第1章 专题1 因式分解的其他方法-【初中学霸创新题】2025-2026学年新教材八年级上册数学习题课件(湘教版2024)

该初中数学课件聚焦因式分解的十字相乘法、换元法、分组分解法、拆项补项法，通过教材“多知道一点”栏目材料阅读题导入，衔接已学的提公因式法与公式法，构建进阶式学习支架帮助学生掌握复杂分解方法。 其亮点在于采用“方法讲解-典例示范-变式训练-学霸笔记”结构，结合抽象能力（如十字相乘法常数项分解规律）、推理意识（换元法设元转化过程）、模型意识（分组分解法结构拆分），学生能系统掌握技巧提升解题能力，教师可直接用于分层教学提高效率。

第1章　因式分解 专题1　因式分解的其他方法 1 方法1 十字相乘法 典例1 （新趋势·材料阅读题）【阅读材料】湘教版八年级上册数学教材第14页的“多知道一点”栏目讲述了用十字相乘法分解因式的过程. 用十字相乘法分解因式：x2+5x+6. 先分解二次项系数，分别写在十字交叉线的左上角和左下角；再分解常数项，分别写在十字交叉线的右上角和右下角；然后交叉相乘并求和，使其 等于一次项系数（如图）. 这样，我们可以得到x2+5x+6=（x+2）（x+3）. 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例1 2 【迁移运用】利用上述十字相乘法，把下列多项式因式分解： （1）x2+3x+2=____________； （2）x2-2x-3=______________. （x+2）（x+1） （x-3）（x+1） 2×1 （-3）×1 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例1 1. 用十字相乘法分解因式： （1）x2+5x+4=________________； （2）x2-6x-7=________________； （3）x2-6x+8=________________； （4）x3-8x2+12x=________________. 变式训练 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例1 （x+1）（x+4） （x+1）（x-7） （x-2）（x-4） x（x-2）（x-6） 4 典例2 （新趋势·过程性学习）下面是某同学对多项式（x2-4x+2）（x2-4x+6）+4因式分解的过程. 解：设x2-4x=y. 原式=（y+2）（y+6）+4 第一步 =y2+8y+16 第二步 =（y+4）2 第三步 =（x2-4x+4）2. 第四步 方法2 换元法 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例1 5 回答下列问题： （1）该同学从第二步到第三步运用了因式分解的 （　　） A. 提公因式法 B. 平方差公式法 C. 完全平方公式法 （2）该同学因式分解的结果是否彻底？若不彻底，请直接写出因式分解的最后结果. （3）请你仿照以上方法，把多项式 （x2-2x）（x2-2x+2）+1因式分解. 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例1 C x2-2x 【解】解：（2）不彻底.　最后结果 应为（x-2）4. （3）设x2-2x=y. 则（x2-2x）（x2-2x+ 2）+1=y（y+2）+1=y2+2y+1=（y+1）2=（x2-2x+1）2=（x-1）4. 2. 用换元法分解因式：（a2-6a-1）（a2-6a+19）+100. 变式训练 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例1 【解】设b=a2-6a，则（a2-6a-1）（a2-6a+19）+100=（b-1）（b+19）+100=b2+18b+81=（b+9）2=（a2-6a+9）2=（a-3）4. 7 典例3 （新趋势·材料阅读题）阅读材料： 　　常用的因式分解的方法有提公因式法、公式法及十字相乘法，但有的多项式只单纯用上述方法无法分解，如x2-2xy+y2-16，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方式，进行变形后可以与第四项结合运用平方差公式进行因式分解. 过程如下：x2-2xy+y2-16=（x-y）2-16=（x-y+4）（x-y-4）. 这种分解因式的方法叫作分组分解法. 对于四项多项式的分组，可以是“三、一（或一、三）分组”，也可以是“二、二分组”. 方法3 分组分解法 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例1 8 利用这种分组的思想方法解决下列问题： （1）分解因式：x2-4y2-2x+4y=__________________. （2）已知a，b，c满足a2-2ac+c2-ab+bc=0，且a≠c，a，b，c之间的数量关系是怎样的？ 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例1 （x-2y）（x+2y-2） x-2y 【解】（2）因为a2-2ac+c2-ab+bc=0，所以（a-c）2-b（a-c）=0，所以（a-c）（a-c-b）=0，则a-c=0或a-c-b=0. 又a≠c，则a=c+b. 3. 用分组分解法分解因式：-x2+2xy+1-y2. 变式训练 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例1 【解】-x2+2xy+1-y2=1-（x2-2xy+y2）=1-（x-y）2=（1+x-y）（1-x+y）. 典例4 （新趋势·材料阅读题）【阅读理解】 　　对于二次三项式x2+2ax+a2，能直接用公式法进行因式分解，得到x2+2ax+a2=（x+a）2，但对于二次三项式x2+2ax-3a2，就不能直接用公式法了. 我们可以采用这样的方法：在二次三项式x2+2ax-3a2中先加上一项a2，使其构成完全平方式，再减去a2这项，使整个式子的值不变，于是：x2+2ax-3a2=x2+2ax+a2-a2-3a2=（x2+2ax+a2）-4a2=（x+a）2-（2a）2=（x+a+2a）（x+a-2a）=（x+3a）（x-a）. 像这样把二次三项式分解因式的方法叫作添（拆）项法. 方法4 拆项补项法 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例1 【问题解决】把下列多项式因式分解： （1）a2-8a+15； （2）x3-2x2-5x+6. 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例1 完全平方 【解】（1）a2-8a+15=a2-8a+16-16+15=（a-4）2-1=（a-4-1）（a-4+1）=（a-5）（a-3）. （2）x3-2x2-5x+6=x3-3x2+x2-5x+6=x2（x-3）+（x-2）（x-3）=（x-3）（x2+x-2）=（x-3）（x+2）（x-1）. 4. 用拆项补项法分解因式： （1）x3+9x-10； （2）x4-5x2+4. 变式训练 变式1 典例2 变式2 典例3 变式3 典例4 变式4 典例1 【解】（1）x3+9x-10=x3-x2+x2+9x-10=x2（x-1）+（x-1）（x+10）=（x-1）（x2+x+10）. （2）x4-5x2+4=（x4-4x2+4）-x2=（x2-2）2-x2=（x2-2+x）（x2-2-x）=（x+2）（x-1）（x-2）（x+1）. 绿卡图书—走向成功的通行证 14 $$