九下 专题8 解直角三角形常见的模型-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦解直角三角形的背靠背型、母子型、拥抱型三大模型，通过浮式起重机悬索计算、河宽测量等现实问题导入，连接直角三角形边角关系基础知识，搭建从基础到模型应用的学习支架。 其亮点是以现实情境问题为载体，引导学生用数学眼光观察实际（如古树距离测量），通过推理运算（如设未知数列方程）培养数学思维，用模型和符号表达解决过程体现数学语言。采用模型分类与针对训练结合的方法，学生能提升解题能力，教师可高效开展模型教学。

第一章　直角三角形的边角关系 专题8　解直角三角形常见的模型 1 目 录 模型1 背靠背型 模型2 母子型 模型3 拥抱型 2 模型1 背靠背型 【基本模型】 目录 针对1 针对2 针对3 3 1. （安徽宿州埇桥模拟）秦杨村在清理水库时使用了一种如图1所示的浮式起重机，极大地提高了工作效率. 某数学研究小组为了计算如图2所示的浮式起重机悬索AC 的长，经过一系列测量，得出了如下数据：∠A=30°，∠ABC=105°，AB=20 m. 请你帮他们求出悬索AC的长. （结果精确到0.1 m. ≈1.414，≈1.732） 【针对训练】 目录 针对1 针对2 针对3 4 D 解：如图，过点B 作BD⊥AC，垂足为D. 在Rt△ABD 中，∠A=30°，AB=20 m， ∴BD= AB=10 m，AD=AB·cos 30°=10 m. ∵∠ABC=105°，∴∠C=180°-∠A-∠ABC=45°. 在Rt△BDC 中，CD= =10 m， ∴AC=AD+CD=10+10≈27.3（m）， ∴悬索AC 的长约为27.3 m. 目录 针对1 针对2 针对3 5 模型2 母子型 【基本模型】 目录 针对1 针对2 针对3 6 2. 如图，在平面内，点B，C，D 在同一直线上，AB⊥CB，垂足为点B，∠ACB=52°，∠ADB=60°，CD=200 m，求AB 的高度.（精确到1 m. 参考数据：sin 52°≈0.79，cos 52°≈0.62，tan 52°≈1.28，≈1.73） 【针对训练】 解：设AB=x m. 在Rt△ABC中， ∵tan∠ACB= ，即tan 52°= ，∴BC≈ . 在Rt△ABD 中，∵tan∠ADB= ，即tan 60°= ，∴BD≈ . ∵CD=CB-DB，∴ - =200，∴x≈984. ∴AB 的高度约为984米. 目录 针对1 针对2 针对3 7 模型3 拥抱型 【基本模型】 目录 针对1 针对2 针对3 8 3. （四川内江中考）如图所示，九（1）班数学兴趣小组为了测量河对岸的古树A，B 之间的距离，他们在河边与AB 平行的直线l 上取相距60 m 的C，D 两点，测得∠ACB=15°，∠BCD=120°，∠ADC=30°. （1）求河的宽度； （2）求古树A，B之间的距离. （结果保留根号） 【针对训练】 解：（1）如图，过点A 作AE⊥l，垂足为E. 设CE=x m. ∵CD=60 m， ∴DE=CE+CD=（x+60）m. E 目录 针对1 针对2 针对3 9 ∵∠ACB=15°，∠BCD=120°， ∴∠ACE=180°-∠ACB-∠BCD=45°. 在Rt△AEC 中，AE=CE·tan 45°=x m. 在Rt△ADE 中，∠ADE=30°， ∴tan 30°= = = ， 解得x=30+30， 经检验x=30+30是原方程的根， ∴AE=（30+30）m， ∴河的宽度为（30+30）m. 目录 针对1 针对2 针对3 10 E F （2）如图，过点B 作BF⊥l，垂足为F. 则CE=AE=BF=（30+30）m，AB=EF. ∵∠BCD=120°， ∴∠BCF=180°-∠BCD=60°. 在Rt△BCF 中， CF= = =（30+10）m， ∴AB=EF=CE-CF=30+30-（30+10）=20（m）， ∴古树A，B 之间的距离为20 m. 目录 针对1 针对2 针对3 11 绿卡图书—走向成功的通行证 12 $$