九上 专题4 相似三角形的常见模型-【初中学霸创新题】2025-2026学年九年级全册数学习题课件(北师大版)

该初中数学课件聚焦相似三角形的“A”字型、“8”字型、“一线三等角”型、“手拉手”型四大核心模型，通过回顾相似判定与性质导入，以模型图示建立直观认知，再串联基础证明、动点探究到多模块综合的训练，构建从具体到抽象的学习支架。 其亮点在于突出模型意识与推理能力，结合几何直观设计分层题型。如“一线三等角”模型通过等边三角形旋转题培养数学眼光，“8”字型动点题强化运算与推理，解析详细且关联生活情境。学生能系统掌握模型应用，教师可直接用于备课，提升教学效果。

第四章　图形的相似 专题4　相似三角形的常见模型 1 目 录 模型1 “A”字型 模型2 “8”字型 模型3 “一线三等角”型 模型4 “手拉手”型 2 模型1 “A”字型 【基本模型】 （1）公共角对边平行，如图1； （2）公共角对边不平行，但有另一组角相等，或公共角的两边对应成比例，如图2. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 3 1. （河南南阳南召期末）如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，连接DE. （1）若AD·AB=AE·AC，求证：△ADE∽△ACB； （2）若AB=8，AC=6，AD=3，直接写出：当AE= ________时，△ADE 与△ACB 相似. 【针对训练】 4或 解：（1）证明：∵AD·AB=AE·AC，∴=. 又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACB. （2）若△ADE∽△ACB，则=，即=，∴AE=4； 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 4 若△ADE∽△ABC，则=，即=，∴AE=. 故答案为：4或. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 2. 【新趋势 动点探究题】 如图，在△ACB中，AC=30 cm，BC= 25 cm. 动点P从点C出发，沿CA向终点A匀速运动，速度是2 cm/s；同时，动点Q从点B出发，沿BC向终点C匀速运动，速度是1 cm/s. 当△CPQ与△CAB相似时，求出运动的时间. 解：设运动的时间为t s. ①当△CPQ∽△CAB时， =，即=，解得t=； ②当△CPQ∽△CBA 时，=，即= ，解得t=. 综上所述，当△CPQ与△CAB相似时，运动时间为 s或 s. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 6 （1）对顶角的对边平行，如图1； （2）对顶角的对边不平行，但有另一组角相等，或对顶角的两边对应成比例，如图2. 模型2 “8”字型 【基本模型】 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 7 3. （陕西西安碑林阶段练习）如图，在菱形ABCD中，EF⊥AC于点H，交AD于点E，交CB的延长线于点F，且AE∶FB=1∶3. 则GB∶CD的值为 （　　） A. 　　　　　　B. 　　　　　　C. 　　　　　　D. D 【针对训练】 【解析】∵四边形ABCD是菱形，∴AB=CD，AE//BF， ∴∠EAB=∠ABF，∠AEF=∠F，∴△EAG∽△FBG， ∴ ==，∴=，∴=. 故选D. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 8 4. 【新趋势 多模块综合】 如图，在▱ABCD中，点M，N分别是AD，BC上的点，且AM=2DM，BN=2CN，点O是CM，DN的交点，直线AB分别与CM，DN的延长线交于点P，Q. 若▱ABCD的面积为144，则△POQ的面积为　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（　　） A. 72　　　　　　　　B. 216 C. 268　　　　　　　 D. 300 D 【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD=AB，CD//AB，∴∠MAP=∠MDC，∠P=∠DCM，∴△AMP∽△DMC， ∴ =. ∵AM=2DM，∴==2，∴AP=2CD. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 9 E F 同理可证2CD=BQ，∴PA=2CD=BQ，∴PQ=PA+AB+BQ=2CD+CD+ 2CD=5CD. 如图，过点O作OE⊥AB，交AB于点E，延长EO 交CD于点F. ∵CD//AB，∴OF⊥CD，= ，∠DCO=∠QPO. ∵∠DOC=∠QOP，∴△COD∽△POQ，∴＝，∴＝=，∴OE=EF. ∵S▱ABCD=CD·EF=144， ∴S△POQ=PQ·OE=·5CD·EF=·CD·EF=×144=300. 故选D. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 5. 如图，BD，AC相交于点P，∠1=∠2，AD=3，DP=2，CP=1，则BC=________. 【解析】∵∠1=∠2，∠DPA=∠CPB，∴△DPA∽△CPB， ∴=，即=，∴BC=. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 11 （1）如图1，∠B=∠C=∠APD=90°，且B，P，C在同一直线上，则△ABP∽△PCD； （2）如图2，∠B=∠C=∠APD，且B，P，C在同一直线上，则△ABP∽△PCD；连接AD，当P为BC中点时，△ABP∽△PCD∽△APD. 模型3 “一线三等角”型 【基本模型】 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 12 6. 如图，在△ABC中，边AB绕点B顺时针旋转60°与BC重合，点D，E分别在边BC，AC上，∠ADE=60°. 若BD=2，CE=，则△ABC 的边长为________. 6 【解析】∵由题意可得，AB=BC，∠B=60°，∴△ABC为等边三角形，∴∠B=∠C=60°，∴∠BAD+∠BDA=120°.∵∠ADE=60°，∴∠BDA+∠CDE=120°，∴∠BAD=∠CDE，∴△ABD∽△DCE，∴AB∶（BC-BD）=BD∶CE，∴AB∶（AB-2）=2∶， ∴AB=6，∴△ABC的边长为6. 【针对训练】 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 13 7. 如图，在△ABC中，AB=AC，点P，D分别是BC，AC边上的点，且∠APD=∠B. （1）求证：AC·CD=CP·BP； （2）若AB=10，BC=12，当PD//AB时，求BP的长. 解：（1）证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C. ∵∠APD=∠B，∴∠APD=∠B=∠C. ∵∠APC=∠BAP+∠B，∠APC=∠APD+∠DPC， ∴∠BAP=∠DPC，∴△ABP∽△PCD，∴ =，∴AB·CD=CP·BP. ∵AB=AC，∴AC·CD=CP·BP. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 14 （2）∵PD//AB，∴∠APD=∠BAP. ∵∠APD=∠C，∴∠BAP=∠C. ∵∠B=∠B，∴△BAP∽△BCA，∴ =. ∵AB=10，BC=12，∴=，∴BP=. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 15 如图1，AB⫽CD，将△OCD绕点O旋转，得到图2.连接 AC，BD，则有△OCD∽△OAB，△AOC∽△BOD. 模型4 “手拉手”型 【基本模型】 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 16 8. 【新趋势 探究性问题】（1）【问题发现】如图1，在△ OAB 和△ OCD中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接AC，BD交于点M. ①的值为________；②∠AMB的度数为________. （2）【类比探究】如图2，在△OAB和△OCD中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接AC交BD的延长线于点M. 请判断的值及∠AMB的度数，并说明理由. 1 40° 【针对训练】 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 17 解：（1）①∵∠AOB=∠COD=40°，∴∠COA=∠DOB. ∵OC=OD，OA=OB，∴△COA≌△DOB（SAS），∴AC=BD， ∴=1. 故答案为：1. ②∵△COA≌△DOB，∴∠CAO=∠DBO. ∵∠AOB=40°， ∴ ∠OAB + ∠ABO=140° . 在△AMB中，∠AMB=180° - （∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°-（∠DBO+∠OAB+∠ABD）= 180°-（∠OAB+∠ABO）=40°. 故答案为：40°. （2）=，∠AMB=90°. 理由如下： 在Rt△COD中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 ∴CD=2DO，∴OC= =DO，∴=. 同理得=， ∴=. ∵∠AOB=∠COD=90°，∴∠AOC=∠BOD，∴△AOC∽△BOD， ∴ ==，∠CAO=∠DBO. 在△AMB中，∠AMB=180°-（∠CAO +∠OAB+∠ABM）=180°-（∠DBO+ ∠OAB +∠ABM）=∠AOB=90°. 目录 2 3 4 6 7 1 8 5 绿卡图书—走向成功的通行证 20 $$