,则当点 A 位于 时，AC 的长取最大值，且最大值为 (用含a，b的代数式表示)； 应用 如图②,A 为线段BC外一动点,且BC=3,AB=1,分别以AB,AC为边作等边三角形ABD和等边三角形ACE,连接DC,BE. (2)找出图中与 BE 相等的线段，并说明理由； (3)求 BE 长的最大值. 5 学科网（北京）股份有限公司 27. (9分)已知在 中， ,直线 MN 经过点C,且 于点D， 于点E. (1)当MN 绕点C 旋转到图①的位置时，请你探究线段 DE，AD，BE 之间的数量关系，并加以证明； (2)当MN 绕点C 旋转到图②的位置时，你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想，并加以证明； (3)当MN 绕点C 旋转到图③的位置时，你在(1)中得到的结论是否发生变化?请写出你的猜想，并加以证明. 28.(9分)(2025·江苏宿迁期末)如图,O是等边三角形ABC 内一点,∠AOB=110°,∠BOC=α,D 是 外一点，且 连接OD. (1) 求证:△COD为等边三角形; (2)当 时，试判断△AOD 的形状，并说明理由； (3)当α为多少度时，△AOD 为等腰三角形? 6 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 1. C 2. B 3. C 4. D 5. D 6. B参考答案 7. D 解析:① 以点B为圆心,BC 为半径作弧,交 AB 于点 D,△BCD 即为等腰三角形;② 以点 A 为圆心，AC 为半径作弧，交AB 于点E,△ACE 即为等腰三角形;③以点 C 为圆心,BC 为半径作弧,分别交 AC,AB 于点F，K,△CBF,△CBK 即为等腰三角形;④ 作AB 的垂直平分线,交 AC 于点G,△ABG 即为等腰三角形；⑤作 BC 的垂直平分线，交AB 于点M,△MBC,△MAC 即为等腰三角形；⑥易知AC 的垂直平分线与AB 的交点即为M.综上所述，可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为7. 8. C 解析:如图,过点A 作AH⊥BC 于点H,则∠AHB = 90°. 在△ADE 和△ABC 中, 所以△ADE≌△ABC(SAS), 所以AD=AB,∠D=∠ABC.因为 AF⊥DE,所以∠AFD=90°,所以∠AFD=∠AHB. 在△ADF 和△ABH 中, 所以△ADF≌△ABH(AAS),所以AF=AH,S△ADF=S△ABH,所以 因为AF=6,FG=4,所以 在Rt△AHG和Rt△AFG中, 所以Rt△AHG≌Rt△AFG(HL),所以 S△AHG=S△AFG= 12, 所以 S△AFG+S△AHG=24.故四边形 DGBA 的面积为24. 9.(答案不唯一)AD=CE 10. 2 11. 55° 12. 65°13. 105° 15. 4 16. 4 17. 60°解析:如图,延长 BD 至点E,使 BE=AB=6,连接AE.因为∠ABD=60°,所以△ABE 是等边三角形,所以∠E=60°,AE=AB=AC.因为BD=5,所以ED=BE-BD= 1.因为 CD=1,所以CD=ED.在△ACD 和 △AED 中 所以△ACD≌△AED (SSS),所以∠ACD=∠E=60°. 18. ②③④ 解析:因为△ABC 是等边三角形,所以AB=BC=CA,∠BAC=∠B=∠ACB=60°.由题意,得 AP = BQ. 在△ABQ 和 △CAP 中. 所以△ABQ≌ △CAP(SAS),故② 正确;因为△ABQ≌△CAP,所以∠BAQ=∠ACP,所以∠CMQ=∠CAM +∠ACP =∠CAM +∠BAQ =∠BAC= 60°,故③ 正确;因为∠CQM =∠B+∠BAQ>60°,∠CMQ = 60°,所以∠CQM≠∠CMQ,所以 CM≠CQ.因为AB=BC,AP=BQ,所以AB-AP=BC-BQ,即 BP=CQ,所以 BP≠CM,故①错误;由题意,得AP=BQ=t cm,BP=(4-t) cm.当∠PQB =90°时, ∠B=30°,所以 所以 t),解得 当∠BPQ=90°时,∠PQB= 所以BQ=2BP,所以t=2(4-t),解得 故当 或 时，△PBQ 为直角三角形，故④正确. 19. 因为 AB∥CD,AE∥CF,所以∠B=∠D,∠AEB =∠CFD.因为 BF = DE,所以BF+EF=DE+EF,所以 BE=DF.在△ABE 和△CDF 中 斤以△ABE≌△CDF(ASA),所以AB=CD. 20.所有格点 P 的位置如图所示： 21. 因为△ABC 是等边三角形,所以∠ABC=∠ACB=60°.因为 BD 是△ABC 的中线,所以 因为DB=DE,所以∠BED =∠CBD = 30°,所以∠CDE= ∠ACB - ∠BED = 30°, 所以∠CDE=∠BED,所以CD=CE. 22. (1) 因为BE,CF 是△ABC的高,所以BE⊥CA,CF⊥AB,所以∠HEC=∠HFB =90°,所以∠GCA+∠CHE=90°,∠ABD+∠BHF=90°.因为∠CHE=∠BHF,所以∠ABD=∠GCA.在△ABD 和△GCA 中, 所以△ABD≌△GCA (SAS),所以AD=AG. (2) AD⊥AG.理由如下:因为 BE⊥AC,所以∠AED=90°.因为△ABD≌△GCA,所以∠ADB=∠GAC.因为∠ADB=∠AED+∠DAE,∠GAC=∠GAD+∠DAE,所以∠GAD=∠AED=90°,所以AD⊥AG. 23. (1)因为△ABC 为等边三角形,所以AB=AC,∠BAC=60°.因为 AD⊥BC,所以∠BAD= 因为AD=AB=AC,所以 75°,所以∠BDC=∠ADB+∠ADC=150°. (2)∠BDC 的度数不变.理由如下:因为△ABC为等边三角形,所以AB=AC,∠BAC=60°.因为 AD=AB=AC,所以∠ADB= 所以∠BDC= 24. (1) 如图①所示. (2)能,如图②所示. (3)4解析：当40°角为已知两边的夹角时，可画出1个满足条件的三角形；当40°角为3cm长的边所对的角时，可画出2个满足条件的三角形；当40°角为 4 cm长的边所对的角时，可画出1个满足条件的三角形.综上所述，满足题意的三角形共有1+2+1=4(个). 25. (1)30°110°小 (2) 因为∠C=40°,所以∠CED+∠EDC= .因为∠ADE=40°,所以 所以∠BDA=∠CED.因为AB=2,DC=2,所以AB=DC.在△ABD 和△DCE 中, 所以△ABD≌△DCE (AAS). (3)设 则由(2),得∠CED=∠BDA =x°,所以∠AED=180°-∠CED=(180-x)°.因为∠C=40°,所以∠DAE=∠BDA-∠C=(x-40)°.当△ADE 是等腰三角形时，分类讨论如下：①若∠AED=∠ADE,则 180-x=40,解得x=140,不合题意,舍去;②若∠DAE=∠AED,则x-40=180-x,解得x=110,即∠BDA=110°;③若∠DAE=∠ADE,则x-40=40,解得x=80,即∠BDA=80°.综上所述,当△ADE 是等腰三角形时，∠BDA 的度数为110°或80°. 26. (1)线段CB 的延长线上 a+b (2) DC=BE.理由如下:因为△ABD,△ACE 都是等边三角形,所以AD=AB,AC=AE, ∠BAD=∠CAE=60°,所以∠BAD+∠BAC= ∠CAE+∠BAC,所以∠CAD=∠EAB.在 △CAD 和△EAB 中, 所以△CAD≌△EAB(SAS),所以 DC=BE. (3) 因为△ABD 是等边三角形,所以BD=AB=1.由(1)可知当点 D 在线段CB 的延长线上时，DC 的长取最大值，此时 DC=BC+BD=3+1=4.因为 DC=BE,所以BE长的最大值为4. 27. (1) DE=AD+BE.证明如下:因为∠ACB=90°,所以 90°.因为AD⊥MN,BE⊥MN,所以∠ADC=∠CEB=90°,所以∠CBE+∠BCE=90°,所以∠ACD=∠CBE.在△ADC 和△CEB 中 所以△ADC≌△CEB (AAS),所以 AD=CE,CD=BE,所以DE=CE+CD=AD+BE. (2)发生变化,DE=AD-BE.证明如下:因为∠ACB=90°,所以∠ACD+∠BCE=90°.因为 AD⊥MN,BE⊥MN,所以∠ADC=∠CEB=90°,所以∠CBE+∠BCE=90°,所以∠ACD=∠CBE.在△ADC 和△CEB 中 所以△ADC≌△CEB(AAS),所以 AD=CE,CD= BE,所以DE=CE-CD=AD-BE. (3)发生变化,DE=BE-AD.证明如下:因为∠ACB=90°,所以∠ACD+∠BCE=90°.因为 AD⊥MN,BE⊥MN,所以∠ADC= 所以∠CBE+∠BCE=90°,所以∠ACD=∠CBE.在△ADC 和△CEB 中 所以△ADC≌△CEB (AAS),所以AD=CE,CD=BE,所以DE=CD-CE=BE-AD. 28. (1) 因为△ABC 为等边三角形,所以∠ACB=60°.因为△ADC≌△BOC,所以DC=OC,∠DCA=∠OCB,所以∠DCA+∠ACO=∠OCB+∠ACO,所以∠DCO=∠ACB=60°,所以△COD 为等边三角形. (2)△AOD 为直角三角形.理由如下：因为△ADC≌△BOC,所以∠ADC=∠BOC=150°.因为△COD 为等边三角形,所以∠ODC = 60°,所以∠ADO =∠ADC -∠ODC=90°,所以△AOD 为直角三角形. (3) 因为△ADC≌△BOC,所以∠ADC=∠BOC=α.因为△COD 为等边三角形,所以∠DOC=∠ODC=60°,所以∠ADO=∠ADC-∠ODC=α-60°.因为∠AOB=110°,所以 ∠DOC-∠BOC=190°-α,所以∠OAD= .若△AOD为等腰三角形，则分类讨论如下：①当∠AOD=∠ADO时, 所以α=125°;② 当∠ADO=∠OAD 时,α- 所以α=110°;③ 当∠AOD=∠OAD 时, 所以α=140°.综上所述,当 α 为 125°或 110°或 140°时,△AOD 为等腰三角形 1 学科网（北京）股份有限公司 1 学科网（北京）股份有限公司 $$